منو
 کاربر Online
1147 کاربر online
Lines: 1-76Lines: 1-94
 ((بزرگترین مقسوم علیه مشترک)) ((بزرگترین مقسوم علیه مشترک))
 V{maketoc} V{maketoc}
  مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند.  مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند.
 __به عبارت ریاضی:__ c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است هرگاه c|a و c|b . __به عبارت ریاضی:__ c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است هرگاه c|a و c|b .
 مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم: مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم:
 *مقسوم علیه‌های 15 = {1,3,5,15}  *مقسوم علیه‌های 15 = {1,3,5,15}
 *مقسوم علیه‌های 35 = {1,5,7,35} *مقسوم علیه‌های 35 = {1,5,7,35}
 *مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از: *مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از:
 *مقسوم علیه های مشترک 15 و 35 = {1,5} *مقسوم علیه های مشترک 15 و 35 = {1,5}
 --- ---
 !تعریف !تعریف
 __بزرگترین مقسوم علیه مشترک__ میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد. __بزرگترین مقسوم علیه مشترک__ میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد.
 ^__ به عبارت ریاضی:__ d بزرگترین مقسوم علیه a و b است هرگاه d|a و d|b و اگر c|a و c|b وآنگاه d>c .^ ^__ به عبارت ریاضی:__ d بزرگترین مقسوم علیه a و b است هرگاه d|a و d|b و اگر c|a و c|b وآنگاه d>c .^
 بزرگترین مقسوم علیه مشترک در مثال بالا ، 5 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند: بزرگترین مقسوم علیه مشترک در مثال بالا ، 5 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند:
 ::__(15,35)=5__:: ::__(15,35)=5__::
 بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت __ب.م.م__ می نویسند. بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت __ب.م.م__ می نویسند.
 اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند. اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند.
 --- ---
 !قضایای مربوط: !قضایای مربوط:
 __قضیه 1.__ این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند: __قضیه 1.__ این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند:
 {S={m,n ε Z| am+bn>0  {S={m,n ε Z| am+bn>0
-نتی ای که ا این قیه می توان گرت ن است ه بزرگترین مقسوم علیه مشترک ین دد aو b ماب فرمول زیر است:
Am+bn=d.
+به این ترتی ی توان ثابت کرد که مینیمم این مموعه همان بزرگترین مقوم علیهaوb است.
__برهان__:در {S={m,n ε Z| am+bn>0 داری
م {TEX()} {S\subseteq N} {TEX} و همچنین S ناتهی است چون: {TEX()} {If:a\ne0\Rightarrow\ a>0\lor a<0 } {TEX}
به
این ترتیب اگر a>0 باشد:
{TEX()} {a=(1)a+(0)b>0\Rightarrow\ a\in S} {TEX}
اگر a<0 باشد:
{TEX()} {-a=(-1)a+(0)b>0\Rightarrow\ a\in S} {TEX}
و این ن
تیجه می هد S ناتهی است.
لذا بنا بر اصل خوشترتیبی S دارای عضو مینیمم
است ون d. یعنی: {TEX()} {d=Min(S)} {TEX}
پس داریم:{TEX()} {d\in S\Rightarrow\exists m_0,n_0\in Z: d=m_0a+n_0b>0} {TEX}
حال نشان می د
هیم d برابر بزرگترین مقسوم علیه مشترک ab است ینی:{TEX()} {d=(a,b)} {TEX}
رای ای کر باید نشان دهیم: />1) {TEX()} {d|a\land d|b} {TEX}
برهان: a را بر d تقسیم می کنیم: برطبق قضیه الگ
وریتم تقسیم: {TEX()} {\exists r,q \in Z: a=dq+r ,0\le r<d} {TEX} <br />حال نشان می هیم که r=0 و از آنجا نتیجه میگیریم که d|a. ب برهان خلف اگر r مخالف صفر باشد پس r>0 به این ترتیب: {TEX()} {r=a-dq>0\Rightarrow\ a-(m_0a+n_0b)q=(1-m_0q)a+(1-n_0q)d\Rightarrow r\in S} {TEX}
و ا
ز طرفی r<d که این با مینیمم بودن d در تناقض است پس فرض خلف باطل و r=0 پس d|a. به طریق مشابه d|b.
2) باید در مرحله دوم نشان دهیم
:
{TEX()} {\forall c:c|a\land c|b\Rightarrow d|c} {TEX}
برهان: {TEX()} {c|a\land c|b\Rightarrow c|(
m_0a+n_0b)\Rightarrow c|d} {TEX}
پس به این ترتیب ثابت شد: مینیمم مجموعه S یعنی d همان بزرگترین مقسوم علیه مشترک aوb است
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 __قضیه 2.__ d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و تنها اگر : __قضیه 2.__ d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و تنها اگر :
 الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d. الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d.
