تاریخچه ی:
توابع جبری
تفاوت با نگارش: 1
| | !تعریف تابع جبری | | !تعریف تابع جبری |
| | تابع جبری هر تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y است که در معادله‌ای به شکل زیر صدق می‌کند: | | تابع جبری هر تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y است که در معادله‌ای به شکل زیر صدق می‌کند: |
| | {TEX()} {p_0\left(x\right)} {TEX}{TEX()} {y^n} {TEX}+{TEX()} {p_1\left(x\right)} {TEX}{TEX()} {y^n-1} {TEX}+...+{TEX()} {p_n\left(x\right)} {TEX}=0 | | {TEX()} {p_0\left(x\right)} {TEX}{TEX()} {y^n} {TEX}+{TEX()} {p_1\left(x\right)} {TEX}{TEX()} {y^n-1} {TEX}+...+{TEX()} {p_n\left(x\right)} {TEX}=0 |
| | که در آن {TEX()} {p_1\left(x\right)} {TEX} ، {TEX()} {p_0\left(x\right)} {TEX} و...و {TEX()} {p_n\left(x\right)} {TEX} کثیر‌الجمله‌های معینی بر حسب x می‌باشند. | | که در آن {TEX()} {p_1\left(x\right)} {TEX} ، {TEX()} {p_0\left(x\right)} {TEX} و...و {TEX()} {p_n\left(x\right)} {TEX} کثیر‌الجمله‌های معینی بر حسب x می‌باشند. |
| | !تابع درست گویا یا چند جمله‌ای | | !تابع درست گویا یا چند جمله‌ای |
| | مقصود از یک تابع چند جمله‌ای یا بطور خلاصه یک چند جمله‌ای ، تابع حقیقی R→R: f به صورت | | مقصود از یک تابع چند جمله‌ای یا بطور خلاصه یک چند جمله‌ای ، تابع حقیقی R→R: f به صورت |
| | {TEX()} {x^n-1} {TEX}{TEX()} {a_1} {TEX}+{TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x^n} {TEX}+...+{TEX()} {a_n-1} {TEX}{TEX()} {x} {TEX}+{TEX()} {a_n} {TEX} | | {TEX()} {x^n-1} {TEX}{TEX()} {a_1} {TEX}+{TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x^n} {TEX}+...+{TEX()} {a_n-1} {TEX}{TEX()} {x} {TEX}+{TEX()} {a_n} {TEX} |
| | است که در آن x ، تابع همانی روی عدد اعداد حقیقی (متغیر) ، {TEX()} {a_0} {TEX} {TEX()} {a_1} ، {TEX} و ...و {TEX()} {a_n} {TEX} اعداد حقیقی و {TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {\ne0} {TEX} می‌باشد. در چند جمله‌ای f سه نقطه نشانگر آن تعداد از جمله‌های مورد نیاز است تا تعداد کل جملات چند جمله‌ای 1+n شود. عدد صحیح n ، درجه f نامیده می‌شود و 1+n عدد حقیقی | | است که در آن x ، تابع همانی روی عدد اعداد حقیقی (متغیر) ، {TEX()} {a_0} {TEX} {TEX()} {a_1} ، {TEX} و ...و {TEX()} {a_n} {TEX} اعداد حقیقی و {TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {\ne0} {TEX} می‌باشد. در چند جمله‌ای f سه نقطه نشانگر آن تعداد از جمله‌های مورد نیاز است تا تعداد کل جملات چند جمله‌ای 1+n شود. عدد صحیح n ، درجه f نامیده می‌شود و 1+n عدد حقیقی |
| | {TEX()} {a_0} {TEX} ، {TEX()} {a_1} {TEX} و...و {TEX()} {a_n} {TEX} | | {TEX()} {a_0} {TEX} ، {TEX()} {a_1} {TEX} و...و {TEX()} {a_n} {TEX} |
