||V{maketoc}||
^@#16:
!دید کلی
برای آنکه بتوانیم مساحت شکل مسطح را حساب کنیم واحدی برای مساحت در نظر می‌گیریم که عبارت است از مساحت مربعی که طول اضلاع آن مساوی واحد می‌باشد. اگر مثلا اینچ را واحد طول گرفته باشیم واحد مساحت نظیر آن عبارت است از اینچ مربع یعنی مساحت مربعی که طول اضلاع آن یک اینچ می‌باشد. بر مبنای این تعریف به آسانی می‌توان مساحت هر مربع مستطیل را حساب کرد.
---
!مفهوم انتگرال معین
اولین مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال عبارت از مفهوم انتگرال می‌باشد. در این مبحث انتگرال را به عنوان اندازه مساحت سطحی که در زیر منحنی مفروض قرار گرفته است و به صورت حدی در نظر خواهیم گرفت اگر یک تابع مثبت و اتصالی y={TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} داده شده باشد در این صورت مساحتی را در نظر می‌گیریم که در زیر این منحنی واقع است و از طرف پایین ، قطعه خطی واقع بر محور x ها محدود می‌شود که ما بین دو نقطه به طولهای a ، b و b>a واقع است و از طرفین به دو خط عمود بر محور xها که از این دو نقطه رسم شوند محدود است. هدف ما آن است که مساحت این سطح را که A نامیده می‌شود حساب کنیم.
---
!انتگرال معین
نخست به تعریف مساحت ناحیه محصور بین نمودار یک ((تابع پیوسته)) نامنفی مانند {TEX()} {y=f(x)} {TEX} و بازه ای از محور {TEX()} {x} {TEX} مانند {TEX()} {[a,b]} {TEX} می پردازیم.
برای این منظور تا آنجا که می توانیم (طبق شکل 1) بخش هرچه بیشتری از این ناحیه را با مستطیل های محاطی قائم پر می کنیم. مجموع مساحت های مستطیل ها تقریبی است از مساحت ناحیه.هرچه تعداد مستطیل ها بیشتر باشد، تقریب بهتری به دست می آید. بنا به تعریف، مساحت این ناحیه، ((حد)) مجموع مساحت های مستطیل هاست وقتی که مستطیل ها کوچک و کوچک تر شوند و تعداد آنها به سوی بی نهایت میل کند.
@@{picture=img/daneshnameh_up/8/8e/ANTEGRAL_MOAYAN1.JPG}@@
حال اگر به جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی (مطابق شکل 2) و یا هر نوع دیگری از مستطیل ها که قاعده پایین آن ها بر محور {TEX()} {x} {TEX} ها منطبق و قاعده بالای آن ها ((خم)) را قطع کنند به کار ببریم، دقیقا" همان حد به دست می آید.
این نکته نیز شایان ذکر است که حد مجموع مساحت های این مستطیل ها نه تنها برای توابع پیوسته نا منفی – که بحثمان را با آن ها آغاز کردیم – بلکه برای هر تابع پیوسته ای وجود دارد.
@@{picture=img/daneshnameh_up/c/ca/ANTEGRAL_MOAYAN2.JPG}@@
---
!!مجموع انتگرال بالا – مجموع انتگرال پایین
تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} را در نظر می گیریم که در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} تعریف شده است. عبارت
@@{TEX()} {I_n=\sum_{i=0}^{n-1} {f({ \epsilon}_i) \cdot \Delta x_i}} {TEX}@@
را مجموع انتگرال این تابع گویند که در آن :
@@{TEX()} {a=x_0< x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n=b} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Delta x_i=x_{i+1}-x_i \ ; \ {\epsilon}_i \in [x_i,x_{i+1}] \ \ i=0,1, \cdots ,n-1} {TEX}@@
مجموع {TEX()} {S_n=\sum_{i=0}^{n-1} {M_i \cdot \Delta x_i}} {TEX} را مجموع (انتگرال) بالا و {TEX()} {{ S_n=\sum_{i=0}^{n-1} {m_i \cdot \Delta x_i } {TEX} را مجموع (انتگرال) پایین نامند که در آن :
@@{TEX()} { M_i=\sup f(x) \ ; \ x \in [x_i,x_i+1]} {TEX}@@
@@{TEX()} { m_i=\inf f(x) \ ; \ x \in [x_i,x_i+1]} {TEX}@@
---
!!تابع انتگرال پذیر
حد مجموع انتگرال {TEX()} {\int_{a}^{b} f(x)\,dx= \lim \sum_{i=0}^{n-1} {f({ \epsilon}_i) \cdot \Delta x_i} } {TEX} وقتی {TEX()} {\max \mid \Delta x_i \mid \to 0} {TEX} را انتگرال معین تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} گویند.
اگر این حد موجود باشد، تابع را در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} انتگرال پذیر گویند.
(نکته : هر تابع پیوسته انتگرال پذیر است.)