-__قضیه 3.__اگر a|bc و (a,b)=1 یعنی نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدس نیز معروف است.
__قضیه 4.__ اگر P|ab (P یک ((عدد اول)) است)، آنگاه P|a یا P|b .
+__قضیه 3.__اگر a|bc و a,b نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدس نیز معروف است.
__قضیه 4.__ اگر P|ab (عدد P یک ((عدد اول)) است)، آنگاه P|a یا P|b .
 __قضیه 5.__ اگر c ((کوچکترین مضرب مشترک)) و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم: __قضیه 5.__ اگر c ((کوچکترین مضرب مشترک)) و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم:
-Then: d*c=ab + d*c=ab
 --- ---
 !لم های مربوط: !لم های مربوط:
 __لم 1.__ بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر. __لم 1.__ بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر.
 __لم 2.__ ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد:  __لم 2.__ ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد:
 {TEX()} {(a,b)=d , c|a , c|b ===> d|c} {TEX} {TEX()} {(a,b)=d , c|a , c|b ===> d|c} {TEX}
 __لم 3.__ اگر {TEX()} {(a,b)=d} {TEX} آنگاه : عدد k موجود است به قسمی که {TEX()} { (ak,bk)=kd __لم 3.__ اگر {TEX()} {(a,b)=d} {TEX} آنگاه : عدد k موجود است به قسمی که {TEX()} { (ak,bk)=kd
 } {TEX} } {TEX}
 __لم 4.__ اگر  __لم 4.__ اگر
  a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c  a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c
 __لم 5.__ اگر {TEX()} {(a,b)=d } {TEX}آنگاه  __لم 5.__ اگر {TEX()} {(a,b)=d } {TEX}آنگاه
 {TEX()} {(a/d,b/d)=1} {TEX} {TEX()} {(a/d,b/d)=1} {TEX}
 --- ---
 !مثال : !مثال :
 __مثال1.__ اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد: __مثال1.__ اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد:
 24|(n-1)n(n+1) 24|(n-1)n(n+1)
  جواب:  جواب:
 عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت : عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت :
 A=3q+r 0≤r<3) A=3q+r 0≤r<3)
 {TEX()} {3|(n-1)n(n+1) } {TEX}  {TEX()} {3|(n-1)n(n+1) } {TEX}
 باید ثابت کنیم که حاصلضرب دو عدد زوج متوالی بر 8(( تقسیمپذیر)) است: باید ثابت کنیم که حاصلضرب دو عدد زوج متوالی بر 8(( تقسیمپذیر)) است:
 {TEX()} {n-1=2k , n+1=2k+2 } {TEX} : {TEX()} {n-1=2k , n+1=2k+2 } {TEX} :
-then: {TEX()} {(n-1)(n+1)=(2k)*(2k+2)=4k²+4k=4k(k+1)} {TEX} +آنگاه: {TEX()} {(n-1)(n+1)=(2k)*(2k+2)=4k²+4k=4k(k+1)} {TEX}
 حاصلضرب دو عدد متوالی همواره بر 2 بخش پزیر است.پس: حاصلضرب دو عدد متوالی همواره بر 2 بخش پزیر است.پس:
 {TEX()} {k(k+1)=2k’} {TEX} {TEX()} {k(k+1)=2k’} {TEX}
-then:{TEX()} { (n-1)(n+1) =4(2k’)=8k’} {TEX} +آنگاه:{TEX()} { (n-1)(n+1) =4(2k’)=8k’} {TEX}
-then: {TEX()} { 8|(n-1)*(n+1) ===> 8|(n-1)n(n+1)} {TEX} +آنگاه: {TEX()} { 8|(n-1)*(n+1) ===> 8|(n-1)n(n+1)} {TEX}
- {TEX()} { (8.3)=1} {TEX} then: + {TEX()} { (8.3)=1} {TEX} آنگاه:
 طبق لم 4 داریم: طبق لم 4 داریم:
 {TEX()} {24|(n-1)n(n+1)} {TEX} {TEX()} {24|(n-1)n(n+1)} {TEX}
 --- ---
 !همچنین ببینید : !همچنین ببینید :
 *((کوچکترین مضرب مشترک)) *((کوچکترین مضرب مشترک))
 *((الگوریتم تقسیم)) *((الگوریتم تقسیم))
 *((اعداد اول)) *((اعداد اول))
 *((تقسیم پذیری))  *((تقسیم پذیری))

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 23 اردیبهشت 1385 [04:44 ]   9   مرادی فر      جاری 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:11 ]   8   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:04 ]   7   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:03 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:02 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 20 اسفند 1384 [15:00 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 جمعه 12 فروردین 1384 [18:36 ]   3   احمد شکیب      v  c  d  s 
 جمعه 12 فروردین 1384 [18:32 ]   2   احمد شکیب      v  c  d  s 
 جمعه 12 فروردین 1384 [14:15 ]   1   احمد شکیب      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..