| | را ضرایب f می‌خوانیم. ضریب {TEX()} {a_n} {TEX} ، در واقع یک ((تابع ثابت)) است و از آن به عنوان جمله ثابت f یاد خواهد شد. ضرایب دیگر f یعنی {TEX()} {a_0} {TEX} ، {TEX()} {a_1} {TEX} و ... و {TEX()} {a_n-1} {TEX} می‌توانند توابع ثابت یا اعداد حقیقی در نظر گرفته شوند. {TEX()} {a_0} {TEX} ، عدد حقیقی ناصفری است که ضریب جمله اول یا ضرایب جمله پیشرو خوانده می‌شود. به همین ترتیب جمله {TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x^n} {TEX} جمله اول یا جمله پیشرو نامیده می‌شود. | | را ضرایب f می‌خوانیم. ضریب {TEX()} {a_n} {TEX} ، در واقع یک ((تابع ثابت)) است و از آن به عنوان جمله ثابت f یاد خواهد شد. ضرایب دیگر f یعنی {TEX()} {a_0} {TEX} ، {TEX()} {a_1} {TEX} و ... و {TEX()} {a_n-1} {TEX} می‌توانند توابع ثابت یا اعداد حقیقی در نظر گرفته شوند. {TEX()} {a_0} {TEX} ، عدد حقیقی ناصفری است که ضریب جمله اول یا ضرایب جمله پیشرو خوانده می‌شود. به همین ترتیب جمله {TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x^n} {TEX} جمله اول یا جمله پیشرو نامیده می‌شود. |
| | !!چند جمله‌ای درجه صفر | | !!چند جمله‌ای درجه صفر |
| | چند جمله‌ایهای درجه صفر ، توابعی به شکل {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {\ne0} {TEX} می‌باشند و بنابراین مساوی توابع ثابت ناصفر هستند. تابع ثابت صفر نیز یک چند جمله‌ای محسوب می‌شود ولی دارای درجه‌ای نمی‌باشد. از این چند جمله‌ای خاص به عنوان چند جمله‌ای صفر نام برده می‌شود. | | چند جمله‌ایهای درجه صفر ، توابعی به شکل {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {\ne0} {TEX} می‌باشند و بنابراین مساوی توابع ثابت ناصفر هستند. تابع ثابت صفر نیز یک چند جمله‌ای محسوب می‌شود ولی دارای درجه‌ای نمی‌باشد. از این چند جمله‌ای خاص به عنوان چند جمله‌ای صفر نام برده می‌شود. |
| | !!چند جمله‌ای درجه یک | | !!چند جمله‌ای درجه یک |
| | چند جمله‌ای درجه 1 ، به صورت {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x} {TEX}+{TEX()} {a_1} {TEX} هستند و به نام چند جمله‌ایهای خطی شناخته می‌شوند. | | چند جمله‌ای درجه 1 ، به صورت {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x} {TEX}+{TEX()} {a_1} {TEX} هستند و به نام چند جمله‌ایهای خطی شناخته می‌شوند. |
| | !!چند جمله‌ای درجه دو | | !!چند جمله‌ای درجه دو |
| | چند جمله‌ای درجه 2 ، به صورت {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x^2} {TEX}+{TEX()} {a_1} {TEX}{TEX()} {x} {TEX}+{TEX()} {a_2} {TEX} می‌باشند. | | چند جمله‌ای درجه 2 ، به صورت {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}={TEX()} {a_0} {TEX}{TEX()} {x^2} {TEX}+{TEX()} {a_1} {TEX}{TEX()} {x} {TEX}+{TEX()} {a_2} {TEX} می‌باشند. |
| | و بالاخره چند جمله‌ایهای درجه 3 و 4 و الی آخر را می‌توان نوشت. | | و بالاخره چند جمله‌ایهای درجه 3 و 4 و الی آخر را می‌توان نوشت. |
| | *برای هر چند جمله‌ای {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} از مرتبه n داریم: {TEX()} {f\left(0\right)} {TEX} برابر است با جمله ثابت f و {TEX()} {f\left(1\right)} {TEX} مساوی با جمع جبری کلیه ضرایب f است. | | *برای هر چند جمله‌ای {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} از مرتبه n داریم: {TEX()} {f\left(0\right)} {TEX} برابر است با جمله ثابت f و {TEX()} {f\left(1\right)} {TEX} مساوی با جمع جبری کلیه ضرایب f است. |
| | !اعمال جبری روی چند جمله‌ایها | | !اعمال جبری روی چند جمله‌ایها |
