: تصاعد حسابی

همانطور که می‌دانیم اصطلاح "سری" را برای کمیت‌هایی که با ضابطه معینی مرتب شده‌اند بکار می‌بریم. هر یک از این کمیت‌ها را یک جمله سری و جمله nام را که برحسب n نوشته می‌شود جمله عمومی می‌نامیم.

!تعریف

اگر جمله عمومی یک ((سری)) بصورت {TEX()} {a_n=a+(n-1)d} {TEX} باشد که در آن d , a عددهای ثابت و مستقل از n هستند، سری را ((تصاعد حسابی)) می‌نامیم. از تعریف {TEX()} {a_n} {TEX} بدست می‌آید:

::{TEX()} {a_{n-1} = a+[(n-1)-1]d = a+(n-2)d} {TEX}::

::{TEX()} {a_n -a_{n-1}=a+(n-1)d - a -(n-2)d = d} {TEX}::

پس تفاضل هر دو جمله متوالی تصاعد حسابی مقدار ثابت d است. به همین سبب d را تفاضل مشترک تصاعد حسابی می‌نامند. همچنین به ازای n=1 ، {TEX()} {a_1=a} {TEX}. پس ، a جمله اول تصاعد حسابی است. بنابراین جمله‌های دیگر تصاعد حسابی با افزودن مقدار ثابت d به جمله پیش از آن بدست می‌آید.

!مجموع n جمله اول تصاعد حسابی

فرض می‌کنیم که {TEX()} {a_r} {TEX} جمله rام تصاعد حسابی باشد، یعنی {TEX()} {a_r=a+(r-1)d} {TEX}. می خواهیم {TEX()} {\sum_{r=1}^n a_r} {TEX} را که با {TEX()} {S_n} {TEX} نشان داده می‌شود، حساب کنیم. اکنون ، سری دیگری می‌سازیم که در آن n جمله اول تصاعد حسابی با ترتیب عکس قرار گرفته باشند سری جدید بصورت زیر است:

::{TEX()} {v_1 , v_2 ,...,v_n} {TEX}::

::{TEX()} {v_1 = a+(n-1)d , v_2 = a+(n-2)d , ... , v_r = a+(n-r)d , v_n =a} {TEX}::

مجموع این سری همان مجموع n جمله اول تصاعد حسابی است. پس ، {TEX()} {S_n = \sum_{r=1} ^n v_r} {TEX}

معمولا جمله nام ، یعنی {TEX()} {a+(n-1)d} {TEX} را با l نشان می‌دهیم. پس {TEX()} {S_n = \frac{1}{2}n(a+l)} {TEX}

!ویژگی‌ها

*اگر عددی را به همه جمله‌های یک تصاعد حسابی اضافه کنیم یا از آنها کم کنیم یک تصاعد حسابی دیگر با همان تفاضل مشترک بدست می‌آید.

*اگر همه جمله‌های یک تصاعد حسابی در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم شوند یک تصاعد حسابی دیگر با تفاضل مشترک متفاوت بدست می‌آیند.

برای اثبات این ویژگی‌ها ، جمله nام تصاعد حسابی اولیه را {TEX()} {a_n} {TEX} و جمله nام سری حاصل از اضافه کردن b به هر جمله را با {TEX()} {v_n} {TEX} و جمله nام سری حاصل از ضرب هر جمله در k را با {TEX()} {w_n} {TEX} نشان می‌دهیم. بنابراین با تشکیل {TEX()} {v_n , w_n} {TEX} داریم: سری {TEX()} {v_n} {TEX} یک تصاعدحسابی با جمله اول a+b و تفاضل مشترک d است همچنین {TEX()} {w_n} {TEX} یک تصاعد حسابی با جمله اول {TEX()} {a_k} {TEX} و تفاضل مشترک {TEX()} {k_d} {TEX} است.

*جمله nام هر تصاعد حسابی را می‌توان به شکل {TEX()} {(a-d)+nd} {TEX} نوشت. چون a-d و d مقدارهای ثابت‌اند. جمله nام را می‌توان به شکل A+nB نوشت که عبارتی خطی از n است. برعکس ، اگر جمله nام یک سری عبارتی خطی از n باشد. آن سری یک تصاعد حسابی است زیرا اگر {TEX()} {a_n=A+nB} {TEX} جمله nام یک سری باشد داریم: {TEX()} {a_n = A+B+(n-1)B} {TEX}. پس این سری یک تصاعد حسابی با جمله اول A+B و تفاضل مشترک B است.

