تاریخچه ی:
تبدیلهای موبیوس
||V{maketoc}||
||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وبسایت المپیاد رشد]موجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/mathematicscontentlist.html|فهرست مطالب ریاضی] مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید.:: #@~~__||
^@#16:
!تبدیلهای موبیوس
!!تصویر گنجنگاشتی
تا کنون اعداد مختلط را با نقاط یک صفحه نمایش داده ایم. ولی اغلب نیاز داریم که آنها را به صورت نقاط واقع بر یک کره هم در نظر بگیریم.
کره ای به قطر واحد، مماس بر صفحه مختلط در مبدا مختصات را در نظر میگیریم. معادله این کره در دستگاه مختصات متعامد{TEX()} {(\xi ,\eta ,\zeta )} {TEX}
::{picture=img/daneshnameh_up/a/a2/mathm0079a.gif}::
به صورت
@@{TEX()} {{\xi}^2+{\eta}^2+(\zeta -\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2})^2} {TEX}@@
خواهد بود. به ازای هر نقطه {TEX()} {z=x+iy} {TEX} در صفحه مختلط، پاره خطی که قطب شمال {TEX()} {(0,0,1)} {TEX}را به این نقطه وصل میکند، کره را در نقطه یکتایی ( غیر از قطب شمال ) قطع میکند. به عکس به ازای هر نقطه واقع بر کره، غیر از قطب شمال، امتداد پاره خط واصل بین این نقطه و قطب شمال، صفحه مختلط را در نقطه یکتایی میبرد. بدین ترتیب یک تناظر یک به یک بین صفحه مختلط و کره ریمان که قطب شمال آن حذف شده است، به وجود میآید. برای برداشتن این استثنا، یک نقطه آرمانی به نام نقطه بینهایت را ( که با {TEX()} {\infty} {TEX} نشان داده می شود)، متناظر با قطب شمال{TEX()} {N} {TEX}، به صفحه مختلط {TEX()} {C} {TEX}اضافه میکنیم. این صفحه مختلط توسیع یافته را با {TEX()} {\hat{C}} {TEX} نمایش می دهیم؛ بنابراین {TEX()} {\hat{C}=C\cup \{\infty \}} {TEX}.
فرض میکنیم {TEX()} {z=x+iy\in C} {TEX}، متناظر با نقطه {TEX()} {(\xi .\eta ,\zeta )} {TEX} از کره ریمان باشد، پس با در نظر گرفتن مثلثهای متشابه داریم:
@@ {TEX()} {\frac{x}{\xi }=\frac{y}{\eta }=\frac{1}1-\zeta \ \rightarrow \ x=\frac{\xi }{1-\zeta } \ , \ y=\frac{\eta}{1-\zeta } }} {TEX}@@
یعنی:
@@{TEX()} {z=\frac{\xi +i\eta}{1-\zeta } \ , \ x^2+y^2=\frac{\zeta }{1-\zeta }} {TEX}@@
به عکس اگر {TEX()} {\zeta ,\eta ,\xi} {TEX} را بر حسب {TEX()} {z,y,x} {TEX} پیدا کنیم خواهیم داشت:
@@{TEX()} {\xi=\frac{x}{1+|z|^2}=\frac{z+\overline{z}}{2(1+|z|^2)}} {TEX}@@
@@{TEX()} {\eta=\frac{y}{1+|z|^2}=\frac{z-\overline{z}}{2i(1+|z|^2)}} {TEX}@@
@@{TEX()} {\zeta=\frac{|z|^2}{1+|z|^2}} {TEX}@@
برای یافتن نگاره یک دایره (یا یک خط ) از صفحه بر کره ریمان، این روابط را در معادله یک دایره "( یک خط اگر {TEX()} {A=0} {TEX} ) از صفحه، یعنی:
@@{TEX()} {A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0} {TEX}@@
قرار میدهیم ( که در آن{TEX()} {A,B,C,D \in R} {TEX} و {TEX()} {B^2+C^2 \ge 4AD} {TEX} )، تا معادله خطی زیر به دست آید.
