: توابع چند متغیره

!مقدمه

تاکنون ((تابع|توابع حقیقی)) و ((توابع برداری)) را که تنها دارای یک متغیر مستقل بودند مورد مطالعه قرار دادیم. اگرچه بسیاری از پدیده‌های جهان فیزیکی توسط این توابع توصیف می‌شوند، ولی اغلب کمیتهای فیزیکی در واقع به بیش از یک متغیر وابسته هستند. به عنوان مثال ، حجم یک مکعب مستطیل به طول ، عرض و ارتفاع آن و دمای نقطه‌ای از یک جسم به مختصات آن نقطه (و احتمالا زمان) بستگی دارد. متناظر با هر کمیتی که به چند متغیر وابسته باشد، یک تابع با چند متغیر وجود دارد.

!تعریف

تابع f که دامنه آن زیرمجموعه‌ای از {TEX()} {R^n} {TEX} و برد آن مجموعه‌ای از ((اعداد حقیقی)) باشد را یک تابع (حقیقی) n متغیره می‌گوییم.

!توابع دو متغیره و سه متغیره

تابع f یک ((توابع دو متغیره|تابع دو متغیره)) است، اگر دامنه آن مجموعه‌ای از نقاط صفحه باشد. به همین ترتیب f را یک ((توابع سه متغیره|تابع سه متغیره)) می‌گوییم اگر دامنه آن مجموعه‌ای از نقاط فضا باشد.

!!اعمال جبری در مورد توابع دو متغیره

::{TEX()} {(f+g) ( x,y) = f(x,y) + g( x,y)} {TEX}::

::{TEX()} {(f-g) (x,y) = f(x,y) - g( x,y)} {TEX}::

::{TEX()} {(fg) (x,y) = f(x,y) . g(x,y)} {TEX}::

::{TEX()} {(\frac{f}{g}) (x,y) = \frac {f(x,y)}{g(x,y)}} {TEX}::

دامنه توابع حاصلجمع ، تفاضل و حاصلضرب f و g برابر با اشتراک دامنه‌های f و g است، و دامنه خارج قسمت f و g برابر با مجموع نقاط {TEX()} {(x,y)} {TEX} مشترک بین دامنه‌های f و g است به طوری که {TEX()} {g(x,y) \ne 0} {TEX}

!!ترکیب دو تابع

اگر f یک تابع دو متغیره و g یک تابع یک متغیره باشند، آنگاه gof به صورت:

::{TEX()} {gof(x,y) = g(f(x,y))} {TEX}::

تعریف می‌شود. دامنه تابع gof مجموعه همه نقاط {TEX()} {(x,y)} {TEX} در دامنه f است. بطوری که عدد حقیقی {TEX()} {f(x,y)} {TEX} در دامنه g باشد.

!سطوح تراز

با وجودی که رسم نمودار توابع دو متغیره به آسانی رسم نمودار توابع یک متغیره نیست، نمودار بسیاری از این توابع را می‌توانیم رسم کنیم. ولی رسم نمودار توابع سه متغیره ممکن نیست، زیرا برای این کار به چهار بعد نیاز است. با این وجود ، با استفاده از سطوحی به نام "سطوح تراز" می‌توان اطلاعات مفیدی در مورد ((توابع سه متغیره)) به دست آورد. اگر f یک تابع سه متغیره باشد، آنگاه به ازای هر c مجموعه همه نقاط {TEX()} {(x,y,z)} {TEX} را بطوری که {TEX()} {f(x,y,z)=C} {TEX} یک سطح تراز f می‌نامیم. به عنوان مثال ، اگر {TEX()} {f(x,y,z)} {TEX} نمایش دمای نقطه {TEX()} {(x,y,z)} {TEX} باشد، آنگاه سطح تراز {TEX()} {f(x,y,z)=C} {TEX} سطحی است که دمای تمام نقاط آن مقدار ثابت C است. به ازای c=0 ، سطح تراز {TEX()} {g(x,y,z)=0} {TEX} نمودار تابع f با معادله {TEX()} {Z=f(x,y)} {TEX} است. به این دلیل ، نمودار یک تابع دو متغیره را یک سطح با یک ((رویه)) می‌نامیم. برای رسم سطوح تراز ، مقطع آن را با صفحه‌های x=c، y=c و z=c پیدا می‌کنیم. هر یک از این مقاطع را یک اثر سطح تراز می‌نامیم. مهمترین سطوح تراز سطوح تراز درجه دوم هستند.

!سطوح یا رویه‌های درجه دوم

سطوح درجه دوم به 9 دسته تقسیم می‌شوند. در زیر a ، b و c اعداد حقیقی و مثبت هستند.

!!((بیضیوار))

::{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1} {TEX}::

اگر a=b باشد، نمودار این بیضیوار یک دایره است. همچنین ، اگر a=b=c ، آنگاه نمودار این بیضیوار یک کره به مرکز مبدا و شعاع a است. اثر بیضیوار در صفحه z=k به شکل بیضی است.

!!((استوانه بیضوی))

::{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} {TEX}::

اگر a=b ، این سطح یک استوانه (مدور) است. اثر استوانه بیضوی در صفحه های z=k یک بیضی است.

