V{maketoc}
!تئوری اعداد



معمولاً تئوری اعداد number theory شاخه ای از ((ریاضیات محض)) pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحیح integers بحث می کند و حاوی بسیاری مسائل است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه می شوند .به طور کلی ایـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح می کند. تئوری اعداد را می توان بنا به روشهای بررسی سؤالات به چندین بخش تقسیم کرد. مثلاً به سرفصل های تئوری اعداد مراجعه نمایید .

در تئوری اعداد اولیه ، اعداد صحیح را بدون توجه به تکنیک های ریاضی به کار رفته در سایر شاخه ها بررسی می کنند . مسائل ((تقسیم)) divisibility ،(( الگوریتم اقلیدسی))Euclidean algorithm برای محاسبه ی بزرگترین مقسوم الیه مشترک greatest common divisors ، تجزیه ی اعداد به ((اعداد اول)) prime numbers ، جستجوی ((عدد تام)) perfect number و ((همنهشتی)) ها congruences در این رده هستند . نمونه ها قضیه ی کوچک فرما Fermat’s little theorem ، و قضیه ی اولر Euler’s theoremهستند و به طور عام قضیه ی باقیمانده ی چینی Chinese remainder theorem و ((قانون تقابل درجه ی دوم)) quadratic reciprocity هستند . خواص ((توابع ضربی))multiplicative functions مانند ((تابع موبیوس)) Mobius function و ((تابع اولر)) Euler's φ function و همینطور ((دنباله ی اعداد)) integer sequences مانند ((فاکتوریل)) هاfactorials و ((اعداد فیبوناچی)) Fibonacci numbers در همین حوزه بررسی میشوند .

بسیاری از سؤالات در تئوری مقدماتی اعداد شدیداً عمیق هستند و نیاز به بازنگری هایی دارند . به عنوان نمونه :

*((فرضیه ی گلدباخ)) Goldbach conjecture که در مورد اعداد زوج و جمع دو عدد اول است ،.
*((فرضیه ی کاتالان)) Catalan’s conjecture که در مورد توانهای متوالی اعداد صحیح است ،
*((فرضیه ی اعداد اول تؤامان)) Twin prime conjecture در مورد بینهایت بودن زوج های اعداد اول است ، و
*((فرضیه ی کولاتز)) Collatz conjecture در مورد تکرار ساده .

در مورد تئوری ((معادلات دیوفانتین))Diophantine نیز هنوز تصمیمی گرفته نشده است . ( به مسئله ی دهم هیلبرت Hilbert مراجعه نمایید . )

درتئوری اعداد تحلیلیAnalytic number theory از((حسابان))calculus و ((آنالیز مختلط))complex analysis استفاه می شود و با سؤالاتی در مورد اعداد صحیح دست و پنجه نرم می کند . قضیه ی اعداد اولprime number theorem و ((فرض ریمان)) Riemann hypothesis مثال هایی از آن هستند . ((مسئله ی وارینگ)) Waring’s problem ( که عدد صحیحی را به صورت جمع چند مربع یا مکعب چند عدد نشان می دهد ) ، فرضیه ی اعداد اول تؤامان Twin prime conjecture(که تعداد بینهایت عدد اول با اختلاف 2 را پیدا می کند ) ، و فرضیه ی گلدباخGoldbach’s conjecture ( که عددهای زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پیدا می کند ) با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات ((متعالی بودن)) transcendence ثابت های ریاضی ، مانند و در بخش تئوری اعداد تحلیلی قرار دارند . بعضی ها حکم هایی در مورد اعداد متعالی را از محدوده ی مطالعات اعداد صحیح خارج می کنند ، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله ایها با ضریب های صحیح مانند e ، به مبحث تقریب دیوفانتین Diophantine aproximation ارتباط نزدیک دارند ؛ و سؤال آنها این است که چگونه می توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک ((عدد گویا)) rationalتقریب زد ؟
در تئوری اعداد جبری ، مفهوم عدد به اعداد جبری algebraic numbersکه همان ریشه های چند جمله ایها با ((ضریب گویا)) rational coefficient هستند گسترش می یابد .در این حوزه مباحثی همانند اعداد صحیح به نام ((اعداد صحیح جبری)) algebraic integers وجود دارد . در اینجا لازم نیست به صورت های آشنای اعداد صحیح ، ( مانند فاکتورگیری واحد the unique factorization) پایبند باشیم .مزیت روش استفاده شده --تئوری گالوا Galois theory ، ((میدان همانستگی)) field cohomology ، تئوری رده ی میدان class field theory ، نمایشهای گروه ها group representations و ((توابع- L)) L-functions--این است که به ما اجازه می دهدبرای این رده از اعداد ، این ترتیب را تا حدودی بپوشانیم .

تعدادی از سؤالات قضیه ی اعداد با مطالعه پیمانه p برای کلیه اعداد اول p مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به ((میدانهای متناهی)) finite fields مراحعه کنید ) .به چنین چیزی localization می گویند که به ساختمان ((عدد p ای)) p-adic numbers می انجامد . به این محدوده تحلیل موضعی local analysis می گویند که از تئوری اعداد جبری ناشی می شود .

تئوری اعداد هندسی همه ی فرم های هندسی را در بر می گیرد ؛و از ((قضیه ی مینکوسکی)) Minkowski’s theorem در ارتباط با ((نقاط مشبکه)) lattice points در مجموعه های محدب convex sets و جستجو در ((بسته بندی کره ها)) sphere packings شروع می شود .هندسه جبری بخصوص ((قضیه ی منحنی های بیضوی))elliptic curves نیز به کار می آیند . آخرین قضیه معروف فرماFermat’s last theorem با همین تکنیک ها اثبات شده است .