| | *Cf حاصلضرب اسکالر عدد حقیقی C و چند جمله‌ای درجه n ام f ، یک چند جمله‌ای از درجه n است، اگر و تنها اگر {TEX()} {\ne0} {TEX}C. هرگاه ضرایب f برابر {TEX()} {a_0} {TEX} ، {TEX()} {a_1} {TEX} ، ... ، {TEX()} {a_n} {TEX} باشند آنگاه ضرایب چند جمله ای Cf مساوی {TEX()} {Ca_0} {TEX} ، {TEX()} {Ca_1} {TEX} ، ... ، {TEX()} {Ca_n} {TEX} خواهند بود. | | *Cf حاصلضرب اسکالر عدد حقیقی C و چند جمله‌ای درجه n ام f ، یک چند جمله‌ای از درجه n است، اگر و تنها اگر {TEX()} {\ne0} {TEX}C. هرگاه ضرایب f برابر {TEX()} {a_0} {TEX} ، {TEX()} {a_1} {TEX} ، ... ، {TEX()} {a_n} {TEX} باشند آنگاه ضرایب چند جمله ای Cf مساوی {TEX()} {Ca_0} {TEX} ، {TEX()} {Ca_1} {TEX} ، ... ، {TEX()} {Ca_n} {TEX} خواهند بود. |
| | *اگر f و g دو تابع چند جمله‌ای باشند در این صورت حاصل‌جمع این دو تابع به این صورت می‌باشد: f+g ، که تابع f+g نیز یک چند جمله‌ای است. | | *اگر f و g دو تابع چند جمله‌ای باشند در این صورت حاصل‌جمع این دو تابع به این صورت می‌باشد: f+g ، که تابع f+g نیز یک چند جمله‌ای است. |
| | *اگر f و g دو تابع چند جمله‌ای باشند در این صورت تفاضل این دو تابع به این صورت می‌باشد: f-g که تابع f-g نیز یک چند جمله‌ای است. | | *اگر f و g دو تابع چند جمله‌ای باشند در این صورت تفاضل این دو تابع به این صورت می‌باشد: f-g که تابع f-g نیز یک چند جمله‌ای است. |
| | !توابع کسری گویا | | !توابع کسری گویا |
| - | این توابع خارج قسمت در کثیرالجمله می‌باشد. یعنی:<br><br> |
+ | این توابع خارج قسمت در کثیرالجمله می‌باشد. یعنی:<br><br> |
| | {TEX()} {y=\frac{a_0x^n+a_1x^n-1+a_2x^n-2+...+a_n}{b_0x^m+b_1x^m-1+b_2x^m-2+...+b_m}} {TEX} | | {TEX()} {y=\frac{a_0x^n+a_1x^n-1+a_2x^n-2+...+a_n}{b_0x^m+b_1x^m-1+b_2x^m-2+...+b_m}} {TEX} |
| | واضح است که تابع کسری گویا به ازای جمیع مقادیر x به استثنای ریشه‌های مخرج معین خواهد بود. | | واضح است که تابع کسری گویا به ازای جمیع مقادیر x به استثنای ریشه‌های مخرج معین خواهد بود. |
| | !توابع اصم | | !توابع اصم |
| | اگر در فرمول {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y عملیات جمع ، تفریق ، ضرب ، تقسیم و به توان رساندن نمادهای گویای غیر درست در سمت راست انجام یابد، تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y را ((تابع اصم)) گوییم. مثلا تابع y={TEX()} {\sqrt{x}} {TEX} تابع اصم است. | | اگر در فرمول {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y عملیات جمع ، تفریق ، ضرب ، تقسیم و به توان رساندن نمادهای گویای غیر درست در سمت راست انجام یابد، تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y را ((تابع اصم)) گوییم. مثلا تابع y={TEX()} {\sqrt{x}} {TEX} تابع اصم است. |
| | !مباحث مرتبط با عنوان | | !مباحث مرتبط با عنوان |
| | *((تابع)) | | *((تابع)) |
| | *((تابع اصم)) | | *((تابع اصم)) |
| | + | *((تابع مرکب)) |
| | *((تابع ثابت)) | | *((تابع ثابت)) |
| | *((تابع چند جمله‌ای)) | | *((تابع چند جمله‌ای)) |
| | *((تابع گویا)) | | *((تابع گویا)) |
| | *((تابع همانی)) | | *((تابع همانی)) |
