منو
 کاربر Online
1283 کاربر online
تاریخچه ی: دترمینان ماتریس

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-59Lines: 1-59
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 ^@#16: ^@#16:
 !دترمینان !دترمینان
 به هر ((ماتریس)) مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} مانند{TEX()} {A} {TEX} می‌توان عددی را نسبت داد.این عدد را با نماد {TEX()} {|A|} {TEX} یا {TEX()} {det(A)} {TEX} نمایش می‌دهیم و آن را دترمینان {TEX()} {A} {TEX} می‌خوانیم. به هر ((ماتریس)) مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} مانند{TEX()} {A} {TEX} می‌توان عددی را نسبت داد.این عدد را با نماد {TEX()} {|A|} {TEX} یا {TEX()} {det(A)} {TEX} نمایش می‌دهیم و آن را دترمینان {TEX()} {A} {TEX} می‌خوانیم.
 اگر : اگر :
 @@{picture=img/daneshnameh_up/a/aa/determinan11.JPG}@@ @@{picture=img/daneshnameh_up/a/aa/determinan11.JPG}@@
 آنگاه: آنگاه:
 @@ {TEX()} {det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} {TEX}@@ @@ {TEX()} {det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} {TEX}@@
 --- ---
 !!خواص دترمینان !!خواص دترمینان
 اگر ستون‌های ماتریس {TEX()} {A} {TEX} را با {TEX()} {A_2,A_1} {TEX} نشان دهیم آنگاه {TEX()} {A=[A_1,A_2]} {TEX} و خواهیم داشت : اگر ستون‌های ماتریس {TEX()} {A} {TEX} را با {TEX()} {A_2,A_1} {TEX} نشان دهیم آنگاه {TEX()} {A=[A_1,A_2]} {TEX} و خواهیم داشت :
 @@{TEX()} {det[A_1+{A^\prime}_1,A_2]=det[A_1,A_2]+det[{A^\prime}_1,A_2]} {TEX}@@ @@{TEX()} {det[A_1+{A^\prime}_1,A_2]=det[A_1,A_2]+det[{A^\prime}_1,A_2]} {TEX}@@
 @@{TEX()} {det[A_1,cA_2]=c det[A_1,A_2]} {TEX}@@ @@{TEX()} {det[A_1,cA_2]=c det[A_1,A_2]} {TEX}@@
  @@ {TEX()} {det[cA_1,A_2]=c det[A_1.A_2]} {TEX}@@  @@ {TEX()} {det[cA_1,A_2]=c det[A_1.A_2]} {TEX}@@
 @@{TEX()} {det[A,A]=0} {TEX}@@ @@{TEX()} {det[A,A]=0} {TEX}@@
 @@{TEX()} {detI_2=0} {TEX}@@ @@{TEX()} {detI_2=0} {TEX}@@
 @@{TEX()} {det[A_1,A_2]=det[A_1,cA_1+A_2]} {TEX}@@ @@{TEX()} {det[A_1,A_2]=det[A_1,cA_1+A_2]} {TEX}@@
  @@{TEX()} {det[A_1,A_2]=det[cA_2+A_1,A_2]_} {TEX}@@  @@{TEX()} {det[A_1,A_2]=det[cA_2+A_1,A_2]_} {TEX}@@
 @@{TEX()} {det[A_1,A_2]=-det[A_2,A_1]} {TEX}@@ @@{TEX()} {det[A_1,A_2]=-det[A_2,A_1]} {TEX}@@
 @@{TEX()} {det[A,0]=0} {TEX}@@ @@{TEX()} {det[A,0]=0} {TEX}@@
 --- ---
 !تعریف !تعریف
 اگر {TEX()} {A} {TEX} یک ((ماتریس)) مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} باشد آنگاه ماتریس حاصل از حذف سطر {TEX()} {i} {TEX} ام و ستون {TEX()} {j} {TEX} ام که یک ماتریس از مرتبه {TEX()} {n-1} {TEX} در {TEX()} {n-1} {TEX} است را با نماد {TEX()} {\mathcal {A}_{ij}} {TEX} نمایش می‌دهیم.در اینصورت: اگر {TEX()} {A} {TEX} یک ((ماتریس)) مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} باشد آنگاه ماتریس حاصل از حذف سطر {TEX()} {i} {TEX} ام و ستون {TEX()} {j} {TEX} ام که یک ماتریس از مرتبه {TEX()} {n-1} {TEX} در {TEX()} {n-1} {TEX} است را با نماد {TEX()} {\mathcal {A}_{ij}} {TEX} نمایش می‌دهیم.در اینصورت:
