منو
 کاربر Online
1088 کاربر online
تاریخچه ی: بزرگترین مقسوم علیه مشترک

((بزرگترین مقسوم علیه مشترک))
V{maketoc}
مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند.
__به عبارت ریاضی:__ c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است هرگاه c|a و c|b .
مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم:
*مقسوم علیه‌های 15 = {1,3,5,15}
*مقسوم علیه‌های 35 = {1,5,7,35}
*مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از:
*مقسوم علیه های مشترک 15 و 35 = {1,5}
---
!تعریف
__بزرگترین مقسوم علیه مشترک__ میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد.
^__ به عبارت ریاضی:__ اگر d بزرگترین مقسوم علیه a و b است هرگاه c|a و c|b و d|a و d|b آنگاه d>c باشد.^
بزرگترین مقسوم علیه مشترک در مثال بالا ، 5 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند:
::__(15,35)=5__::
بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت __ب.م.م__ می نویسند.
اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند.
---
!قضایای مربوط:
__قضیه 1.__ این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند:
{S={m,n ε Z| am+bn>0
نتیجه ای که از این قضیه می توان گرفت آن است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد aو b مطابق فرمول زیر است:
Am+bn=d.
__قضیه 2.__ d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و تنها اگر :
الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d.

__قضیه 3.__اگر a|bc و (a,b)=1 یعنی نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدس نیز معروف است.
__قضیه 4.__ اگر P|ab (P یک ((عدد اول)) است)، آنگاه P|a یا P|b .
__قضیه 5.__ اگر c ((کوچکترین مضرب مشترک)) و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم:
Then: d*c=ab
---
!لم های مربوط:
__لم 1.__ بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر.
__لم 2.__ ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد:
{TEX()} {(a,b)=d , c|a , c|b ===> d|c} {TEX}
__لم 3.__ اگر {TEX()} {(a,b)=d} {TEX} آنگاه : عدد k موجود است به قسمی که {TEX()} { (ak,bk)=kd
} {TEX}
__لم 4.__ اگر
a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c


__لم 5.__ اگر {TEX()} {(a,b)=d } {TEX}آنگاه
{TEX()} {(a/d,b/d)=1} {TEX}
---
!مثال :

__مثال1.__ اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد:
24|(n-1)n(n+1)
جواب:
عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت :
A=3q+r 0≤r<3)
{TEX()} {3|(n-1)n(n+1) } {TEX}
باید ثابت کنیم که حاصلضرب دو عدد زوج متوالی بر 8(( تقسیمپذیر)) است:
{TEX()} {n-1=2k , n+1=2k+2 } {TEX} :

then: {TEX()} {(n-1)(n+1)=(2k)*(2k+2)=4k²+4k=4k(k+1)} {TEX}
حاصلضرب دو عدد متوالی همواره بر 2 بخش پزیر است.پس:
{TEX()} {k(k+1)=2k’} {TEX}


then:{TEX()} { (n-1)(n+1) =4(2k’)=8k’} {TEX}

then: {TEX()} { 8|(n-1)*(n+1) ===> 8|(n-1)n(n+1)} {TEX}

{TEX()} { (8.3)=1} {TEX} then:


طبق لم 4 داریم:
{TEX()} {24|(n-1)n(n+1)} {TEX}
---
!همچنین ببینید :
*((کوچکترین مضرب مشترک))
*((الگوریتم تقسیم))
*((اعداد اول))
*((تقسیم پذیری))

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 23 اردیبهشت 1385 [04:44 ]   9   مرادی فر      جاری 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:11 ]   8   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:04 ]   7   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:03 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:02 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:00 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 جمعه 12 فروردین 1384 [18:36 ]   3   احمد شکیب      v  c  d  s 
 جمعه 12 فروردین 1384 [18:32 ]   2   احمد شکیب      v  c  d  s 
 جمعه 12 فروردین 1384 [14:15 ]   1   احمد شکیب      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..