*مجموع n جمله اول یک تصاعد حسابی ، یعنی {TEX()} {\frac{1}{2}n[2a+(n-1)d]} {TEX} را می‌توان به شکل {TEX()} {\frac{1}{2}n^2 d+\frac{1}{2}(2a-d)n} {TEX} نوشت. که عبارتی درجه دوم از n است. پس مجموع n جمله اول هر تصاعد حسابی را می‌توان بشکل {TEX()} {An^2+B} {TEX} نوشت که B , A عددهای ثابت و مستقل از n هستند. برعکس ، اگر مجموع n جمله اول یک سری به شکل {TEX()} {An^2+Bn} {TEX} یعنی عبارتی درجه دوم از n بدون جمله ثابت باشد، آن سری یک تصاعد حسابی است.

!مقدارهای منفی n

ممکن است جمله‌های یک تصاعد حسابی از سوی دیگر نیز ادامه داشته باشد و جمله‌های {TEX()} {... , a-3d , a-2d , a-d} {TEX} قبل از a قرار گیرند یعنی تصاعد حسابی بصورت زیر است:

:: {TEX()} {... , a-3d , a-2d , a-d , a , a+d , a+2d , a+3d ,...} {TEX}::

جمله‌های سمت چپ a با قرار دادن مقدارهای 0 و 1- و 2- و ... بجای n در {TEX()} {a+(n-1)d} {TEX} بدست آمده‌اند برای بدست‌ آوردن عده جمله‌هایی که مجموع آنها برابر مقدار معلوم S است باید معادله {TEX()} {S=\frac{1}{2}n[2a+(n-1)d]} {TEX} را حل کنیم. این معادله برحسب n از درجه دوم است و ممکن است یک یا هر دو ریشه آن منفی باشد. اگر {TEX()} {n_1} {TEX} مقداری منفی از کمیت n باشد که در این معادله صدق کند داریم:

::{TEX()} {S=\frac{1}{2}(-n_1)[2a+(-n_1-1)d]} {TEX}::

:: {TEX()} {-S=\frac{1}{2}(n_1)[2(a-d)-(n_1-1)d]} {TEX}::

یعنی اگر از حل معادله مقداری صحیح ولی منفی برای n بدست آوریم و {TEX()} {n_1} {TEX} جمله قبل از a را ، که با a-d شروع می‌شوند در نظر گیریم مجموع -S را بدست می‌آوریم.

!واسطه حسابی

!!تعریف

((واسطه حسابی)) n کمیت برابر است با مجموع همه آنها بخش‌بر n. بنابراین اگر {TEX()} {a_n , ... , a_2 , a_1} {TEX} کمیت‌های مورد نظر باشند واسطه حسابی آنها برابر است با {TEX()} {\frac{(\sum_{r=1}^n a_r)}{n}} {TEX}. واسطه حسابی دو کمیت b , a که آنها را c می‌نامیم، {TEX()} {\frac{(a+b)}{2}} {TEX} است. بنابراین ، a و c و b یک تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند زیرا اگر {TEX()} {b=a+2d } {TEX} داریم:

::{TEX()} {C=\frac{1}{2}(a+a+2d)=a+d} {TEX}::

همیشه می‌توانیم بین هر دو کمیت b , a هر عده کمیت دیگر بگنجانیم بطوری که سری بدست آمده تصاعد حسابی باشد. جمله‌هایی را که به این ترتیب بین b , a گنجانده می‌شوند واسطه‌های حسابی می‌نامیم. اگر n جمله بین b , a بگنجانیم یک سری با n+2 جمله بدست می‌آید که جمله اول آن a و جمله آخرش b است. بنابراین {TEX()} {b=a+(n+1)d} {TEX}. یعنی {TEX()} {d=\frac{(b-a)}{n+1}} {TEX} در نتیجه تصاعدهای حسابی بدست آمده چنین است:

::{TEX()} {a , a+d , a+2d , ... , a+nd , b} {TEX}::

!مباحث مرتبط با عنوان

*((تصاعد هندسی))

*((جمله عمومی))

*((سری))

*((واسطه حسابی))#@

---

*مطلب از: آیدا سلیم نژاد