!!مخروط (دو پارچه) بیضوی

::{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0} {TEX}::

اثر مخروط در صفحه‌های z=k یک بیضی (یا دایره ، a=b) یا یک نقطه اگر (k=0) است. اثر این مخروط در صفحه‌های x=0 و y=0 شامل دو خط که از مبدا می‌گذرند است. اگر a=b ، این سطح را یک مخروط (دو پارچه) مدور می‌نامیم.

!!سهمیوار بیضوی

::{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}} {TEX}::

اثر سهمیوار در هر صفحه z=k یک بیضی (یا دایره ، اگر a=b) ، یک نقطه یا تهی است. اثر این سطح در صفحه‌های x=0 و y=0 یک سهمی است. اگر a=b ، این سطح را یک سهمیوار مدور می‌نامیم.

!!ورق سهموی (یا ((استوانه سهموی)))

::{TEX()} {y=ax^2} {TEX}::

اثر این سطح با صفحه‌های y=0 سهمی {TEX()} {y=ax^2} {TEX} است.

!!سهمیوار هذلولوی

::{TEX()} {\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}} {TEX}::

اثر این سهمیوار در صفحه‌های x=0 و y=0 دو سهمی ، یکی روبه بالا و دیگری روبه پایین است. اثر این سطح در صفحه z=0 متشکل از دو خط متقاطع است. اثر آن در هر صفحه دیگر موازی با صفحه xy یک ((هذلولوی)) است. نمودار این سطح شبیه به زین اسب است.

!!ورق هذلولوی (یا استوانه هذلولوی دو پارچه)

::{TEX()} {\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1} {TEX}::

اثر این سطح در هر صفحه z=k هذلولوی ::{TEX()} {\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1} {TEX}:: است.

!!ورق هذلولیوار یک پارچه

::{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1} {TEX}::

اثر این ورق در صفحه‌های x=0 و y=0 هذلولوی و در صفحه‌های z=k یک بیضی (یا دایره ، اگر a=b) است.

!!هذلولیوار دو پارچه

::{TEX()} {\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1} {TEX}::

اثر این سطح در صفحه‌های y=k یا x=l یک هذلولوی و در صفحه های z=e یک بیضی (یا دایره ، اگر a=b)، یک نقطه یا تهی است.

!مشتق جزئی برای توابع n متغیره

فرض کنیم f تابعی n-متغیره باشد. اگر همه متغیرها به جز یکی از آنها را ثابت در نظر بگیریم، تابعی با یک متغیر به دست می‌آید. که این همان ((مشتق جزئی)) توابع چندمتغیره است.

!!مشتق جزئی برای توابع دومتغیره

اگر D دامنه f باشد، آنگاه {TEX()} {f_x} {TEX} تابعی از دو متغیر x و y و با دامنه

{TEX()} {D^'={(x,y)\in\mathbb{D}|f_x(x,y)} {TEXاست. این تابع را با {TEX()} {\frac{\partial f}{\partial x}} {TEX} نیز نشان می‌دهیم. {TEX()} {\frac{\partial f}{\partial x}} {TEXf_y=} نیز به همین ترتیب تعریف می‌شود. توابع {TEX()} {f_x} {TEX} و {TEX()} {f_y} {TEX} را مشتقهای جزئی مرتبه اول f می‌نامیم. نماد {TEX()} {\partial} {TEX} به جای d برای تمایز مشتقهای جزئی از مشتقهای دیگر به کار رفته است. توجه کنید که برای محاسبه {TEX()} {f_x (x,y)} {TEX} ، متغیر y را در {TEX()} {f(x,y)} {TEX} ثابت در نظر گرفته و با f همچون تابعی یک متغیره رفتار کرده‌ایم. این مطلب در مورد {TEX()} {f_x (x,y)} {TEX} نیز صادق است.

!آهنگ تغییر

!!مشتقهای جزئی رتبه‌های بالاتر

مفهوم مشابهی با مشتقهای مرتبه‌های بالاتر توابع یک‌متغیره در مورد توابع n-متغیره وجود دارد. اگر f تابعی از متغیرهای x و y باشد، آنگه {TEX()} {f_x} {TEX} و {TEX()} {f_y} {TEX} توابعی از متغیرهای x و y هستند. در نتیجه مشتقهای جزئی {TEX()} {f(x)} {TEX} و {TEX()} {f(y)} {TEX} را نیز می‌توان در نظر گرفت. این مشتقها که مشتقهای جزئی مرتبه دوم نامیده می‌شوند، عبارتند از:

::{TEX()} {f_{xx}=\frac{d}{dx} (\frac{df}{dx})} {TEX}::

::{TEX()} {f_{xy}=\frac{d}{dy} (\frac{df}{dx})} {TEX}::

::{TEX()} {f_{yx}=\frac{d}{dx} (\frac{df}{dy})} {TEX}::

::{TEX()} {f_{yy}=\frac{d}{dy} (\frac{df}{dy})} {TEX}::

اگر تابع f با دو متغیر x و y باشد به طوری که {TEX()} {f_{xy}} {TEX} و {TEX()} {f_{yx}} {TEX}در {TEX()} {(a,b)} {TEX} پیوسته باشند در این صورت:

::{TEX()} {f_{xy} (a,b)=f_{yx} (a,b)} {TEX}::

!مباحث مرتبط با عنوان

*((انتگرالهای چندگانه))

*((انواع تابع))

*((تابع))

*((ترکیب توابع))

*((توابع برداری))