منو
 کاربر Online
704 کاربر online
تاریخچه ی: بیضی

||V{maketoc}||
^@#16:





{picture=draw_ellipse345.gif}

!بیضی
بیضی مجموعه نقاطی از ((صفحه)) است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه ثابت واقع در صفحه مقدار ثابتی می باشد.

---
!!معادله بیضی
اگر دو نقطه ثابت به نام کانون ها، نقاط {TEX()} {F_1(-c,0)} {TEX} و {TEX()} {F_2(c,0)} {TEX} باشند و مجموع فاصله ها، {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2} {TEX} ، با {TEX()} {2a} {TEX} نمایش داده شود، آنگاه مختصات نقطه ای چون {TEX()} {p(x,y)} {TEX} واقع بر بیضی در معادله زیر صدق می کند :
@@{TEX()} {\sqrt{(x+c)^2+y^2}+ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a} {TEX}@@
@@{picture=img/daneshnameh_up/d/d3/BEIZISH.JPG}@@
برای ساده کردن این معادله، رادیکال دوم را به سمت راست معادله برده، رابطه حاصل را به توان دو می رسانیم و پس از ساده کردن داریم :
@@{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \ \ \ \ \ \ (1)} {TEX}@@
چون مجموع دو ضلع ((مثلث)) {TEX()} {F_1F_2p} {TEX} یعنی {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2 =2a} {TEX} ، از ضلع سوم یعنی {TEX()} {F_1 \cdot F_2=2c} {TEX} بزرگتر است، عبارت {TEX()} {(a^2-c^2)} {TEX} در {TEX()} {(1)} {TEX} مثبت است و ریشه دوم حقیقی مثبت دارد که با {TEX()} {b} {TEX} نمایش داده می شود، {TEX()} {b= \sqrt{a^2-c^2}} {TEX} پس {TEX()} {(1)} {TEX} بصورت فشرده تر زیر در می آ ید :
@@{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \ \ \ \ (2) } {TEX}@@
معادله {TEX()} {(2)} {TEX} نشان می دهد که این ((خم)) نسبت به هر دو محور متقارن است و داخل مستطیلی با اضلاع {TEX()} {x=a} {TEX} ، {TEX()} {x=-a} {TEX} ، {TEX()} {y=b} {TEX} و {TEX()} {y=-b} {TEX} قرار دارد. نقاط تقاطع این خم با محورها عبارتند از : {TEX()} {(\pm a,0)} {TEX} و {TEX()} {(0, \pm b)} {TEX}. خم هر یک از محورها را با زاویه {TEX()} {{90^{\circ} {TEX} قطع می کند زیرا ((شیب)) {TEX()} {\frac{dy}{dx}=- \frac{b^2 \cdot x}{a^2 \cdot y}} {TEX} در {TEX()} {x=0} {TEX} ، {TEX()} {y= \pm b} {TEX} برابر با صفر و در {TEX()} {y=0} {TEX} ، {TEX()} {x= \pm a} {TEX} برابر با بی نهایت است.
نشان داده ایم که مختصات {TEX()} {p} {TEX} در {TEX()} {(1)} {TEX} صدق می کنند هرگاه {TEX()} {p} {TEX} در شرط هندسی {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2=2a} {TEX} صدق کند. حال عکس این مطلب را ثابت می کنیم. فرض کنیم {TEX()} {y,x} {TEX} در {TEX()} {(1)} {TEX} با شرط {TEX()} {0< c < a} {TEX} صدق کند آنگاه :
@@{TEX()} {y^2=(a^2-c^2) \cdot \frac{a^2-x^2}{a^2}} {TEX}@@
اگر این مقدار را در رادیکال های زیر قرار دهیم داریم :
@@{TEX()} {p \cdot F_1= \sqrt{(x+c)^2+y^2}= \mid a+ \frac{c}{a} \cdot x \mid} {TEX}@@
@@{TEX()} { p \cdot F_2= \sqrt{(x-c)^2+y^2}= \mid a- \frac{c}{a} \cdot x \mid } {TEX}@@
چون {TEX()} {x} {TEX} به بازه {TEX()} {[-a,a]} {TEX} محدود می شود، مقدار {TEX()} {\frac{c}{a} \cdot x} {TEX} بین {TEX()} {c,-c} {TEX} قرار می گیرد و لذا هم {TEX()} {a+ \frac{c}{a} \cdot x} {TEX} مثبت است و هم {TEX()} {a- \frac{c}{a} \cdot x} {TEX} ،چرا که هر دو بین {TEX()} {a-c , a+c} {TEX} هستند پس ((قدرمطلق)) های موجود در روابط فوق را می توان حذف کرد لذا :