 @@{TEX()} {|A|=\sum_{j=1}^n(-1)^{k+j}a_{kj}det \mathcal {A}_{kj}} {TEX}@@ @@{TEX()} {|A|=\sum_{j=1}^n(-1)^{k+j}a_{kj}det \mathcal {A}_{kj}} {TEX}@@
 --- ---
 !!قضیه1 !!قضیه1
 اگر {TEX()} {B,A} {TEX} دو ماتریس باشند آنگاه: اگر {TEX()} {B,A} {TEX} دو ماتریس باشند آنگاه:
 # {TEX()} {det(AB)=det(A)det(B)} {TEX} # {TEX()} {det(AB)=det(A)det(B)} {TEX}
 # {TEX()} {det(A)=det(A^T)} {TEX} # {TEX()} {det(A)=det(A^T)} {TEX}
 #اگر {TEX()} {A} {TEX} وارون پذیر باشد آنگاه {TEX()} {det(A) \neq 0} {TEX} #اگر {TEX()} {A} {TEX} وارون پذیر باشد آنگاه {TEX()} {det(A) \neq 0} {TEX}
 --- ---
 !!قضیه2 !!قضیه2
 اگریک ستون از ((ماتریس)) مربع {TEX()} {A} {TEX} از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} مضربی از ستون دیگر آن باشد آنگاه{TEX()} {det(A)=0} {TEX} اگریک ستون از ((ماتریس)) مربع {TEX()} {A} {TEX} از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} مضربی از ستون دیگر آن باشد آنگاه{TEX()} {det(A)=0} {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 @@{TEX()} {A=[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,kA_i, \cdots ,A_n]} {TEX}@@ @@{TEX()} {A=[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,kA_i, \cdots ,A_n]} {TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
 @@{TEX()} {detA=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i,\cdots ,kA_i, \cdots ,A_n]} {TEX}@@ @@{TEX()} {detA=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i,\cdots ,kA_i, \cdots ,A_n]} {TEX}@@
 لذا: لذا:
 @@{TEX()} {det(A)=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,kA_i-kA_i, \cdots ,A_n]=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,0, \cdots ,A_n]=0} {TEX}@@--- @@{TEX()} {det(A)=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,kA_i-kA_i, \cdots ,A_n]=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,0, \cdots ,A_n]=0} {TEX}@@---
 !!قضیه3 !!قضیه3
 {TEX()} {det(A^n)=(detA)^n} {TEX} {TEX()} {det(A^n)=(detA)^n} {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 به ((استقرا)) روی{TEX()} {n} {TEX} عمل می‌کنیم: به ((استقرا)) روی{TEX()} {n} {TEX} عمل می‌کنیم:
 @@{TEX()} {p(n=1):\ \ det(A^1)=(detA)^1} {TEX}@@ @@{TEX()} {p(n=1):\ \ det(A^1)=(detA)^1} {TEX}@@
 فرض استقرا: فرض استقرا:
 @@{TEX()} {p(n=k):\ \ det(A^k)=(detA)^k} {TEX}@@ @@{TEX()} {p(n=k):\ \ det(A^k)=(detA)^k} {TEX}@@
 حکم استقرا: حکم استقرا:
 @@{TEX()} {p(n=k+1):\ \ det(A^{k+1})=(detA)^{k+1}} {TEX}@@ @@{TEX()} {p(n=k+1):\ \ det(A^{k+1})=(detA)^{k+1}} {TEX}@@
-اما +اما:
 @@{TEX()} {det(A^{k+1})=det(A^kA)=det(A^k)det(A)=(detA)^kdet(A)=(detA)^{k+1}} {TEX}@@ @@{TEX()} {det(A^{k+1})=det(A^kA)=det(A^k)det(A)=(detA)^kdet(A)=(detA)^{k+1}} {TEX}@@
 !همچنین ببینید !همچنین ببینید
 *((ماتریس)) *((ماتریس))
 *((فضاهای برداری)) *((فضاهای برداری))
  #@^  #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 17 اردیبهشت 1385 [09:56 ]   2   فاطمه نقوی      جاری 
 شنبه 16 اردیبهشت 1385 [17:00 ]   1   فاطمه نقوی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..