منو
 صفحه های تصادفی
هواشناسی دینامیکی
امام حسین علیه السلام از دیدگاه محمد بن حنفیه
خانواده زبان های نیل و صحرایی
آزمایش جوشکاری به روش اشعه
دانشکده‌ جغرافیا دانشگاه تهران
موتور پلاسما برای فضاپیما
روباتیک
شبهه عصمت حضرت موسی
مهدی حمیدی شیرازی
قطع مستطیل در عکاسی
 کاربر Online
767 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه

تفاوت با نگارش: 3

Lines: 1-65Lines: 1-64
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 ::||@#16:هر ((زیرمجموعه)) از ((گروه)) که با ضرب آن گروه ، خود تشکیل یک گروه دهد را __زیرگروه__ نامیم.#@||:: ::||@#16:هر ((زیرمجموعه)) از ((گروه)) که با ضرب آن گروه ، خود تشکیل یک گروه دهد را __زیرگروه__ نامیم.#@||::
 ^@#16: ^@#16:
 !تعریف !تعریف
 فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است.در بین ((زیرمجموعه)) های نا تهی {TEX()} {G} {TEX} ، زیر مجموعه هایی وجود دارند که تحت ((عمل دوتایی)) تعریف شده در{TEX()} {G} {TEX} یعنی {TEX()} {*} {TEX} تشکیل یک ((گروه)) می‌دهند و با توجه به این نوع زیر مجموعه ها می‌توان زیر گروه را به صورت زیر تعریف نمود: فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است.در بین ((زیرمجموعه)) های نا تهی {TEX()} {G} {TEX} ، زیر مجموعه هایی وجود دارند که تحت ((عمل دوتایی)) تعریف شده در{TEX()} {G} {TEX} یعنی {TEX()} {*} {TEX} تشکیل یک ((گروه)) می‌دهند و با توجه به این نوع زیر مجموعه ها می‌توان زیر گروه را به صورت زیر تعریف نمود:
 فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} باشد. در این صورت {TEX()} {(H,*)} {TEX} ((زیر گروه)) {TEX()} {G} {TEX} است ، هرگاه شرایط یک ((گروه)) را داشته باشد. فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} باشد. در این صورت {TEX()} {(H,*)} {TEX} ((زیر گروه)) {TEX()} {G} {TEX} است ، هرگاه شرایط یک ((گروه)) را داشته باشد.
 !!قرارداد !!قرارداد
 # هرگاه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) باشد و {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد می‌نویسیم : {TEX()} {H \le G} {TEX} . # هرگاه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) باشد و {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد می‌نویسیم : {TEX()} {H \le G} {TEX} .
 # هرگاه {TEX()} {H<G} {TEX} در این صورت {TEX()} {H} {TEX} را زیر گروه سره {TEX()} {G} {TEX} تحت {TEX()} {*} {TEX} گویند. # هرگاه {TEX()} {H<G} {TEX} در این صورت {TEX()} {H} {TEX} را زیر گروه سره {TEX()} {G} {TEX} تحت {TEX()} {*} {TEX} گویند.
 # تنها زیرگروه تک عضوی هر گروه ، زیرگروه تشکیل شده توسط عنصر خنثی گروه است . و زیرگروه {TEX()} {\{e\}} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه بدیهی آن می نامند و تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} که مساوی {TEX()} {\{e\}} {TEX} نباشند ، زیرگروه نابدیهی {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند. # تنها زیرگروه تک عضوی هر گروه ، زیرگروه تشکیل شده توسط عنصر خنثی گروه است . و زیرگروه {TEX()} {\{e\}} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه بدیهی آن می نامند و تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} که مساوی {TEX()} {\{e\}} {TEX} نباشند ، زیرگروه نابدیهی {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند.
 # {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نابدیهی غیر واقعی {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند. # {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نابدیهی غیر واقعی {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند.
 !!نتیجه !!نتیجه
 هر ((گروه)) دارای حداقل دو زیر‌گروه است. هر ((گروه)) دارای حداقل دو زیر‌گروه است.
 --- ---
 !قضیه‌ها !قضیه‌ها
 !!قضیه 1.  !!قضیه 1.
 زیر‌مجموعه ناتهی {TEX()} {H} {TEX} از ((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} ، زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ،اگر و فقط اگر: زیر‌مجموعه ناتهی {TEX()} {H} {TEX} از ((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} ، زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ،اگر و فقط اگر:
 # {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل در {TEX()} {G} {TEX} بسته باشد. # {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل در {TEX()} {G} {TEX} بسته باشد.
 # عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} ، به {TEX()} {H} {TEX} متعلق باشد. # عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} ، به {TEX()} {H} {TEX} متعلق باشد.
 # برای هر {TEX()} {a \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a^{-1} \in H} {TEX}. # برای هر {TEX()} {a \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a^{-1} \in H} {TEX}.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 اگر {TEX()} {H} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد ، بدیهی است که سه شرط فوق برقرار است. اگر {TEX()} {H} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد ، بدیهی است که سه شرط فوق برقرار است.
 حال فرض می‌کنیم که سه شرط فوق برقرار باشند. ثابت می‌کنیم {TEX()} {H \le G} {TEX} : حال فرض می‌کنیم که سه شرط فوق برقرار باشند. ثابت می‌کنیم {TEX()} {H \le G} {TEX} :
 برای ((زیرگروه)) بودن {TEX()} {H} {TEX} ، لازم است {TEX()} {H} {TEX} با توجه به عمل تعریف شده در {TEX()} {G} {TEX} ، دارای خاصیت شرکت‌پذیری باشد . برای ((زیرگروه)) بودن {TEX()} {H} {TEX} ، لازم است {TEX()} {H} {TEX} با توجه به عمل تعریف شده در {TEX()} {G} {TEX} ، دارای خاصیت شرکت‌پذیری باشد .
