تاریخچه ی:
تصاعد هندسی
||V{maketoc}||
||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وبسایت المپیاد رشد]موجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید.:: #@~~__||
^@#16:
!تصاعد هندسی
به دنبالهای که رابطه بازگشتی آن {TEX()} { a_n = r a_{n - 1}} {TEX} باشد یک دنباله هندسی یا تصاعد هندسی گفته میشود.
{TEX()} {r} {TEX}را قدرنسبت تصاعد هندسی مینامیم.
اگر{TEX()} { r>1 } {TEX} و{TEX()} { a_1>0 } {TEX} باشد، دنباله اکیداً صعودی خواهد بود و اگر{TEX()} {0 < r < 1 } {TEX} و{TEX()} { a_1 >0} {TEX} ((دنباله)) اکیداً نزولی خواهد بود.
رابطه صریح دنباله هم به صورت{TEX()} { a_n = r^{n - 1} a_1 } {TEX} میباشد که واضح نیز به نظر میرسد.
مسألهای که در تصاعد هندسی قابل تأمل میباشد مجموع جملات آن است.
اگر {TEX()} {S_n} {TEX}را مجموع جملات {TEX()} {a_1} {TEX}تا {TEX()} {a_n} {TEX}تعریف کنیم:
@@{TEX()} { S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n } {TEX} @@
آنگاه {TEX()} {S_n} {TEX}دنبالهای با ((رابطه بازگشتی)) زیر خواهد بود:
@@{TEX()} { S_n = S_{n- 1} + a_n = S_{n- 1}¬ + r^{n- 1} a_1 } {TEX} @@
اما مقدار صریح {TEX()} {S_n} {TEX}نیز به سادگی قابل محاسبه میباشد که داریم:
@@{TEX()} {S_n=\frac{a_1 (r^n-1)}{r-1}} {TEX}@@
---
!!مثال
اگر {TEX()} {S_n} {TEX}مجموع جملات دنباله هندسی با عنصر اول {TEX()} {a_1} {TEX}و قدرنسبت {TEX()} {r} {TEX}و {TEX()} {S_n^1} {TEX} مجموع جملات دنباله هندسی دیگری با همان عنصر اول ولی ((قدرنسبت)) {TEX()} {\frac{1}{r}} {TEX} باشد. رابطه {TEX()} {S_n} {TEX}و {TEX()} {S_n^1} {TEX} را بدست آورید؟
__حل . __
@@{TEX()} {S_n=\frac{a_1 (r^n-1)}{r-1}} {TEX}@@
@@{TEX()} {S_n^1=\frac{a_1(\frac{1}{r} n-1)}{\frac{1}{r}-1}} {TEX}@@
@@{TEX()} {\ \Rightarrow \frac{S_n}{S_n^1}=\frac{\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}}{\frac{a_1(\frac{1}{r} n-1)}{ \frac{1}{r} -1}}=r^{n-1}} {TEX}@@
---
! پیوند های خارجی
[http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0044.pdf]
---
!همچنین ببینید
*((تصاعد حسابی ))
*((مفاهیم ))
#@^