||V{maketoc}||
^@#16:
{picture=draw_ellipse345.gif}
|
!بیضی
بیضی مجموعه نقاطی از ((صفحه)) است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه ثابت واقع در صفحه مقدار ثابتی می باشد.
---
!!معادله بیضی
اگر دو نقطه ثابت به نام کانون ها، نقاط {TEX()} {F_1(-c,0)} {TEX} و {TEX()} {F_2(c,0)} {TEX} باشند و مجموع فاصله ها، {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2} {TEX} ، با {TEX()} {2a} {TEX} نمایش داده شود، آنگاه مختصات نقطه ای چون {TEX()} {p(x,y)} {TEX} واقع بر بیضی در معادله زیر صدق می کند :
@@{TEX()} {\sqrt{(x+c)^2+y^2}+ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a} {TEX}@@
@@{picture=img/daneshnameh_up/d/d3/BEIZISH.JPG}@@
برای ساده کردن این معادله، رادیکال دوم را به سمت راست معادله برده، رابطه حاصل را به توان دو می رسانیم و پس از ساده کردن داریم :
@@{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \ \ \ \ \ \ (1)} {TEX}@@
چون مجموع دو ضلع ((مثلث)) {TEX()} {F_1F_2p} {TEX} یعنی {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2 =2a} {TEX} ، از ضلع سوم یعنی {TEX()} {F_1 \cdot F_2=2c} {TEX} بزرگتر است، عبارت {TEX()} {(a^2-c^2)} {TEX} در {TEX()} {(1)} {TEX} مثبت است و ریشه دوم حقیقی مثبت دارد که با {TEX()} {b} {TEX} نمایش داده می شود، {TEX()} {b= \sqrt{a^2-c^2}} {TEX} پس {TEX()} {(1)} {TEX} بصورت فشرده تر زیر در می آ ید :
@@{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \ \ \ \ (2) } {TEX}@@
معادله {TEX()} {(2)} {TEX} نشان می دهد که این ((خم)) نسبت به هر دو محور متقارن است و داخل مستطیلی با اضلاع {TEX()} {x=a} {TEX} ، {TEX()} {x=-a} {TEX} ، {TEX()} {y=b} {TEX} و {TEX()} {y=-b} {TEX} قرار دارد. نقاط تقاطع این خم با محورها عبارتند از : {TEX()} {(\pm a,0)} {TEX} و {TEX()} {(0, \pm b)} {TEX}. خم هر یک از محورها را با زاویه {TEX()} {{90^{\circ} {TEX} قطع می کند زیرا ((شیب)) {TEX()} {\frac{dy}{dx}=- \frac{b^2 \cdot x}{a^2 \cdot y}} {TEX} در {TEX()} {x=0} {TEX} ، {TEX()} {y= \pm b} {TEX} برابر با صفر و در {TEX()} {y=0} {TEX} ، {TEX()} {x= \pm a} {TEX} برابر با بی نهایت است.
نشان داده ایم که مختصات {TEX()} {p} {TEX} در {TEX()} {(1)} {TEX} صدق می کنند هرگاه {TEX()} {p} {TEX} در شرط هندسی {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2=2a} {TEX} صدق کند. حال عکس این مطلب را ثابت می کنیم. فرض کنیم {TEX()} {y,x} {TEX} در {TEX()} {(1)} {TEX} با شرط {TEX()} {0< c < a} {TEX} صدق کند آنگاه :
@@{TEX()} {y^2=(a^2-c^2) \cdot \frac{a^2-x^2}{a^2}} {TEX}@@
اگر این مقدار را در رادیکال های زیر قرار دهیم داریم :
@@{TEX()} {p \cdot F_1= \sqrt{(x+c)^2+y^2}= \mid a+ \frac{c}{a} \cdot x \mid} {TEX}@@
@@{TEX()} { p \cdot F_2= \sqrt{(x-c)^2+y^2}= \mid a- \frac{c}{a} \cdot x \mid } {TEX}@@
چون {TEX()} {x} {TEX} به بازه {TEX()} {[-a,a]} {TEX} محدود می شود، مقدار {TEX()} {\frac{c}{a} \cdot x} {TEX} بین {TEX()} {c,-c} {TEX} قرار می گیرد و لذا هم {TEX()} {a+ \frac{c}{a} \cdot x} {TEX} مثبت است و هم {TEX()} {a- \frac{c}{a} \cdot x} {TEX} ،چرا که هر دو بین {TEX()} {a-c , a+c} {TEX} هستند پس ((قدرمطلق)) های موجود در روابط فوق را می توان حذف کرد لذا :
@@{TEX()} { p \cdot F_1=a+ \frac{c}{a} \cdot x \ ; \ p \cdot F_2=a- \frac{c}{a} \cdot x} {TEX}@@
با جمع کردن این دو می بینیم که مقدار {TEX()} {p \cdot F_1+p \cdot F_2} {TEX} به ازای هر موضع {TEX()} {p} {TEX} روی خم، برابر با {TEX()} {2a} {TEX} است. پس ویژگی هندسی و ((معادله)) جبری فوق هم ارزند.
