تاریخچه ی:
تابع مرکب
!دید کلی
فرض کنید {TEX()} {x\in\mathabb{X}} {TEX} باشد. در این صورت تصویر عنصر x ، {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} خواهد بود. که عنصر مجموعه Y است و طبق تعریف تابع g، مجموعه Y ناحیه مبداء تابع g میباشد. بنابراین بر طبق تعریف g، ما خواهیم توانست برای {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} نیز یک تصویر {TEX()} {g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX} که عنصر مجموعه Z میباشد، مشخص نمائیم. در نتیجه، ما در برابر هر {TEX()} {x\in\mathbb{X}} {TEX} یک عنصر {TEX()} {g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX}خواهیم داشت. که یک تابع X به توی Z را مشخص می نماید. این تابع را با {TEX()} {\left(gf\right)} {TEX} یا {TEX()} {\left(gof\right)} {TEX} نشان میدهند.
!تعریف
اگر f: X→Y و g: Y→X را که برد f برابر قلمرو g است در نظر میگیریم. تابع h: X→Z از قلمرو f به برد g را که برای هر {TEX()} {x\in\mathbb{X}} {TEX} با ضابطه{TEX()} {h\lef(x\right)=g\left[f\(x\right)\right]} {TEX} تعریف میشود، تابع ترکیب f با g مینامیم و با نماد gof نشان میدهیم. حاصل ترکیب دو تابع ، ((تابع مرکب)) خوانده میشود. ترکیب دو تابع را میتوان به صورت زیر نشان داد: X→Y تحت تابع f و Y→Z تحت تابع g.
!قضایای تابع مرکب
1) فرض کنید h=gof: X→Z تابع ترکیب دو تابع f و g باشد آنگاه داریم:
*اگر g , f هر دو ((توابع پوشا|پوشا)) باشند، آنگاه h نیز پوشا خواهد بود.
*اگر g ,f هر دو ((توابع یک به یک|یک به یک)) باشند، آنگاه h نیز یک به یک خواهد بود.
*اگر g , f هر دو توابعی دو سویی باشند، آنگاه h نیز دوسویی خواهد بود.
2) برای تابع h=gof: X→Z ترکیب دو تابع g , f باشد آنگاه داریم:
*اگر h تابعی پوشا باشد، آنگاه g نیز تابعی پوشا خواهد بود.
*اگر h تابعی یک به یک باشد، آنگاه f نیز تابعی یک به یک خواهد بود.
3) برای سه تابع f: X→Y، g: Y→Z و h: Z→W داریم:
::{TEX()} {\left(hog\right)of=ho\left(gof\right)} {TEX}::
و بنابراین hogof تابعی تعریف شده از X به W است. X→Y تحت تابع f و Y→Z تحت تابع g و Z→W تحت تابع h
این خاصیت را، خاصیت انجمنی یا خاصیت ترکیب در کمپوزیسیون توابع مینامند. این قضیه نشاندهنده خاصیت شرکت پذیری برای توابع ترکیب است.
4) تابع f: x→y تابعی دو سویی است، اگر و تنها اگر تابعی مانند g:y→x وجود داشته باشد، به طوری که توابع fog , gof، برابر ((تابع همانی)) میباشند.
5) اگر g , f دوتابع باشند آنگاه {TEX()} {fog\ne\gof} {TEX} یعنی برای کمپوزیسیون توابع، قانون جابجایی صادق نمیباشد.
!تعمیم تابع مرکب به بیش از سه تابع
خاصیت {TEX()} {\left(hog\right)of=ho\left(gof\right)} {TEX} به ما اجزاه میدهد که کمپوزیسیون سه تابع h,g,f را بدون پرانتزها بنویسیم: hogof
این خاصیت را میتوان به هر تعداد دلخواه از توابع تعمیم داد.
به عنوان مثال، اگر q,p,h,g,f توابعی باشند، می توان گفت:
{TEX()} {\left(gopohog\right)of=go\left(pohogof\right)=\left(gop\right)o\left(hogof\right)=\left(gopoh\right)o\left(gof\right)=gopohogof} {TEX}
اگر تابع بر اساس تناظر تعریف شده باشد این خاصیت به عنوان نتیجه، مستقیما از خاصیت کمپوزیسیون تناظرها به دست میآید.
!دامنه تابع مرکب
برای دو تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} و {TEX()} {g\left(x\right)} {TEX} را با دامنههای {TEX()} {D_f} {TEX} و {TEX()} {ِD_g} {TEX} در نظر میگیریم و ترکیب دو تابع g,f را به صورت زیر نمایش میدهیم.
1) ترکیب {TEX()} {\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)} {TEX} دارای دامنهای به این صورت است: Dfog= تمام x هایی که عضو دامنه g است به طوری که در آن {TEX()} {g\left(x\right)} {TEX} عضود دامنه f میباشد.
2) ترکیب {TEX()} {\left(gof\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX} دارای دامنهای به این صورت است: Dgof= تمام x هایی که عضو دامنه f است. طوری که در آن {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} عضو دامنه g میباشد.
3) برای تابع زوج F و تابع فرد fog تابعی زوج است.
!مباحث مرتبط با عنوان
*((تابع))
*((تابع اصم))
*((تابع ثابت))
*((تابع چند جملهای))
*((تابع گویا))
*((تابع همانی))
*((تابع پوشا))
*((تابع یک به یک))
*((توابه متناوب))
*((توابع مثلثاتی))
*((توابع زوج و فرد))
*((دامنه و برد تابع))
*((مفهوم تابع))