---
!محاسبه انتگرال معین با استفاده از دستور نیوتن-لایپنیتز
دستور زیر معروف به دستور نیوتن-لایپنیتز است :
@@{TEX()} { \int_{a}^{b} f(x) \,dx= F(b)-F(a)} {TEX}@@
که در آن {TEX()} {F(x)} {TEX} یک تابع اولیه تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} می باشد یعنی :
@@{TEX()} {F^{ \prime}(x)=f(x) \ ; \ x \in [a,b]} {TEX}@@
!!مزایای فرمول نیوتن- لایبنیتز
فرمول نیوتن- لابینیتز هنگامیکه یک تابع اولی تابع انتگرال (تابع زیر علامت انتگرال) معلوم باشد یک روش مناسب و عملی برای محاسبه انتگرالهای معین به دست می‌دهند. در حقیقت انتگرال معین فقط زمانی اهمیت کنونی خود را در ریاضیات کسب کرد که این فرمول توسط نیوتن- لایبنیتز کشف شد. اگر چه پیشینیان (ارشمیدس) از یک عمل مشابه‌ای برای محاسبه انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال آگاه بودند، کاربردهای این روش منحصر بود به حالتهای بسیار ساده‌ای که حد مجموع انتگرال می‌توانست مستقیما محاسبه شود. فرمول نیوتن- لایبنیتز دامنه کاربردهای انتگرال معین را تا حد زیاد گسترش داد، زیرا ریاضیات یک روش عمومی برای حل مسائل گوناگون خاصی بدست آورد، و بنابراین توانست بطور قابل ملاحظه‌ای حدود کاربردهای انتگرال معین را در صنعت ، مکانیک ، نجوم و غیره توسعه دهد.
---
!!تخمین یک انتگرال معین
1. اگر در فاصله {TEX()}{a \le x \le b}{TEX} داشته باشیم {TEX()} {f(x) \le \phi(x)} {TEX} آنگاه : @@{TEX()} {\int_{a}^{b} f(x)\,dx \le \int_{a}^{b} \phi (x)\,dx} {TEX}@@
و بویژه :
@@{TEX()} {\Bigg| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \Bigg| \le \int_{a}^{b} {\mid f(x) \mid}\, dx} {TEX}@@
2. اگر {TEX()} {m} {TEX} کوچکترین و {TEX()} {M} {TEX} بزرگترین مقدار تابع در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} باشد، آنگاه :
@@{TEX()} {m \cdot (b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le M \cdot (b-a)} {TEX}@@
3.قضیه مقدار میانگین : اگر تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} پیوسته باشد، آنگاه :
@@{TEX()} {\int_{a}^{b} f(x) \,dx=f( \epsilon) \cdot (b-a) \ ; \ a < \epsilon < b} {TEX}@@
4. تعمیم قضیه مقدار میانگین : اگر توابع {TEX()} {f(x)} {TEX} و {TEX()} {\phi (x)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} پیوسته باشند و همچنین علامت {TEX()} {\phi (x)} {TEX} در این فاصله ثابت بماند، آنگاه :
@@{TEX()} {\int_{a}^{b} f(x) \cdot \phi (x) \,dx=f( \upsilon) \cdot \int_{a}^{b} \phi (x) \,dx \ ; \ a < \epsilon < b} {TEX}@@
5.به ازای هر {TEX()} {x} {TEX} از نقاط ((پیوستگی)) تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} داریم :
@@{TEX()} {\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \,dt=f(x)} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{d}{dx} \int_{x}^{a} f(t) \,dt=-f(x)} {TEX}@@
---
!!تغییر متغیر در انتگرال معین
اگر تابع {TEX()} {x= \phi (x)} {TEX} در شرایط زیر صدق کند :
الف. {TEX()} {\phi (t)} {TEX} در فاصله {TEX()} {[\alpha , \beta]} {TEX}، تابعی پیوسته و یک مقداری بوده و در این فاصله {TEX()} {{\phi}^{ \prime} (t)} {TEX} نیز پیوسته باشد.
ب. اگر {TEX()} {t} {TEX} در فاصله {TEX()} {[\alpha , \beta]} {TEX} تغییر نماید، مقادیر تابع {TEX()} {x= \phi (t)} {TEX} از فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} خارج نشود.
ج. {TEX()} {\phi ( \alpha)=a} {TEX} و {TEX()} {\phi ( \beta)=b} {TEX}
آنگاه دستور تغییر متغییر در انتگرال معین برای هر تابع پیوسته در فاصله {TEX()} {[a,b]} {TEX} بصورت زیر اعمال می شود :
@@{TEX()} {\int_{a}^{b} f(x) \,dx= \int_{ \alpha}^{ \beta} f( \phi (t)) \cdot { \phi}^{ \prime} (t) \,dt} {TEX}@@
---
!مباحث مرتبط با عنوان
*((انتگرال نامعین))
*((پیوستگی))
*((انتگرال))
*((مساحت زیر منحنی توابع))
*((قضیه مقدار میانگین))
*((فرمول نیوتن- لایبنیتز))
#@^