تاریخچه ی:
حد
تفاوت با نگارش: 4
| | V{maketoc} | | V{maketoc} |
| | در ((ریاضیات))، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک ((تابع)) مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی ((صفحه)) و یا در ((بی نهایت)) می پردازد. حد در ((حساب دیفرانسیل و انتگرال)) و نیز در ((آنالیز)) ریاضی برای تعریف ((مشتق)) و نیز مفهوم ((پیوستگی)) مورد استفاده قرار می گیرد. | | در ((ریاضیات))، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک ((تابع)) مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی ((صفحه)) و یا در ((بی نهایت)) می پردازد. حد در ((حساب دیفرانسیل و انتگرال)) و نیز در ((آنالیز)) ریاضی برای تعریف ((مشتق)) و نیز مفهوم ((پیوستگی)) مورد استفاده قرار می گیرد. |
| - | ! اع یک نق />اگ یک تاع و یک ((د قیی)) و دشت بیم:{TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX}
آن ه این فرمو را چنین میوانیم << حد اع f وقتی که x م می د براب L است>> ته کی این عبارت حی ر {TEX()} {f(c) \neq L} {TEX}
باد یز ی تواند باشد. در ابع در نقه c یف ده .ی مثای را ک می کیم: /> اب یر ا ییری |
+ | ییدانه ی ق ا اینکه بتوانن مفهوم دقیق د ا یا کنن مورد ب می ده اند. یوانیان استان درکی از مفهوم حد اته . ملاً ا((رشمیس)) قدار تقریبی را ب استده از حی د ضلعیهای منتظم محط در ((دایره)) به شعا واحد، قتی ک تعداد ل بدون کران یش می یابد ه می آد. قون وی یز تا زما(( رنسانس ))نوع ماهیم حد رای بست وردن ماحت کلهی لف ب ار رته است. |
| - | {TEX()} {f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}} {TEX} /> |
+ | ((نیوتن)) و ((لایب نیتس))در قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند. |
| | + | یک قرن پس از پیشرفت ((حساب دیفرانسیل و انتگرال))، ((آلمبرت)) در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. ((کوشی)) در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد: |
| - | حا تغیر x را به عدد2 دیک می کنیم و وای دید که مقر اب ه 0.4 ندیک می شود. ر این ود ماده می شود که {TEX()} {f(c) = \lim_{x\to c} f(x)} {TEX} ر ای وت گینه تابع قطه X=C دارای پیوتگی ت. اا هی این مو بق نیست مثاً اب ی در ر بگیرید: |
+ | "تی که قدیر موای ب یک میر نب ده می شود، ی نهایت ب دد ابتی زدیک شوند، به وری ک تلاف نها قدار ثات ه ه ادازه کچک قب اناب ب این مدار اب همه مقادیر غیر می گویند." |
| | + | اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ((ویراشتراس)) در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است. |
| | + | !حد تابع در یک نقطه |
| - | 100%;">g(x)=\left\{\begin{matrix} x/(x^2+1), & \mbox{if }x\ne 2 \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right. |
+ | اگر یک تابع و یک ((عدد حقیقی)) باشد و داشته باشیم:70%;">{TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} nt>آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر nt style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {f(c) \neq L} {TEX}r /> باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم |
| - | ین ابع قی X ب 2 ی ود مقدار راب 0.4 میشود،وی __0=(2)g __ت س \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)،درنتیجه تابع در نقطه 2 پیوسته نیست. |
+ | {TEX()} {f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}} {TEX}
ل مغیر x ا به عدد2 دیک می کنیم یم ید که مقدار اب به 0.4 نزدیک می شود. ر ان مورد شاهده می و ک {TEX()} {f(c) = \lim_{x\to c} f(x)} {TEX} در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.
{picture=limits1.gif}
|
منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است
|
|
| | !تعریف مجرد حد: | | !تعریف مجرد حد: |
| - | فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت {TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم
به ازای هر{TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX}
وجود دارد یک که برای هر دلخواه
حد توابع در بی نهایت |
+ |
فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت {TEX()} {\lim_{x \to c}f(x) = L } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هر{TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX}وجود دارد یک {TEX()} {\delta\ >0} {TEX} که برای هر x دلخواه اگر {TEX()} {0<|x-c|< \delta} {TEX} آنگاه نتیجه بگیریم: {TEX()} {| f (x)-L|< \epsilon} {TEX}
!حد توابع در بی نهایت |
| | حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند. | | حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند. |
| - | به عنوان مثال:
حد یک دنباله مانند را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 8/1 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک ((دنباله)) از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر است و می نویسیم: اگر و تنها اگر برای هر وجود دارد یک ((عدد طبیعی)) مانند که برای هر آن گاه داشته باشیم باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار قدر مطلق را به عنوان فاصله بین در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد میل می کند همگرا گویند و گرنه واگرا گویند. |
+ | به عنوان مثال در تابع {TEX()} {f(x) = \frac{2x}{x + 1}} {TEX} خواهیم داشت:
* __f(100) = 1.9802__
* __f(1000) = 1.9980__
* __f(10000) = 1.9998__
مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
{TEX()} {\lim_{x \to \infty} f(x) = 2} {TEX}
!حد یک دنباله
حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک ((دنباله)) از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: {TEX()} { \lim_{n \to \infty} x_n = L} {TEX} اگر و تنها اگر برای هر {TEX()} {\epsilon\ >0} {TEX} یک ((عدد طبیعی)) مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیم{TEX()} {|x_n-l|<\epsilon} {TEX}
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {|x_n-l|} {TEX}. را به عنوان فاصله بین {TEX()} {x_n} {TEX} و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند. />
!پیوند خارجی
[http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29|www.wikipedia.com]
|
