: زاویه

__@#20:~~brown:زاویه:~~#@__

^@#12:~~green:__تعریف:__~~

از دوران یک نیم خط حول راسش یک ناحیه ای بوجود می آید که به آن زاویه می گویند. این دوران می توان در جهت عقربه های ساعت یا در جهت خلاف آن باشد ولی در ((مثلثات)) جهت دوران برای ایجاد یک زاویه جهت پادساعتگرد است و چنین زاویه ای را زاویه مثلثاتی می گویند. اگر نیم خطی را حول راسش چنان دوران دهیم که دوباره به نقطه شروع دوران بازگردد یک زاویه کامل یا تمام صفحه بوجود می اید. پس یک دایره خود یک زاویه کامل(دوران کامل) است. همچنین اگر نیم خط را چنان دوران دهیم که یک مسیر یک نیم رایره به مرکز راسش راطی کند یک زاویه نیم صفحه بوجود می آید. زاویه را با نام بردن راس یا نام بردن راس و دو ضلعش می خوانند.#@^

*~~purple:لازم به ذکر است زاویه ها را با وسیله ای به نام نقاله اندازه گیری می کنند که بر حسب درجه مقیاس بندی شده اند.~~

@#15:__~~red:واحد های اندازه گیری زاویه:~~__#@

واحد های اصلی برای اندازه گیری زاویه عبارتند از: درجه، گراد و رادیان که در اینجا به تعریف و توضیح آنها می پردازیم:

*~~green:@#14:__درجه:__#@~~

^@#12:اگر محیط یک دایره دلخواه را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه می نامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شستم محیط یک دایره است.

برای نمایش درجه از علامت {TEX()} {^\circ} {TEX} استفاده می شود. لذا می توان گفت:

::{TEX()} {1^\circ=\frac{1}{360}\times 2r\pi} {TEX}::

پس به این ترتیب در این مقیاس، زاویه تمام صفحه که یک دور کامل است برابر 360 درجه و زاویه نیم صفحه برابر 180 درجه است. #@^

__@#13:~~blue:اجزای درجه:~~#@__

همان گونه که می دانید معمولا هر واحد دارای اجزایی می باشد. درجه نیز به عنوان یک واحد اندازه گیری دارای اجزایی می باشد که عبارتند از دقیقه و ثانیه.(این اجزا گاهی آرک دقیقه:Arc minute و آرک ثانیه:Arc second نیز گفته میشوند)

__هر دقیقه برابر است با یک شصتم درجه__.

::{TEX()} {1'=\frac{1}{60}\times 1^\circ=\frac{1}{21600}\times 2r\pi} {TEX}::

__هر ثانیه برابر یک شصتم دقیقه یا یک سه هزار و شسصدم درجه.__

::{TEX()} {1(sec)=\frac{1}{60}\times 1'=\frac{1}{3600}\times 1^\circ} {TEX}::

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 درجه و 30 دقیقه و 15 ثانیه باشد می نویسیم:{TEX()} {37^\circ:30':15(sec)} {TEX}

---

*~~green:@#14:__گراد__#@~~

^@#12:اگر محیط یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک گراد می گویند. به عبارت دیگر یک چهارصدم دوران کامل، زاویه ای به اندازه یک گراد پدید می آورد.گراد گاهی گون نیز گفته می شود. برای نمایش گراد از نماد «gr» استفاده می شود. لذا می توان گفت:

::{TEX()} {1gr=\frac{1}{400}\times 2r\pi} {TEX}::

پس به این ترتیب در این مقیاس اندازه زاویه تمام صفحه یا یک دور کامل 400 گراد و اندازه زاویه نیم صفحه برابر 200 گراد خواهد بود.#@^

__@#13:~~blue:اجزای گراد:~~#@__

اجزای گراد عبارتند از دسی گراد(dgr) ، سانتی گراد(cgr)، میلی گراد(mgr) که هر کدام به ترتیب یک دهم گراد، یک صدم گراد و یک هزارم گراد می باشند.

::{TEX()} {1dgr=\frac{1}{10}gr, 1cgr=\frac{1}{100}gr, 1mgr=\frac{1}{1000}gr} {TEX}::

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 گراد و 2 دسی گراد و 8 میلی گرا باشد می نویسیم:{TEX()} {37.208gr} {TEX}

استفاده از این واحد برای زاویه در ریاضیات بسیار کم است.

---

*~~green:@#14:__رادیان__#@~~

^@#12:دایره ای به شعاع L را در نظر بگیرید. می دانیم محیط این دایره {TEX()} {2l\pi} {TEX} است. یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول کمان روبرو به آن برابر شعاع دایره است.

برای نمایش رادیان از نماد«rad» استفاده می کنیم. بنابراین محیط هر دایره برحسب رادیان {TEX()} {2\pi} {TEX} رادیان است و زاویه نیم صفحه برابر{TEX()} {\pi} {TEX} رادیان است. و لذا:

{TEX()} {1 rad=\frac{1}{2\pi}\times P} {TEX} که در آن P محیط دایره است.