@@{TEX()} { p \cdot F_1=a+ \frac{c}{a} \cdot x \ ; \ p \cdot F_2=a- \frac{c}{a} \cdot x} {TEX}@@
با جمع کردن این دو می بینیم که مقدار {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2} {TEX} به ازای هر موضع {TEX()} {p} {TEX} روی خم، برابر با {TEX()} {2a} {TEX} است. پس ویژگی هندسی و ((معادله)) جبری فوق هم ارزند.
---
!!محورها
در معادله {TEX()} {(2)} {TEX} ، {TEX()} {b^2=a^2-c^2} {TEX} از {TEX()} {a^2} {TEX} کمتر است. قطر بزرگ بیضی پاره خط به طول {TEX()} {2a} {TEX} بین نقاط تقاطع بیضی با محور {TEX()} {x} {TEX} ، {TEX()} {(\pm a,0)} {TEX} ،است. قطر کوچک آن پاره خط به طول {TEX()} {2b} {TEX} بین نقاط تقاطع بیضی با محور {TEX()} {y} {TEX} ، {TEX()} {(0, \pm b)} {TEX} ، است. عدد {TEX()} {a} {TEX} را نصف طول قطر بزگ و عدد {TEX()} {b} {TEX} را نصف طول قطر کوچک می نامند.
---
!!معادلات متعارف بیضی هایی که مرکزشان {TEX()} {(h,k)} {TEX} است و اقطارشان با محورهای مختصات موازی اند
الف.@@ {TEX()} {\frac{(x-h)^2}{a^2}+ \frac{(y-k)^2}{b^2}=1} {TEX}@@
قطر بزرگ : افقی
کانون ها : {TEX()} {(h \pm \sqrt{a^2-b^2},k)} {TEX}
راس ها : {TEX()} {(h \pm a,k)} {TEX}
ب. @@{TEX()} {\frac{(x-h)^2}{b^2}+ \frac{(y-k)^2}{a^2}=1} {TEX}@@
قطر بزرگ : قائم
کانون ها : {TEX()} {(h,k \pm \sqrt{a^2-b^2})} {TEX}
راس ها : {TEX()} {(h,k \pm a)} {TEX}
در هر حالت {TEX()} {a} {TEX} نصف قطر بزرگ و {TEX()} {b} {TEX} نصف قطر کوچک است.
---
!!خروج از مرکز
فرض کنیم معادله یک بیضی بصورت زیر داده شده باشد :
@@{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \ \ \ \ \ 0< b < a} {TEX}@@
هر چند {TEX()} {c} {TEX} ، فاصله مرکز بیضی با هر یک از کانون ها، در این معاده به چشم نمی خورد ولی {TEX()} {c} {TEX} را می توان از معادله زیر به دست آورد :
@@{TEX()} {c= \sqrt{a^2-b^2}} {TEX}@@
اگر {TEX()} {a} {TEX} را ثابت نگه داریم و فاصله کانونی {TEX()} {c} {TEX} را در بازه {TEX()} {0 \le c \le a} {TEX} تغییر دهیم،شکل بیضی های حاصل تغییر خواهد کرد. وقتی {TEX()} {c=0} {TEX} (یعنی {TEX()} {a=b} {TEX}) این بیضی ها مستدیر هستند و وقتی به مقدار {TEX()} {c} {TEX} افزوده شود، بیضی کشیده تر می شود، تا اینکه در حالت نهایی ({TEX()} {c=a} {TEX}) بیضی به صورت پاره خط {TEX()} {F_1F_2} {TEX} در می آید که دو کانون را به هم می پیوندد.
نسبت {TEX()} {e= \frac{c}{a}= \frac{ \sqrt{a^2-b^2}}{a}} {TEX} را خروج از مرکز بیضی می نامند. این عدد از صفر تا یک تغییر می کند و میزان اختلاف شکل بیضی با ((دایره)) را نشان می دهد.
---
!همچنین ببینید
*((استوانه))
*((هرم))
*((مخروط))
*((کره))

#@^


تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 سه شنبه 27 تیر 1385 [06:56 ]   6   مرادی فر      جاری 
 دوشنبه 26 تیر 1385 [07:05 ]   5   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 25 تیر 1385 [11:54 ]   4   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 03 خرداد 1385 [09:14 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 03 خرداد 1385 [07:39 ]   2   علی هادی      v  c  d  s 
 جمعه 29 اردیبهشت 1385 [07:04 ]   1   فاطمه نقوی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..