منو
 کاربر Online
570 کاربر online
تاریخچه ی: روشهای انتگرال‌گیری

||V{maketoc}||
@#16:
!روش تغییر متغیر در یک انتگرال معین
فرض می کنیم انتگرال {TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx} {TEX} که در آن تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} پیوسته می‌باشد داده شده است. متغیر جدید t را بوسیله {TEX()} {x=\phi(t)} {TEX} دخالت می‌دهیم، اگر:
*{TEX()} {a=\phi(\alpha)} {TEX} و {TEX()} {b=\phi(\beta)} {TEX} باشد.
*{TEX()} {\phi(t)} {TEX} و {TEX()} {\phi^\prime(t)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[\alpha,\beta]} {TEX} پیوسته باشد.
*{TEX()} {F[\phi(t)]} {TEX} در فاصله {TEX()} {[\alpha,\beta]} {TEX} معین و پیوسته باشد. در این صورت:

@@{TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}F[\phi(t)]\phi^{\prime}(t)]dt} {TEX} @@
ملاحظه می‌کنیم که در محاسبه انتگرال معین بوسیله فرمول بالا به متغیر پیشین مراجعه نمی‌کنیم. مقادیر عددی دو انتگرال تساوی رابطه با یکدیگر برابرند. از این روش در قسمتی از مبحث حرکت در گازها (((آئرودینامیک))) مشهور به نظریه خط بالا برنده ، استفاده می‌شود.
!انتگرال‌گیری جزء به جزء
فرض می‌کنیم u و v توابع قابل مشتق‌گیری نسبت به x باشند داریم:

@@{TEX()} {(uv)^{\prime}} {TEX}={TEX()} {u^{\primev}} {TEX}+{TEX()} {uv{^\prime}} {TEX}@@
با انتگرال‌گیری از دو طرف این دو اتحاد از a تا b ، خواهیم داشت:

@@{TEX()} {\int_{a}^{b} u\, dv= uv-\int_{a}^{b} v\, du} {TEX}@@
از روش ((انتگرال‌گیری جزء به جزء)) بیشتر در مسائل ((مهندسی برق)) استفاده می‌شود.
!محاسبه تقریبی انتگرالهای معین
بعضی انتگرالهای مهم که در مسائل فیزیکی و ریاضی پیش می‌آیند با استفاده از روش عددی برای تقریب کردن آنها استفاده می‌کنیم. اکنون چند روش از انتگرال‌گیری تقریبی براساس مفهوم انتگرال معین به عنوان حد یک مجموع را ذکر می‌کنیم.
!!فرمول مستطیلها
فرض می‌کنیم تابع پیوسته {TEX()} {y=f(x)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} داده شده باشد می‌خواهیم انتگرال معین زیر را محاسبه کنیم:

@@{TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx} {TEX}@@
می‌توانیم {TEX()} {[a,b]} {TEX} را به مستطیلهایی تقسیم کنیم یعنی توسط خطوطی موازی با محور y ها می‌توانیم منحنی را مستطیلهایی تقسیم کنیم و بعد مساحت هر کدام از این مستطیلها را حساب کرده و مجموع آنها را حساب کنیم. بطور تقریب مقدار انتگرال چنین است:

@@{TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{n}(y_1+y_2+....+y_n)} {TEX}@@
فرمول اخیر، فرمول مستطیلها می‌باشد.
!!فرمول ذوزنقه‌ها
بدیهی است برای بدست آوردن مقدار دقیق‌تر انتگرال معین باید به جای خم داده شده {TEX()} {y=f(x)} {TEX} یک خط شکسته محاطی را جانشین کنیم. نه مانند فرمول مستطیلها که به جای خم یک خط شکسته پله مانند را جایگزین کردیم. پس به جای مساحت سطح ذوزنقه منحنی‌الخط می‌توان مجموع مساحتهای سطوح ذوزنقه‌های قائم‌الزاویه‌ای که از بالا بوسیله وترهایی محدود شده‌اند جایگزین نمود. مقدار تقریبی این انتگرال به صورت زیر است:

@@{TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\(frac{y_0-y_n}{2}+y_1+y_2+....+y_n)} {TEX}@@

