: تابع نمایی e

!عدد e

چون {TEX()} {Ln2} {TEX} از 1 کمتر و {TEX()} {Ln4} {TEX} از 1 بیشتر است، طبق قضیه مقدار میانگین عددی بین 2 و 4 وجود دارد که لگاریتمش برابر با 1 است. چون {TEX()} {Lnx} {TEX} یک به یک است، این عدد یکتاست، و با جرف e نمایش داده می شود. __~~green:اویلر~~__ که در اوایل قرن هیجدهم درباره این عدد مطلبی نوشته، آن را با حرف اول نام خودش نمایش داده است. پس

{TEX()} {lne=1,e=ln^{-1}1} {TEX}

با انجام محاسبات لازم مقدار e به صورت زیر بدست آمده است:

e=2.7182182

!مشتق {TEX()} {y=e^x} {TEX}

تابع {TEX()} {y=e^x} {TEX} مشتق پذیر است، زیرا معکوس تابع مشتق پذیری است که مشتق آن هرگز صفر نمی‌شود. برای محاسبه مشتق {TEX()} {e^x} {TEX} از دو طرف لگاریتم می‌گیریم و سپس مشتق ضمنی نسبت به x را بدست می‌آوریم که حاصل به صورت زیر است:

{TEX()} {\frac {de^x}{dx}=e^x} {TEX}

تابع {TEX()} {e^x} {TEX} در اثر مشتق‌گیری تغییر نمی‌کند؛ این تابع فناناپذیر است. هر چند بار از آن مشتق بگیریم تغییر نمی‌کند. از این بابت تابع نمایی شبیه داستان مریدی است که از مرادش پرسید چه چیز زمین را نگه می‌دارد? پاسخ این بود که یک فیل زمین را نگه می‌دارد، و مرید طبیعتا می‌خواست بداند که چیز فیل را نگه می‌دارد. مراد لحظه‌ای مکث کرد و گفت فیل ، فیل ، باز هم فیل. حتی اگر از قبل نمی‌دانستیم، می‌توانستیم تعیین کنیم که {TEX()} {y=e^x} {TEX}، تابعی است صعودی از x ، زیرا ((مشتق)) آن مثبت است.

!انتگرال {TEX()} {y=e^x} {TEX}

تابع {TEX()} {e^x} {TEX} در اثر انتگرال‌گیری نیز تغییر نمی‌کند یعنی ((انتگرال)) آن به صورت زیر است:

::{TEX()} {\int e^{u} du=e^{u}+C} {TEX}::

!ویژگیهای تابع نمایی

*تابع نمایی {TEX()} {y=e^x} {TEX} معکوس تابع لگاریتم طبیعی {TEX()} {y=Lnx} {TEX} است؛ یعنی ، {TEX()} {e^x=Lnx^{-1}x} {TEX}

*__دامنه: __مجموعه تمام اعداد حقیقی

*__برد:__ مجموعه تمام اعداد مثبت.

*مشتق تابع نمایی برابر خودش است.

*تابعی است پیوسته (زیرا مشتق پذیر است) و صعودی از x.

*انتگرال تابع نمایی {TEX()} {y=e^x} {TEX} برابر خود تابع نمایی یعنی {TEX()} {e^x} {TEX} است.

*{TEX()} {e^{x_1}.e^{x_2}=e^{x_1+x_2}} {TEX}

*{TEX()} {e^{-x}=\frac{1}{e^x}} {TEX}

*برای حذف لگاریتم از یک رابطه، دو طرف را نمایی کنید و برای حذف پایه های e، از دو طرف لگاریتم بگیرید.

!روابط موجود میان تابع {TEX()} {Lnx} {TEX} و {TEX()} {e^x} {TEX}

چون {TEX()} {y=Lnx} {TEX} و {TEX()} {y=e^x} {TEX} ((معکوس)) یکدیگرند، پس داریم:

*به ازای هر x>0 داریم: {TEX()} {e^{Lnx}=x} {TEX}

*به ازای تمام x ها داریم: {TEX()} {Lne^x=x} {TEX}

!کاربردهای تابع نمایی

!!قانون تغییر نمایی

در بسیاری از پدیده‌های مربوط به ((فیزیک)) ، ((زیست شناسی)) ، ((محیط زیست)) و اقتصاد کمیتی چون y در هر زمان مفروض t با آهنگی رشد می‌کند یا زوال می‌یابد که متناسب است با مقدار کمیت موجود. {TEX()} {y=y_{0}e^{kt}} {TEX} همان قانون تغیر نمایی است که در آن {TEX()} {y_0} {TEX} مقدار y در لحظه t=0 و k ثابتی است که هر گاه y افزایش یابد مثبت ، و هرگاه کاهش یابد منفی است. می‌توان از این قانون برای ((محاسبه رشد سلول)) ، ((آهنگ تولد و رشد جمعیت)) نیز استفاده کرد.

!! سودی که بطور پیوسته محاسبه می‌شود

اگر مبلغ {TEX()} {A_0} {TEX} را با نرخ سالانه ، پس انداز کنید درآمدهای حاصل به صورت زیر محاسبه می‌شود:

فرمول حاصل را که نشان دهنده مقدار پول موجود در حساب شما پس از t سال است، فرمول سود پیوسته می‌نامند و می‌گویند سود پرداختی طبق این فرمول بطور پیوسته حساب شده است.

!!رادیواکتیویته

وقتی یک ((اتم رادیواکتیو)) مقداری از جرمش را به صورت پرتو منتشر می‌کند، باقیمانده اتم تغییر شکل می‌یابد و ماده جدیدی بوجود می‌آید. این فرآیند تابش و تغییر را واپاشی رادیواکتیو می‌نامند، و عنصری که اتمهایش خود به خود به انجام دادن این فرآیند می‌پردازد، رادیواکتیو نام دارد. تجربه نشان داده است که در هر لحظه ، آهنگ واپاشی یک عنصر رادیواکتیو (تعداد هسته‌هایی که در واحد زمان تغییر می‌کنند) تقریبا متناسب است با تعداد هسته‌های رادیواکتیو موجود. تعداد هسته‌های رادیواکتیو موجود در زمان t برابر است با:

که در آن {TEX()} {N_0} {TEX} تعداد موجود در زمان صفر است.

!!قانون سرمایش نیوتن

وقتی مایعی داغ را در یک فنجان نازک می‌ریزیم، مایع سرد می‌شود تا آنجا که دمایش با دمای محیط اطراف یکی شود. در این گونه موارد ، آهنگ تغییر دمای جسم تقریبا با اختلاف بین دمای جسم و دمای محیط اطراف آن متناسب است. این قاعده گرچه در مورد گرم شدن هم کاربرد دارد، ((قانون سرمایش نیوتن)) نام دارد. این قانون را با روش زیر می‌توان به صورت یک معادله نوشت:

که در آن T دمای جسم ، {TEX()} {T_S} {TEX} دمای محیط اطراف آن و {TEX()} {T_0} {TEX} مقدار T در زمان صفر است.

!مباحث مرتبط با عنوان

*((تابع))

*((توابع لگاریتمی))

*((تابع لگاریتم طبیعی))

*((تابع نمایی))