---
!!محورها
در معادله {TEX()} {(2)} {TEX} ، {TEX()} {b^2=a^2-c^2} {TEX} از {TEX()} {a^2} {TEX} کمتر است. قطر بزرگ بیضی پاره خط به طول {TEX()} {2a} {TEX} بین نقاط تقاطع بیضی با محور {TEX()} {x} {TEX} ، {TEX()} {(\pm a,0)} {TEX} ،است. قطر کوچک آن پاره خط به طول {TEX()} {2b} {TEX} بین نقاط تقاطع بیضی با محور {TEX()} {y} {TEX} ، {TEX()} {(0, \pm b)} {TEX} ، است. عدد {TEX()} {a} {TEX} را نصف طول قطر بزگ و عدد {TEX()} {b} {TEX} را نصف طول قطر کوچک می نامند.
---
!!معادلات متعارف بیضی هایی که مرکزشان {TEX()} {(h,k)} {TEX} است و اقطارشان با محورهای مختصات موازی اند
الف.@@ {TEX()} {\frac{(x-h)^2}{a^2}+ \frac{(y-k)^2}{b^2}=1} {TEX}@@
قطر بزرگ : افقی
کانون ها : {TEX()} {(h \pm \sqrt{a^2-b^2},k)} {TEX}
راس ها : {TEX()} {(h \pm a,k)} {TEX}
ب. @@{TEX()} {\frac{(x-h)^2}{b^2}+ \frac{(y-k)^2}{a^2}=1} {TEX}@@
قطر بزرگ : قائم
کانون ها : {TEX()} {(h,k \pm \sqrt{a^2-b^2})} {TEX}
راس ها : {TEX()} {(h,k \pm a)} {TEX}
در هر حالت {TEX()} {a} {TEX} نصف قطر بزرگ و {TEX()} {b} {TEX} نصف قطر کوچک است.
---
!!خروج از مرکز
فرض کنیم معادله یک بیضی بصورت زیر داده شده باشد :
@@{TEX()} {\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \ \ \ \ \ 0< b < a} {TEX}@@
هر چند {TEX()} {c} {TEX} ، فاصله مرکز بیضی با هر یک از کانون ها، در این معاده به چشم نمی خورد ولی {TEX()} {c} {TEX} را می توان از معادله زیر به دست آورد :
@@{TEX()} {c= \sqrt{a^2-b^2}} {TEX}@@
اگر {TEX()} {a} {TEX} را ثابت نگه داریم و فاصله کانونی {TEX()} {c} {TEX} را در بازه {TEX()} {0 \le c \le a} {TEX} تغییر دهیم،شکل بیضی های حاصل تغییر خواهد کرد. وقتی {TEX()} {c=0} {TEX} (یعنی {TEX()} {a=b} {TEX}) این بیضی ها مستدیر هستند و وقتی به مقدار {TEX()} {c} {TEX} افزوده شود، بیضی کشیده تر می شود، تا اینکه در حالت نهایی ({TEX()} {c=a} {TEX}) بیضی به صورت پاره خط {TEX()} {F_1F_2} {TEX} در می آید که دو کانون را به هم می پیوندد.
نسبت {TEX()} {e= \frac{c}{a}= \frac{ \sqrt{a^2-b^2}}{a}} {TEX} را خروج از مرکز بیضی می نامند. این عدد از صفر تا یک تغییر می کند و میزان اختلاف شکل بیضی با ((دایره)) را نشان می دهد.
---
!همچنین ببینید
*((استوانه))
*((هرم))
*((مخروط))
*((کره))
#@^