این فرمول اخیر فرمول ذوزنقه‌ها (قاعده ذوزنقه‌ها) می‌باشد. انتخاب عدد n دلخواه است. لذا اگر عدد n را بزرگتر اختیار کنیم، فواصل جزئی، با اندازه {TEX()} {\frac{b-a}{n}} {TEX} کوچکتر می‌شوند یا به عبارت دیگر عده فواصل جزئی بیشتر می‌شود و بدین وسیله مجموع واقع در طرف دوم رابطه تقریبی بالا مقدار دقیق‌تر انتگرال را بدست می‌دهد.
!!فرمول سهمی‌ها (فرمول سمپسون)
فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} را به n قسمت برابر تقسیم می‌کنیم {TEX()} {(n=2m)} {TEX}. به جای مساحت سطح ذوزنقه منحنی‌الخط متناظر با اولین فاصله‌ها و محدود بوسیله خم داده شده {TEX()} {y=f(x)} {TEX} ، مساحت سطح ذوزنقه منحنی الخط محدود به سهمی درجه دوم جایگزین می‌کنیم. این نوع ذوزنقه را ذوزنقه سهمی‌وار می‌نامند. مقدار تقریبی این گونه است:


@@{TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{4m}[y_0+2(y_2+y_4+....+y_{2m-2})+(y_1+y_3+...+y_{2m-1})]} {TEX}@@
این فرمول، ((قاعده سمپسون)) است. در اینجا تعداد نقاط تقسیم {TEX()} {2m} {TEX} اختیاری است، اما اگر تعداد نقاط تقسیم بیشتر باشد، مجموع طرف دوم رابطه بالا مقدار دقیق‌تر انتگرال را بدست می‌دهد.
!!فرمول چبیشف
در محاسبات صنعتی از فرمول انتگرال‌گیری تقریبی چبیشف کمک می‌گیرند. هنگامی که حدود انتگرال‌گیری انتگرال
داده شده b , a باشند، فرمول چبیشف به صورت زیر درمی‌آید:

@@{TEX()} {\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{n}[f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)]} {TEX} @@
از مقایسه ((فرمول چبیشف)) با نتایج حاصل از بکار بردن فرمولهای مستطیلها ، ذوزنقه‌ها و سمپسون ، ملاحظه می‌کنیم که نتیجه بدست آمده بوسیله بکار بردن فرمول چبیشف (به سه نقطه تقسیم) نزدیکتر به مقدار واقعی انتگرال می‌باشد تا نتیجه حاصل بوسیله قاعده ذوزنقه‌ها (با نه نقطه تقسیم).
!!انتگرال‌گیری توابع گویایی از sinx و cosx
تغییر متغیر {TEX()} {Z=tan\frac{x}{2}} {TEX} ما را قادر می‌سازد که مساله انتگرال‌گیری هر تابع گویا از sinx و cosx را به مساله‌ای شامل ((توابع گویا|تابع گویایی)) از Z تبدیل کنیم. از این تابع گویا می‌توان، به نوبت خود ، به روش کسر ساده انتگرال گرفت. بنابراین این تغییر متغیر ابزاری نیرومند است. اما این روش پر زحمت است و فقط موقعی بکار برده می‌شود که روشهای ساده‌تری بکار بیایند. در مواردی پیش می‌آید که رشته‌های مثلثاتی (یا رشته فوریه) در مطالبی چون نظریه ((جریان متناوب)) ، مسائل ((انتقال گرما)) ، خم شدن تیرها ، تحلیل و تجزیه فشار کابل در پلهای معلق ، و خیلی جاهای دیگر ، در مسائل ریاضیات و علوم مهندسی بکار برده شوند.
!مباحث مرتبط با عنوان
*((انتگرال‌گیری جزء به جزء))
*((انتگرال نامعین))
*((انتگرالهای چندگانه))
*((انتگرال معین))
*((کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال معین))
*((قاعده چبیشف))
*((قاعده سمپسون))#@

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 02 مهر 1385 [09:28 ]   4   حسین خادم      جاری 
 یکشنبه 02 مهر 1385 [09:24 ]   3   حسین خادم      v  c  d  s 
 یکشنبه 02 مهر 1385 [09:23 ]   2   حسین خادم      v  c  d  s 
 یکشنبه 02 مهر 1385 [09:21 ]   1   حسین خادم      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..