تاریخچه ی:
تابع مرکب
تفاوت با نگارش: 3
| !دید کلی | | !دید کلی |
| فرض کنید {TEX()} {x\in\mathabb{X}} {TEX} باشد. در این صورت تصویر عنصر x ، {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} خواهد بود. که عنصر مجموعه Y است و طبق تعریف تابع g، مجموعه Y ناحیه مبداء تابع g میباشد. بنابراین بر طبق تعریف g، ما خواهیم توانست برای {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} نیز یک تصویر {TEX()} {g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX} که عنصر مجموعه Z میباشد، مشخص نمائیم. در نتیجه، ما در برابر هر {TEX()} {x\in\mathbb{X}} {TEX} یک عنصر {TEX()} {g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX}خواهیم داشت. که یک تابع X به توی Z را مشخص می نماید. این تابع را با {TEX()} {\left(gf\right)} {TEX} یا {TEX()} {\left(gof\right)} {TEX} نشان میدهند. | | فرض کنید {TEX()} {x\in\mathabb{X}} {TEX} باشد. در این صورت تصویر عنصر x ، {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} خواهد بود. که عنصر مجموعه Y است و طبق تعریف تابع g، مجموعه Y ناحیه مبداء تابع g میباشد. بنابراین بر طبق تعریف g، ما خواهیم توانست برای {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} نیز یک تصویر {TEX()} {g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX} که عنصر مجموعه Z میباشد، مشخص نمائیم. در نتیجه، ما در برابر هر {TEX()} {x\in\mathbb{X}} {TEX} یک عنصر {TEX()} {g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX}خواهیم داشت. که یک تابع X به توی Z را مشخص می نماید. این تابع را با {TEX()} {\left(gf\right)} {TEX} یا {TEX()} {\left(gof\right)} {TEX} نشان میدهند. |
| !تعریف | | !تعریف |
| اگر f: X→Y و g: Y→X را که برد f برابر قلمرو g است در نظر میگیریم. تابع h: X→Z از قلمرو f به برد g را که برای هر {TEX()} {x\in\mathbb{X}} {TEX} با ضابطه{TEX()} {h\lef(x\right)=g\left[f\(x\right)\right]} {TEX} تعریف میشود، تابع ترکیب f با g مینامیم و با نماد gof نشان میدهیم. حاصل ترکیب دو تابع ، ((تابع مرکب)) خوانده میشود. ترکیب دو تابع را میتوان به صورت زیر نشان داد: X→Y تحت تابع f و Y→Z تحت تابع g. | | اگر f: X→Y و g: Y→X را که برد f برابر قلمرو g است در نظر میگیریم. تابع h: X→Z از قلمرو f به برد g را که برای هر {TEX()} {x\in\mathbb{X}} {TEX} با ضابطه{TEX()} {h\lef(x\right)=g\left[f\(x\right)\right]} {TEX} تعریف میشود، تابع ترکیب f با g مینامیم و با نماد gof نشان میدهیم. حاصل ترکیب دو تابع ، ((تابع مرکب)) خوانده میشود. ترکیب دو تابع را میتوان به صورت زیر نشان داد: X→Y تحت تابع f و Y→Z تحت تابع g. |
| !قضایای تابع مرکب | | !قضایای تابع مرکب |
| 1) فرض کنید h=gof: X→Z تابع ترکیب دو تابع f و g باشد آنگاه داریم: | | 1) فرض کنید h=gof: X→Z تابع ترکیب دو تابع f و g باشد آنگاه داریم: |
| *اگر g , f هر دو ((توابع پوشا|پوشا)) باشند، آنگاه h نیز پوشا خواهد بود. | | *اگر g , f هر دو ((توابع پوشا|پوشا)) باشند، آنگاه h نیز پوشا خواهد بود. |
| *اگر g ,f هر دو ((توابع یک به یک|یک به یک)) باشند، آنگاه h نیز یک به یک خواهد بود. | | *اگر g ,f هر دو ((توابع یک به یک|یک به یک)) باشند، آنگاه h نیز یک به یک خواهد بود. |
| *اگر g , f هر دو توابعی دو سویی باشند، آنگاه h نیز دوسویی خواهد بود. | | *اگر g , f هر دو توابعی دو سویی باشند، آنگاه h نیز دوسویی خواهد بود. |
| 2) برای تابع h=gof: X→Z ترکیب دو تابع g , f باشد آنگاه داریم: | | 2) برای تابع h=gof: X→Z ترکیب دو تابع g , f باشد آنگاه داریم: |
| *اگر h تابعی پوشا باشد، آنگاه g نیز تابعی پوشا خواهد بود. | | *اگر h تابعی پوشا باشد، آنگاه g نیز تابعی پوشا خواهد بود. |
| *اگر h تابعی یک به یک باشد، آنگاه f نیز تابعی یک به یک خواهد بود. | | *اگر h تابعی یک به یک باشد، آنگاه f نیز تابعی یک به یک خواهد بود. |
| 3) برای سه تابع f: X→Y، g: Y→Z و h: Z→W داریم: | | 3) برای سه تابع f: X→Y، g: Y→Z و h: Z→W داریم: |
| ::{TEX()} {\left(hog\right)of=ho\left(gof\right)} {TEX}:: | | ::{TEX()} {\left(hog\right)of=ho\left(gof\right)} {TEX}:: |
| و بنابراین hogof تابعی تعریف شده از X به W است. X→Y تحت تابع f و Y→Z تحت تابع g و Z→W تحت تابع h | | و بنابراین hogof تابعی تعریف شده از X به W است. X→Y تحت تابع f و Y→Z تحت تابع g و Z→W تحت تابع h |
| این خاصیت را، خاصیت انجمنی یا خاصیت ترکیب در کمپوزیسیون توابع مینامند. این قضیه نشاندهنده خاصیت شرکت پذیری برای توابع ترکیب است. | | این خاصیت را، خاصیت انجمنی یا خاصیت ترکیب در کمپوزیسیون توابع مینامند. این قضیه نشاندهنده خاصیت شرکت پذیری برای توابع ترکیب است. |
| 4) تابع f: x→y تابعی دو سویی است، اگر و تنها اگر تابعی مانند g:y→x وجود داشته باشد، به طوری که توابع fog , gof، برابر ((تابع همانی)) میباشند. | | 4) تابع f: x→y تابعی دو سویی است، اگر و تنها اگر تابعی مانند g:y→x وجود داشته باشد، به طوری که توابع fog , gof، برابر ((تابع همانی)) میباشند. |
| 5) اگر g , f دوتابع باشند آنگاه {TEX()} {fog\ne\gof} {TEX} یعنی برای کمپوزیسیون توابع، قانون جابجایی صادق نمیباشد. | | 5) اگر g , f دوتابع باشند آنگاه {TEX()} {fog\ne\gof} {TEX} یعنی برای کمپوزیسیون توابع، قانون جابجایی صادق نمیباشد. |
| !تعمیم تابع مرکب به بیش از سه تابع | | !تعمیم تابع مرکب به بیش از سه تابع |
| خاصیت {TEX()} {\left(hog\right)of=ho\left(gof\right)} {TEX} به ما اجزاه میدهد که کمپوزیسیون سه تابع h,g,f را بدون پرانتزها بنویسیم: hogof | | خاصیت {TEX()} {\left(hog\right)of=ho\left(gof\right)} {TEX} به ما اجزاه میدهد که کمپوزیسیون سه تابع h,g,f را بدون پرانتزها بنویسیم: hogof |
| این خاصیت را میتوان به هر تعداد دلخواه از توابع تعمیم داد. | | این خاصیت را میتوان به هر تعداد دلخواه از توابع تعمیم داد. |
| به عنوان مثال، اگر q,p,h,g,f توابعی باشند، می توان گفت: | | به عنوان مثال، اگر q,p,h,g,f توابعی باشند، می توان گفت: |
