منو
 کاربر Online
540 کاربر online
تاریخچه ی: حد

تفاوت با نگارش: 8

Lines: 1-53Lines: 1-62
 V{maketoc} V{maketoc}
 در ((ریاضیات))، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک ((تابع)) مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی ((صفحه)) و یا در ((بی نهایت)) می پردازد. حد در ((حساب دیفرانسیل و انتگرال)) و نیز در ((آنالیز)) ریاضی برای تعریف ((مشتق)) و نیز مفهوم ((پیوستگی)) مورد استفاده قرار می گیرد.  در ((ریاضیات))، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک ((تابع)) مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی ((صفحه)) و یا در ((بی نهایت)) می پردازد. حد در ((حساب دیفرانسیل و انتگرال)) و نیز در ((آنالیز)) ریاضی برای تعریف ((مشتق)) و نیز مفهوم ((پیوستگی)) مورد استفاده قرار می گیرد.
 +ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ا((رشمیدس)) مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در ((دایره)) به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان(( رنسانس ))انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.
 +((نیوتن)) و ((لایب نیتس))در قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.
 +یک قرن پس از پیشرفت ((حساب دیفرانسیل و انتگرال))، ((آلمبرت)) در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. ((کوشی)) در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:
 +"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."
 +اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ((ویراشتراس)) در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.
 !حد تابع در یک نقطه !حد تابع در یک نقطه
 اگر یک تابع و یک ((عدد حقیقی)) باشد و داشته باشیم:{TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر {TEX()} {f(c) \neq L} {TEX} اگر یک تابع و یک ((عدد حقیقی)) باشد و داشته باشیم:{TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر {TEX()} {f(c) \neq L} {TEX}
  باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم  باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم
 {TEX()} {f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}} {TEX} {TEX()} {f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}} {TEX}
  
   
 حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که {TEX()} {f(c) = \lim_{x\to c} f(x)} {TEX} در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای  حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که {TEX()} {f(c) = \lim_{x\to c} f(x)} {TEX} در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
 پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.  پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.
 
 
 
 
  
 {picture=limits1.gif} {picture=limits1.gif}
  
 
 
 
 
  
 
 
  
  
 منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است
  
 
 
 
 
 !تعریف مجرد حد:  !تعریف مجرد حد:
 فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت {TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم: فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت {TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم:
  به ازای هر{TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX}وجود دارد یک {TEX()} {\delta\ >0} {TEX} که برای هر x دلخواه اگر {TEX()} {0<|x-c|< \delta} {TEX} آنگاه نتیجه بگیریم: {TEX()} {| f (x)-L|< \epsilon} {TEX}  به ازای هر{TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX}وجود دارد یک {TEX()} {\delta\ >0} {TEX} که برای هر x دلخواه اگر {TEX()} {0<|x-c|< \delta} {TEX} آنگاه نتیجه بگیریم: {TEX()} {| f (x)-L|< \epsilon} {TEX}
 !حد توابع در بی نهایت !حد توابع در بی نهایت
 حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند. حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
 به عنوان مثال در تابع {TEX()} {f(x) = \frac{2x}{x + 1}} {TEX} خواهیم داشت: به عنوان مثال در تابع {TEX()} {f(x) = \frac{2x}{x + 1}} {TEX} خواهیم داشت:
 * __f(100) = 1.9802__ * __f(100) = 1.9802__
 * __f(1000) = 1.9980__ * __f(1000) = 1.9980__
 * __f(10000) = 1.9998__ * __f(10000) = 1.9998__
 مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم: مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
 {TEX()} {\lim_{x \to \infty} f(x) = 2} {TEX} {TEX()} {\lim_{x \to \infty} f(x) = 2} {TEX}
 !حد یک دنباله !حد یک دنباله
 حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود. حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
 به طور کلی فرض می کنیم یک ((دنباله)) از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: {TEX()} { \lim_{n \to \infty} x_n = L} {TEX} اگر و تنها اگر برای هر {TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX} یک ((عدد طبیعی)) مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیم{TEX()} {|x_n-l|<\epsilon} {TEX} به طور کلی فرض می کنیم یک ((دنباله)) از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: {TEX()} { \lim_{n \to \infty} x_n = L} {TEX} اگر و تنها اگر برای هر {TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX} یک ((عدد طبیعی)) مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیم{TEX()} {|x_n-l|<\epsilon} {TEX}
  باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار {TEX()} {|x_n-l|} {TEX}. را به عنوان فاصله بین {TEX()} {x_n} {TEX} و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.  باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار {TEX()} {|x_n-l|} {TEX}. را به عنوان فاصله بین {TEX()} {x_n} {TEX} و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.
 !پیوند خارجی !پیوند خارجی
 [http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29|www.wikipedia.com]  [http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29|www.wikipedia.com]

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 18 دی 1384 [10:22 ]   9   علی هادی      جاری 
 دوشنبه 26 اردیبهشت 1384 [11:59 ]   8   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 26 اردیبهشت 1384 [10:50 ]   7   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 26 اردیبهشت 1384 [10:17 ]   6   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 26 اردیبهشت 1384 [08:50 ]   5   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 26 اردیبهشت 1384 [07:07 ]   4   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 25 اردیبهشت 1384 [13:23 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 25 اردیبهشت 1384 [13:06 ]   2   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 25 اردیبهشت 1384 [12:51 ]   1   علی هادی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..