 اما با توجه به این که خاصیت شرکت‌پذیری یک ((گروه)) ، به تمام ((زیر‌مجموعه)) های آن تحت آن عمل ، انتقال می یابد. ( به ارث می‌رسد). پس شرکت‌پذیری نیز در {TEX()} {H} {TEX} برقرار است. اما با توجه به این که خاصیت شرکت‌پذیری یک ((گروه)) ، به تمام ((زیر‌مجموعه)) های آن تحت آن عمل ، انتقال می یابد. ( به ارث می‌رسد). پس شرکت‌پذیری نیز در {TEX()} {H} {TEX} برقرار است.
 لذا {TEX()} {H \le G} {TEX}. لذا {TEX()} {H \le G} {TEX}.
 --- ---
 !!قضیه 2.  !!قضیه 2.
 فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} . در این صورت {TEX()} {H \le G} {TEX} اگر و فقط اگر: فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} . در این صورت {TEX()} {H \le G} {TEX} اگر و فقط اگر:
 @@{TEX()} {\forall a,b \in H : a*b^\prime \in H} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall a,b \in H : a*b^\prime \in H} {TEX}@@
 که در این رابطه {TEX()} {b^\prime} {TEX} وارون {TEX()} {b} {TEX} در{TEX()} {(G,*)} {TEX} است. که در این رابطه {TEX()} {b^\prime} {TEX} وارون {TEX()} {b} {TEX} در{TEX()} {(G,*)} {TEX} است.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 اگر{TEX()} {H \le G} {TEX} ، بدیهی است برای هر {TEX()} {a,b \in H} {TEX} ، شرط {TEX()} {a,b^\prime \in H} {TEX} برقرار است. بنابراین کافیست نشان دهیم: اگر{TEX()} {H \le G} {TEX} ، بدیهی است برای هر {TEX()} {a,b \in H} {TEX} ، شرط {TEX()} {a,b^\prime \in H} {TEX} برقرار است. بنابراین کافیست نشان دهیم:
 {TEX()} {\forall a,b \in H :a*b^\prime \inH \Rightarrow H \le G} {TEX}. {TEX()} {\forall a,b \in H :a*b^\prime \inH \Rightarrow H \le G} {TEX}.
 برای این کار ، نشان می‌دهیم ، سه شرط قضیه فوق در {TEX()} {H } {TEX} صدق می‌کند: برای این کار ، نشان می‌دهیم ، سه شرط قضیه فوق در {TEX()} {H } {TEX} صدق می‌کند:
 *خاصیت ((عمل دوتایی|عضو خنثی)): *خاصیت ((عمل دوتایی|عضو خنثی)):
 چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار می‌دهیم ، {TEX()} {a=b} {TEX} لذا: چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار می‌دهیم ، {TEX()} {a=b} {TEX} لذا:
 @@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow b*b^\prime =e \in H} {TEX}@@ @@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow b*b^\prime =e \in H} {TEX}@@
 *حال خاصیت وارون هر عضو را در {TEX()} {H} {TEX} بررسی می‌کنیم: *حال خاصیت وارون هر عضو را در {TEX()} {H} {TEX} بررسی می‌کنیم:
 چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار می‌دهیم ، {TEX()} {a=e} {TEX}.بنابراین: چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار می‌دهیم ، {TEX()} {a=e} {TEX}.بنابراین:
 @@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow e*b^\prime=b^\prime \in H} {TEX}@@ @@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow e*b^\prime=b^\prime \in H} {TEX}@@
 یعنی ((عمل دوتایی|وارون هر عضو)) ، در {TEX()} {H} {TEX} قرار دارد. یعنی ((عمل دوتایی|وارون هر عضو)) ، در {TEX()} {H} {TEX} قرار دارد.
 *اکنون ((عمل دوتایی|بسته بودن)) را بررسی می‌کنیم: *اکنون ((عمل دوتایی|بسته بودن)) را بررسی می‌کنیم:
 @@{TEX()} {\forall a,b \in H : b^\prime \in H \Rightarrow a*b=a*(b^\prime)^\prime \in H} {TEX} @@ @@{TEX()} {\forall a,b \in H : b^\prime \in H \Rightarrow a*b=a*(b^\prime)^\prime \in H} {TEX} @@
 بنابراین {TEX()} {H \le G} {TEX}. بنابراین {TEX()} {H \le G} {TEX}.
 __نکته:__ __نکته:__
 # اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset\neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر: # اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset\neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
 @@{TEX()} {\forall a,b \in H : ab^{-1} \inH} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall a,b \in H : ab^{-1} \inH} {TEX}@@
 # همچنین اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه جمعی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر: # همچنین اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه جمعی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
 @@{TEX()} {\forall a,b \in H : a-b \inH} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall a,b \in H : a-b \inH} {TEX}@@
 --- ---
-همچنین ببینید +!همچنین ببینید
 *((گروه)) *((گروه))
 *((زیرگروه نرمال)) *((زیرگروه نرمال))
-*((زیرگروه خارج‌قسمتی)) 
 *((گروه ساده)) *((گروه ساده))
 --- ---
 !پیوندهای خارجی !پیوندهای خارجی
 [mathworld.wolfram.com/Subgroup.html] [mathworld.wolfram.com/Subgroup.html]
 [http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node5.html] [http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node5.html]
 #@^ #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 سه شنبه 29 فروردین 1385 [09:50 ]   4   سعید صدری      جاری 
 سه شنبه 29 فروردین 1385 [09:48 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:51 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:28 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..