در آخر ((تئوری اعداد عملیاتی)) computational number theory به الگوریتم های تئوری اعداد می پردازد والگوریتم های سریع برای امتحان اعداد اول prime testing و تجزیه اعداد صحیح integer factorization در مبحث ((کریپتوگرافی)) cryptography کاربرد های مهمی دارند .

!تاریخچه تئوری اعداد

بعد از دوران یونان باستان ، تئوری اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ویتViete ، ((باشه دو مزیریاک))Bachet de Meziriac ، و بخصوص ((فرما)) Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم ((اولر))Euler و ((لاگرانژ)) Lagrangeبه قضیه پرداختند و در همین مواقع لوژاندرLegendre (1798 )و ((گاوس))Gauss (1801 ) به آن تعبیر علمی بخشیدند . در 1801 گاوس در مقاله ی Disquisitiones Arithmeticæ حساب تئوری اعداد مدرن را پایه گذاری کرد .

((چبیشف))Chebyshev (1850 ) کران هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد . ریمانRiemann (1859 ) اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی کند . (قضیه ی عدد اول prime number theory. ) و آنالیز مختلط complex analysis را در تئوری ((تابع زتای ریمان)) Riemann zeta functionگنجاند . و فرمول صریح تئوری اعداد اولexplicit formulae of prime number theory را از صفر های آن نتیجه گرفت .
تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاری زیر را پیشنهاد کرد :
mod(c)

چبیشف در سال 1847 به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و ((سره)) Serret آن را در فرانسه عمومی کرد . بجای خلاصه کردن کارهای قبلی ، لوژاندر ((قانون تقابل درجه ی دوم)) law of quadratic reciprocity را گذاشت . این قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در تئوری اعداد Théorie des Nombres (1798 ) برای حالت های خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهای اولر و لوژاندر ، گاوس این قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد . کوشی Cauchy ؛ دیریشله Dirichlet ( که مقاله ی Vorlesungen über Zahlentheorie ) او یک مقاله ی کلاسیک است ؛ ((جکوبی)) Jacobi که علامت جکوبیJacobi symbol را معرفی کرد ؛ ((لیوویل))Liouville ؛ ((زلر))Zeller ؛ ((آیزنشتین)) Eisenstein؛ ((کومر))Kummer و ((کرونکر)) Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده اند . این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocityرا شامل می شود ( گاوس ؛ جکوبی که اولین بار قانون تقابل درجه سوم cubic reciprocity را ثابت کرد ؛ و کومر) .
نمایش ((اعداد با صورت درجه ی دوم دوتایی)) binary quadratic forms مدیون گاوس است . ((کوشی)) ، ((پوانسو)) Poinsot (1845 ) ، لوبکLebesque (1859-1868 ) و بخصوص هرمیتHermite به موضوع چیزهایی افزوده اند . آیزنشتاینEisenstein در تئوری صورت های سه گانه پیشتاز است ، و ((تئوری فرمها)) theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت های درجه ی دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود . جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد .

دیریشله اولین کسی بود که در یک دانشگاه آلمانی در این مورد سخنرانی کرد .او در مورد بسط قضیه اولرکه می گوید:


که اولر و لوژاندر برای 04 3 = n آن را ثابت کردند و دیریشله نشان داد که: z5 y5 x5 +.
بین نویسندگان فرانسوی ((بورل)) Borel و ((پوانکاره)) Poincare ذهن قوی داشتند و ((تانری))Tannery و ((استیلجز))Stieltjes . کرونکر ، کومر ، ((شرینگ)) Schering ، ((باخمن)) Bachmann و ((ددکیند)) Dedekind آلمانی های پیشتاز هستند . در اتریش مقاله ی استلز Stolz’s vorlesungen uber allgemeine Arithmetik (1885-86 ) و در انگلستان تئوری اعداد ((ماتیو)) Mathew (قسمت اول ، 1892 ) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند . ((جنوچی))Genocchi ، ((سیلوستر)) Sylvester ، و ((جی. گلیشر))J.W.L. Glaisher به این تئوری چیزهایی افزوده اند .

که اولر و لوژاندر برای 04 3 = n آن را ثابت کردند و دیریشله نشان داد که: z5 y5 x5 +.
بین نویسندگان فرانسوی ((بورل)) Borel و ((پوانکاره)) Poincare ذهن قوی داشتند و ((تانری))Tannery و ((استیلجز))Stieltjes . کرونکر ، کومر ، ((شرینگ)) Schering ، ((باخمن)) Bachmann و ((ددکیند)) Dedekind آلمانی های پیشتاز هستند . در اتریش مقاله ی استلز Stolz’s vorlesungen uber allgemeine Arithmetik (1885-86 ) و در انگلستان تئوری اعداد ((ماتیو)) Mathew (قسمت اول ، 1892 ) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند . ((جنوچی))Genocchi ، ((سیلوستر)) Sylvester ، و ((جی. گلیشر))J.W.L. Glaisher به این تئوری چیزهایی افزوده اند .

بین نویسندگان فرانسوی ((بورل)) Borel و ((پوانکاره)) Poincare ذهن قوی داشتند و ((تانری))Tannery و ((استیلجز))Stieltjes . کرونکر ، کومر ، ((شرینگ)) Schering ، ((باخمن)) Bachmann و ((ددکیند)) Dedekind آلمانی های پیشتاز هستند . در اتریش مقاله ی استلز Stolz’s vorlesungen uber allgemeine Arithmetik (1885-86 ) و در انگلستان تئوری اعداد ((ماتیو)) Mathew (قسمت اول ، 1892 ) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند . ((جنوچی))Genocchi ، ((سیلوستر)) Sylvester ، و ((جی. گلیشر))J.W.L. Glaisher به این تئوری چیزهایی افزوده اند .