@@{TEX()} {A\zeta +B\xi+C\eta +D(1-\zeta)=0} {TEX}@@
باید توجه داشت که شرط تقاطع این صفحه با کره ریمان، برقراری رابطه:
@@{TEX()} {|frac{\frac{1}{2}(A-D)+D}{\sqrt{B^2+C^2+(A-D)^2}|\le \frac{1}{2}} {TEX}@@
است که دقیقاً همان شرط {TEX()} {B^2+C^2\le 4AD} {TEX}و مبین آن است که معادله اصلی در صفحه مختلط، واقعاً معادله یک دایره است. به علاوه اگر {TEX()} {A=0} {TEX}، قطب شمال {TEX()} {(0,0,1)} {TEX} در معادله یک صفحه صدق می کند. چون فصل مشترک یک صفحه با کره یک دایره است، نیمه اول قضیه زیر به دست می آید:
---
!قضیه 1
دوایر و خطوط واقع در صفحه، بر دوایر کره نگاشته میشوند. خطوط مستقیم، بر دوایر مار بر قطب شمال نگاشته میشوند. به عکس دوایر کره بر دوایر و خطوط صفحه نگاشته میشوند.
__برهان.__
برای اثبات عکس قضیه، ملاحظه می کنیم که یک دایره واقع بر کره، فصل مشترک این کره با صفحه ای است مانند:
@@{TEX()} {A\xi +B\eta+C\zeta +D=0} {TEX}@@
و برای حصول اطمینان از تقاطع کره و صفحه باید شرط:
{TEX()} {|\frac{\frac{1}{2}C+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}|\le \frac{1}{2}} {TEX} ، یعنی {TEX()} {A^2+B^2 \ge $D(C+D)} {TEX}
برقرار باشد. این معادله برحسب{TEX()} {y,x} {TEX} به صورت
@@{TEX()} {(C+D)(x^2+y^2)+Ax+By+D=0} {TEX}@@
در میآید. اگر{TEX()} {C+D\neq 0} {TEX}، این معادله معرف یک دایره است؛ و چنانچه {TEX()} {C+D=0} {TEX}، ( یعنی هنگامی که دایره واقع بر کره از قطب شمال بگذرد )، این معادله معرف یک خط مستقیم است.
به ویژه این مطلب میرساند که هر دو خط واقع در صفحه یکدیگر را در نقطه بینهایت قطع میکنند. یک ویژگی مهم دیگر تصویر گنجنگاشتی، ویژگی زیر است:
---
!!قضیه2
تصویر گنجنگاشتی حافظ زاویه است.
__برهان.__
بی آنکه از کلیت مساله کاسته شود، می توانیم دو منحنی متقاطع در صفحه را دو خط مستقیم بگیریم. اما دو خط مستقیم در صفحه که در نقطه {TEX()} {(x_0,y_0)} {TEX} متقاطع باشند، بر دو دایره از کره ریمان نگاشته میشوند که در نقطه {TEX()} {({\xi }_0 ,{\eta}_0 ,{\zeta}_0} {TEX}و قطب شمال یکدیگر را قطع می کنند و این دو دایره در نقاط تقاطع، زاویه ای مساوی با زاویه دو خط میسازند. اگر دو خط در صفحه خطوط:
@@{TEX()} {A_2x+B_2y+C_2=0 \ , \ A_1x+B_1y+C_1=0} {TEX}@@
باشند، نگاره های گنجنگاشتی آنها به ترتیب در صفحات
@@{TEX()} {A_2\xi +B_2\eta +C_2(1-\zeta )=0 \ , \ A_1\xi+B_1\eta+C_1(1-\zeta )=0} {TEX}@@
قرار خواهند داشت. مماسهای مرسوم بر دوایر متناظر در قطب شمال، فصل مشترکهای این صفحات با صفحه {TEX()} {\zeta =1} {TEX} خواهند بود، که معادله های آنها به ترتیب:
@@ {picture=img/daneshnameh_up/f/ff/mathm0079b.gif}@@
خواهند شد واضح است که زاویه بین دو خط در صفحات مختلط، درست همان زاویه بین دو خط مماس در قطب شمال بر دو دایره متناظر است ( زیرا صفحه{TEX()} {\zeta =1} {TEX}با صفحه مختلط موازی است). ▪
باید توجه داشت، که اگر بخواهیم دقیق باشیم، باید ثابت کنیم که در تصویر گنجنگاشتی ویژگی دارا بودن یک مماس محفوظ میماند. اما این کار مستلزم استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال است.
---
! پیوند های خارجی
[http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0108.pdf]
#@^