با استفاده از تعریف رادیان می توان نتیجه گرفت که اگر طول کمان روبرو به زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} برابر __s__ و شعاع دایره __r__ باشد آنگاه اندازه زاویه تتا بر حسب رادیان را می توان با یک تناسب ساده چنین محاسبه کرد:

::{TEX()} {\theta(rad)=\frac{s}{r}} {TEX}::

به عنوان مثال می خواهیم بدانیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره که طول آن کمان {TEX()} {\frac{1}{6}} {TEX} محیط دایره است چند رادیان است؟

روش حل بدون استفاده از فرمول(اساس یافتن فرمول فوق) به این صورت است: r=طول شعاع

اگر طول کمان برابر {TEX()} {2r\pi} {TEX} باشد آنگاه اندازه زاویه برابر است با {TEX()} {2\pi} {TEX} رادیان حال اگر

طول کمان برابر {TEX()} {\frac{1}{6}\times 2r\pi} {TEX} باشد اندازه زاویه چقدر می شود؟

::{TEX()} {x=\frac{\frac{1}{6}\times 2r\pi\times 2\pi}{2r\pi}=\frac{\pi}{3} rad} {TEX}::

*~~purple:لازم به توضیح است که پر کاربرد ترین واحد اندازه گیری زاویه رادیان است که بویژه در مثلثات، حساب، فیزیک کاربرد فراوان دارد.~~

---

@#15:~~red:__تبدیل واحد های اندازه گیری زاویه به یکدیگر:__~~#@

دایره ای به شعاع r و زاویه {TEX()} {AOB=\theta} {TEX} را در دایره در نظر بگیرید:

فرض کنید اندازه زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} برحسب درجه D، برحسب گراد G و برحسب رادیان R باشد. با استفاده از تناسب داریم:

__1-__ ||طول کمان|اندازه زاویه برحسب درجه

{TEX()} {2r\pi} {TEX}|360

{TEX()} {\widehat{AB}} {TEX}|D||

::{TEX()} {\Rightarrow\widehat{AB}=\frac{2rD\pi}{360}=\frac{rD\pi}{180}} {TEX}::

__2-__||طول کمان|اندازه کمان برحسب گراد

{TEX()} {2r\pi} {TEX}|400

{TEX()} {\widehat{AB}} {TEX}|G||

::{TEX()} {\Rightarrow\widehat{AB}=\frac{2rG\pi}{400}=\frac{rG\pi}{200}} {TEX}::

__3-__-__||طول کمان|اندازه زاویه برحسب رادیان

{TEX()} {2r\pi} {TEX}|{TEX()} {2\pi} {TEX}

{TEX()} {\widehat{AB}} {TEX}|R||

::{TEX()} {\Rightarrow\widehat{AB}=\frac{2rR\pi}{2\pi}=rR} {TEX}::

از تساوی های فوق رابطه زیر نتیجه می شود:

::{TEX()} {\frac{2rD\pi}{180}=\frac{2rG\pi}{200}=rR} {TEX}::

^::{TEX()} {\Rightarrow\frac{D}{180}=\frac{G}{200}=\frac{R}{\pi}} {TEX}::^

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای برابر 20 گراد باشد اندازه این زاویه بر حسب درجه و رادیان به این صورت محاسبه میشود:

{TEX()} {\frac{D}{180}=\frac{G}{200}\Rightarrow\frac{D}{9}=\frac{20}{10}\Rightarrow\ D=18^\circ} {TEX}

{TEX()} {\frac{G}{200}=\frac{R}{\pi}\Rightarrow\frac{20}{200}=\frac{R}{\pi}\Rightarrow\ R=\frac{\pi}{10}} {TEX}

*~~purple:هر رادیان تقریبا برابر است با 57.3 درجه است.~~

::{TEX()} {\frac{180}{\pi}=\frac{180}{3.14}\approx 57.3} {TEX}::

---

@#15:__~~red:انواع زاویه ها:~~__#@

زاویه ها را با توجه به مقدارشان به این صورت طبقه بندی می کنند:

*~~green:__زاویه تند:__~~~~green:(acute angle)~~ زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} را تند یا حاده میگوییم هرگاه اندازه اش کمتر از 90 در جه باشد. به عبارت دیگر: {TEX()} {\theta<90^\circ} {TEX}

*__~~green:زاویه راست:~~__~~green:(right angle)~~ زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} را راست یا قائم میگوییم هرگاه اندازه آن برابر 90 در جه باشد. به عبارت دیگر: {TEX()} {\theta=90^\circ} {TEX}

*__~~green:زاویه باز:~~__~~green:(obtuse angle)~~ زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} را باز یا منفرجه می گوییم هرگاه بزرگتر از 90 درجه و کمتر از 180 درجه باشد. به عبارت دیگر: ::{TEX()} {90^\circ<\theta <180^\circ} {TEX}::

*__~~green:زاویه نیم صفحه:~~__~~green:(straight angle)~~ زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} را نیم صفحه میگوییم هرگاه برابر 180 درجه باشد. به عبارت دیگر: {TEX()} {\theta=180^\circ} {TEX}

*__~~green:زاویه بازتاب:~~__~~green:(reflex angle)~~ زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} را زاویه بازتاب میگوییم هرگاه بزرگتر از 180 درجه و کمتر از 360 درجه باشد. به عبارت دیگر: ::{TEX()} {180^\circ<\theta<360^\circ} {TEX}::

*__~~green:زاویه کامل:~~__~~green:(full angle)~~ زاویه {TEX()} {\theta} {TEX} را کامل یا تمام صفحه می گوییم هرگاه برابر 360 درجه باشد. به عبارت دیگر:{TEX()} {\theta=360^\circ} {TEX}.

---

__@#16:همچنین ببیند:#@__

*((زاویه سه بعدی))

*((مثلثات))

*((مثلثات کروی))

تفاوت با نگارش: 1

سرویس‌های رشد:

فهرست: