||V{maketoc}||
||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فیزیك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/physicscontentlist.html|فهرست مطالب فیزیك ] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا))‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__||
^@#16:
!تابع

{*ما در فیزیك اندازه می‌گیریم یعنی به واقعیتهای فیزیكی عددی ریاضی نسبت می‌دهیم. امّا برای چه؟
برای آنكه معتقدیم بین اعداد مختلفی كه وجود دارد رابطه‌ای موجود است. یعنی چه؟ این كه اگر مثلاً فنری داشته باشیم مانند شكل 1-1-1-4 چنانچه وزنه‌ای به مقدار اندازه‌گیری شده‌ 50 گرم را به آن آویزان كنیم و ببینیم كه فنر به اندازه {TEX()} {1 \ cm} {TEX}كش می‌آید آنگاه اگر بار دیگری دوباره وزنه 50 گرمی را آویزان كنیم همان{TEX()} {1 \ cm} {TEX}فنر كش خواهد آمد و نه 33 سانتیمتر.
::{picture=img/daneshnameh_up/5/5b/phm023a.jpg}::
این یعنی آنكه بین 50 گرم و 1 سانتیمتر رابطه‌ای هست كه فنر آن را ایجاد كرده. در اینجا خواهیم گفت كه تغییر طول فنر تبعیت می‌كند از مقدار وزنه‌ای كه به آن آویزان شده است. یعنی به ازای هر وزنه‌ای یك تغییر طول خاص وجود دارد.
می‌توانست دنیا بدین گونه نباشد ولی تجربه نشان داده كه تا بحال به این فرم بوده یعنی اینكه می‌توان آنقدر كمیت در مورد یك پدیده یا واقعیت فیزیكی اندازه‌گیری كرد كه بالاخره مجموعه این اعداد همیشه با هم اتفاق بیفتند و تصادفی نباشند. البته چون ما فعلاً روی حساب تك متغیره بحث می‌كنیم تعداد اندازه‌گیریهای ما 2 مقدار است یعنی صرفاً پدیده‌هایی را مد نظر قرار می‌دهیم كه با 2 مقدار بطور یكتا رابطه تعیین می‌شود.
فرض كنید دمای هوای اتاق خود را در روزهای مختلف اندازه بگیرید و نتیجه جدول 1-1-1-4 شود. طبیعی است كه در هر روز خاص میانگین دما صرفاً یك عدد خاص است یعنی این كه دمای اتاق تبعیت می‌كند از آنكه چه روزی اندازه‌گیری شود ولی می‌تواند در دو روز مختلف مثلاً یكشنبه و سه‌شنبه دمای اتاق یك عدد یعنی {TEX()} {22^\circ C} {TEX}شود ولی هیچگاه دمای اتاق بطور متوسط در یك روز 2 عدد نمی‌شود. یا در مورد مثال فنر باز تبعیت به این معناست كه به ازای وزنه 50 گرمی صرفاً یك عدد (كه {TEX()} {1 \ cm} {TEX} است) فنر كش می‌آید نه هر بار یك عدد دلخواه.*}
#@

::||{TEX()} {(^\circ C)} {TEX} @#16:دما#@| @#16:روز#@::
::@#16:21#@| @#16:شنبه 1/1/88#@::
::@#16:22#@| @#16:یك‌شنبه 88/1/2/#@::
::@#16:20#@| @#16:دوشنبه 88/1/3#@::
::@#16:22#@| @#16:سه‌شنبه 88/1/4#@::
::@#16:24#@| @#16:چهارشنبه 88/1/5#@::
::@#16:23#@| @#16:پنجشنبه 88/1/6#@::
::@#16:25#@| @#16:جمعه 88/1/7#@::
::@#16:جدول 4-1-1-1#@||::

@#16:
{*به این مفهوم در ریاضیات تابع(Function)گویند. یعنی آنكه مجموعه‌ای ایجاد كنیم كه در آن مجموعه زوجهای مرتبی وجود دارند و به ازای مؤلفه‌ اول این زوج مرتبها صرفاً یك مؤلفه‌ دوم وجود داشته باشد.
چطور؟ اینكه مثلاً وزنه‌های مختلف ممكن را {TEX()} {x} {TEX}بگیریم كه{TEX()} {x\in W} {TEX} كه {TEX()} {W} {TEX}تمام وزنه‌های موجود است. آنگاه {TEX()} {y} {TEX}تغییر طول فنر را كه اندازه می‌گیریم به ازای {TEX()} {x} {TEX}خاص ایجادكننده این تغییر طول در یك زوج مرتب قرار دهیم {TEX()} {(x,y)} {TEX} و حال بیان ریاضی تبعیت {TEX()} {y} {TEX}از {TEX()} {x} {TEX}به صورت بیان تمام {TEX()} {(x,y)} {TEX}هاست یعنی:
{TEX()} {:y \}} {TEX}تغییر طول به ازای وزنه {TEX()} {=\{(x,y)|x} {TEX}تابع فنر
این همان جدول اندازه‌گیری خودمان است كه به صورت مجموعه‌ای از زوج مرتبها بیان كرده‌ایم. امّا خاصیت مهم این زوجها در چیست كه مفهوم تبعیت را می‌رساند؟
آنست كه به ازای یك وزنه دو مقدار متفاوت تغییر طول نداشته باشیم. یعنی اگر در دو آزمایش مختلف تغییر طول فنر را {TEX()} {y_1} {TEX}و {TEX()} {y_2} {TEX}اندازه بگیریم و این دو مقدار یكی نباشند {TEX()} {(y_1 \neq y_2 )} {TEX} آنگاه حتماً می‌دانیم كه وزنه‌های آویزان به فنر در دو مورد {TEX()} {x_1} {TEX} و {TEX()} {x_2} {TEX} با هم مساوی‌ نبوده‌اند : {TEX()} {(x_2 \neq x_2 )} {TEX} زیرا هر {TEX()} {x} {TEX}صرفاً یك {TEX()} {y} {TEX}را مشخص می‌كند.
پس به بیان ریاضی تابع مثلاً {TEX()} {F} {TEX}مجموعه‌ای از زوج‌مرتبهاست كه دارای خاصیت زیر است:
{TEX()} {F=\{(x,y) \} ;(x_1,y_1)\in F , (x_2,y_2)\in F , x_1=x_2 \ \Rightarrow y_1=y_2} {TEX}
مجموعه‌ای را كه متغیر {TEX()} {x} {TEX}نماینده آن است را دامنه(Domain)تابع می‌گویند.
@@دامنه ~~white:-------------------~~{TEX()} {F=\{(x,y)|x\in D \} \rightarrow } {TEX}@@
در مسائل ما اكثراً {TEX()} {D \subseteq \mathbb{R}} {TEX} است.*}
---
!!مثال

{* آیا مجموعه زیر یك تابع است؟
@@{TEX()} {\{(1,1),(2,3),(3,5),(1,-1) \}} {TEX}@@
__جواب.__
خیر. زیرا {TEX()} {(1,1)} {TEX}و{TEX()} {(1,-1)} {TEX}هر دو عضو این مجموعه‌اند در حالیكه{TEX()} {-1 \neq 1} {TEX}.
در مسائلمان {TEX()} {x} {TEX}را یعنی مؤلفه‌ اول را متغیر مستقل و {TEX()} {y} {TEX}را یعنی مؤلفه دوم را متغیر وابسته می‌گوییم.
حاصل یا خروجی یك تابع همان مؤلفه‌های دوم زوج مرتبها هستند. این خروجیها خود مجموعه‌ای را تشكیل می‌دهند كه به آن برد{TEX()} { (Range)} {TEX}تابع می‌گویند.
@@{TEX()} {R=\{y| \exists x\in D ; (x,y)\in F \}} {TEX}برد@@
در مسائل ما معمولاً {TEX()} {R \subseteq \mathbb{R}} {TEX} است.
گاهی برای نمایش اعضای یك تابع از نماد زیر استفاده می‌كنند:
@@{TEX()} {F=\{(x,y)|y=f(x) , x\in D \}} {TEX}@@
"{TEX()} {y=f(x)} {TEX}" یعنی {TEX()} {y} {TEX} (متغیر وابسته) تابعی است {TEX()} {(f)} {TEX} از {TEX()} {x} {TEX} (متغیر مستقل).
این نماد بطور صوری شیوه تبعیت {TEX()} {y} {TEX}را برحسب {TEX()} {x} {TEX}بیان می‌كند.
نوع دیگر نمایش یك تابع به فرم{TEX()} {f:D \rightarrow C} {TEX} است كه {TEX()} {D} {TEX}دامنه و {TEX()} {C} {TEX}مجموعه است كه برد زیر مجموعه آن است. چنانچه{TEX()} {C=R} {TEX} باشد تابع را پوشا(Surjective) می‌گوییم.
ما معمولاً به طور خلاصه از نماد {TEX()} {f(x)} {TEX} برای نشان دادن تابع {TEX()} {f} {TEX}از متغیر {TEX()} {x} {TEX}استفاده می‌كنیم. بعدها مزیت این شیوه نمایش را خواهید دید.*}
---
!!مثال

{* می‌توان یك تابع را مثلاً به فرم زیر تعریف كرد:

@@{TEX()} {F=\{(x,y)|y=x^2 , x \in R , x>0\}} {TEX}@@
در اینجا به فرم{TEX()} {f(x)} {TEX}خواهیم داشت:
@@{TEX()} {f(x)=x^2 \ , \ x\in R , x>0} {TEX}@@
یا
@@{TEX()} {f:R^+ \rightarrow R \ ; \ f(x)=x^2} {TEX}@@
مجموعه رابطه وارون یك تابع را به فرم زیر تعریف می‌كنیم:
@@{TEX()} {rF=\{(y,x)|(x,y)\in F \}} {TEX}@@
یعنی صرفاً جای مؤلفه‌ها را در {TEX()} {F} {TEX}با هم عوض می‌كنیم. امّا چه شرطی لازم است تا {TEX()} {rF} {TEX}خود تابع باشد. طبق تعریف تابع باید:
@@{TEX()} {y_1=y_2 \ \Rightarrow \ x_1=x_2} {TEX}@@
پس صرفاً توابعی كه این خاصیت را داشته باشند می‌توانند وارونی داشته باشند كه خود تابع باشد. به این خاصیت یك به یك (One to One (or injective) )بودن تابع می‌گویند. البته همچنین تابع ما می‌بایست پوشا نیز باشد تا درونش تابع شود.
پس در كل می‌توان گفت تابع {TEX()} {f} {TEX}در صورتی تابع معكوس (Inversefunction) {TEX()} {f^{-1}} {TEX}را دارد كه {TEX()} {f} {TEX}" پوشا و یك به یك" (Bijective) باشد.
می‌دانیم كه
#@
@#16:
@@{TEX()} {F=\{(x,f(x))\}} {TEX}@@
و
@@{TEX()} {F^{-1}=\{(y,f^{-1}(y))\}} {TEX}(معکوس{TEX()} {F} {TEX})@@
امّا تعریف تابع معكوس می‌گوید كه
@@{TEX()} {x=f^{-1}(f(x))} {TEX}~~white:------------~~یا~~white:------------~~{TEX()} {y=f(x) \ \Rightarrow \ x=f^{-1}(y)} {TEX}@@
طبیعتاً چون{TEX()} {(f^{-1})^{-1}=f} {TEX} است پس {TEX()} {x=f(f^{-1}(x))} {TEX} هم خواهد شد.
جمع و تفریق و … در توابع تعریفشان بسیار ساده است:
@@{TEX()} {(f\pm g)(x):=f(x)\pm g(x)} {TEX}@@
@@{TEX()} {(f.g)(x):=f(x)g(x)} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Bigg(\frac{f}{g}\Bigg)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}} {TEX}@@
و امّا تعریف جدید تركیب دو تابع است:
@@{TEX()} {(fog)(x):=f(g(x))} {TEX}@@
این تعریف در صورتی با معناست كه{TEX()} {D_f=R_g} {TEX}. این تعریف می‌گوید كه ابتدا عدد {TEX()} {x} {TEX}را كه {TEX()} {x\in D_g} {TEX} است وارد تابع {TEX()} {g} {TEX}بكنید و خروجی آن را كه{TEX()} {g(x)} {TEX}است و{TEX()} {g(x)\in R_g} {TEX} وارد تابع {TEX()} {f} {TEX}بكنید و نتیجه حاصل را بعنوان مقدار تركیب دو تابع گزارش بدهید.
::{picture=img/daneshnameh_up/4/4d/phm023b.jpg}::
مثلاً
@@{TEX()} {g(x)=x^3} {TEX}@@
@@{TEX()} {f(y)=tan \ y} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Rightarrow \ (fog)(t)=f(g(t))=f(t^3)=tan \ t^3} {TEX}@@
از این تعریف پیداست كه{TEX()} {fof^{-1}=f^{-1}of} {TEX} مانند " یك " می‌مانند یعنی بر هر ورودی اثر كنند خودش را بر می‌گردانند.
چنانچه بتوانیم راهی پیدا كنیم كه توابع را بطور گرافیكی بكشیم آن وقت درك وفهم بهتری از شیوه رفتار آنها پیدا خواهیم كرد. این كار را به سادگی می‌توان انجام داد.
كافی است كه مجموعه نقاطی را كه زوج مرتبهای یك تابع معرفی می‌كنند را در صفحه مختصات دكارتی بكشیم.
در شكل 4-1-1-3 نمودار تابع دلخواهی را می‌بینید.
::{picture=img/daneshnameh_up/1/1e/phm023c.jpg}::
در این نمودار شما می‌توانید به چیزهای جالبی دست یابید. مثلاً آنكه برای {TEX()} {x} {TEX}های بزرگتر از {TEX()} {(x>C)C} {TEX} تقریباً مقدار تابع ثابت مانده است و یا در{TEX()} {x=b} {TEX} مقدار تابع بطور موضعی كمینه (مینیمم) شده است و یا در{TEX()} {x=a} {TEX} بیشینه (ماكزیمم) شده است. همچنین برای{TEX()} {x<a} {TEX}تابع به سرعت در حال افزایش است و …
از نكات جالب دیگر این تابع آن است كه شما با یك سری از نقاط گسسته سر و كار ندارید بلكه شكل نمودار منحنی پیوسته (Continuous) است. پیوستگی به آن معناست كه به ازای زوج مرتب{TEX()} {(x,y)\in F} {TEX} در هر فاصله دلخواهی (هر قدر كوچك) حتماً نقطه دیگر{TEX()} {(x',y')} {TEX} وجود دارد كه{TEX()} {(x',y')\in F} {TEX} و{TEX()} {x'\neq x} {TEX}. در این صورت می‌گوییم كه تابع در نقطه {TEX()} {(x,y)} {TEX} پیوسته است. البته این تعریف دقیق و متعارف پیوستگی در ریاضیات نیست و دارای اشكالاتی است. در ریاضی بیشتر روی متغیر مستقل به تنهایی تأكید می‌شود كه نتیجه‌اش بر روی خروجی تابع ظاهر می‌شود.
در بخش بعدی یعنی " حد " تعریف متعارف پیوستگی را ارائه خواهیم داد.*}

---
! پیوند های خارجی
[http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0033.pdf]

#@^