همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از
مستطیلها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب معیار نقطه روی محورها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم (همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به نزدیک خواهد بود.
ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند بین های متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با
مجموع مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم.
تابع:
نقاط شروع و پایان بازه:
تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها):
با استفاده از مجموع ریمان:
خواهیم داشت:
= مقدار دقیق مساحت
بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید
در این صورت مقدرا خطای با برابر خواهد بود.
همانطور که مشاهده شد مستطیل ها را ما به صورت تولید کردیم و مقدار آنها محدود بود حال به نظر شما اگر تعاد مستطیلها یعنی را افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.
همچنین توجه کنید که های مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند.
مثال :
می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنی دربازه (2/1) را پیدا کنیم
مرحله 1) بازه را به 5 قسمت، از تا تقسیم می کنیم.
2) عرض مستطیل را پیدا می کنیم.
3) نقاط را در بین ها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر با خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت
4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل
5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم.
انتگرال ریمان:
ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدر عدد (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان وقتی که بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد.
تعریف انتگرال ریمان:
اگر تابعی باشد که درباره تعریف شده است در این صورت مجموع ریمان تابع در بازه همگرا به یک مقدار محدود مانند خواهد بود وقتی به سمت
بی نهایت می رود.