| {TEX()} {\left(gopohog\right)of=go\left(pohogof\right)=\left(gop\right)o\left(hogof\right)=\left(gopoh\right)o\left(gof\right)=gopohogof} {TEX} | | {TEX()} {\left(gopohog\right)of=go\left(pohogof\right)=\left(gop\right)o\left(hogof\right)=\left(gopoh\right)o\left(gof\right)=gopohogof} {TEX} |
| اگر تابع بر اساس تناظر تعریف شده باشد این خاصیت به عنوان نتیجه، مستقیما از خاصیت کمپوزیسیون تناظرها به دست میآید. | | اگر تابع بر اساس تناظر تعریف شده باشد این خاصیت به عنوان نتیجه، مستقیما از خاصیت کمپوزیسیون تناظرها به دست میآید. |
| !دامنه تابع مرکب | | !دامنه تابع مرکب |
| برای دو تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} و {TEX()} {g\left(x\right)} {TEX} را با دامنههای {TEX()} {D_f} {TEX} و {TEX()} {ِD_g} {TEX} در نظر میگیریم و ترکیب دو تابع g,f را به صورت زیر نمایش میدهیم. | | برای دو تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} و {TEX()} {g\left(x\right)} {TEX} را با دامنههای {TEX()} {D_f} {TEX} و {TEX()} {ِD_g} {TEX} در نظر میگیریم و ترکیب دو تابع g,f را به صورت زیر نمایش میدهیم. |
| 1) ترکیب {TEX()} {\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)} {TEX} دارای دامنهای به این صورت است: Dfog= تمام x هایی که عضو دامنه g است به طوری که در آن {TEX()} {g\left(x\right)} {TEX} عضود دامنه f میباشد. | | 1) ترکیب {TEX()} {\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)} {TEX} دارای دامنهای به این صورت است: Dfog= تمام x هایی که عضو دامنه g است به طوری که در آن {TEX()} {g\left(x\right)} {TEX} عضود دامنه f میباشد. |
| 2) ترکیب {TEX()} {\left(gof\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX} دارای دامنهای به این صورت است: Dgof= تمام x هایی که عضو دامنه f است. طوری که در آن {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} عضو دامنه g میباشد. | | 2) ترکیب {TEX()} {\left(gof\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)} {TEX} دارای دامنهای به این صورت است: Dgof= تمام x هایی که عضو دامنه f است. طوری که در آن {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} عضو دامنه g میباشد. |
| 3) برای تابع زوج F و تابع فرد fog تابعی زوج است. | | 3) برای تابع زوج F و تابع فرد fog تابعی زوج است. |
| !مباحث مرتبط با عنوان | | !مباحث مرتبط با عنوان |
| *((تابع)) | | *((تابع)) |
| + | *((تابع معکوس)) |
| *((تابع اصم)) | | *((تابع اصم)) |
| *((تابع ثابت)) | | *((تابع ثابت)) |
| *((تابع چند جملهای)) | | *((تابع چند جملهای)) |
| *((تابع گویا)) | | *((تابع گویا)) |
| *((تابع همانی)) | | *((تابع همانی)) |
| *((تابع پوشا)) | | *((تابع پوشا)) |
| *((تابع یک به یک)) | | *((تابع یک به یک)) |
| *((تابع متناوب)) | | *((تابع متناوب)) |
| *((توابع مثلثاتی)) | | *((توابع مثلثاتی)) |
| *((توابع زوج و فرد)) | | *((توابع زوج و فرد)) |
| *((دامنه و برد تابع)) | | *((دامنه و برد تابع)) |
| *((مفهوم تابع)) | | *((مفهوم تابع)) |
| *((توابع چند متغیره)) | | *((توابع چند متغیره)) |
| + | *((تابع نمایی)) |