منو
 صفحه های تصادفی
امام رضا علیه السلام در نیشابور
درس بهداشت و ایمنی کار در کارخانجات مواد غذایی
لوسیت
رشته تولید سیما
اصالت عقل در قرآن
الکترونیک کار صنعتی
عینکهای آفتابی
کارشناس سخت افزار
گفتگوی خدا با بندگان
دانشکده مهندسی هوا و فضا دانشگاه امیر کبیر
 کاربر Online
708 کاربر online
تاریخچه ی: انتگرال ریمان

تفاوت با نگارش: 7

Lines: 1-91Lines: 1-152
 +V{maketoc}
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 
 پیدا کردن مساحت
 پیدا کردن مساحت
 هاشور خورده  هاشور خورده
  
  
-{picture file=img/daneshnameh_up/riemann2019.jpg} +{picture=riemann2019.jpg}
  
 
 
 
 
 همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.  همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
 حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از ((مستطیل))ها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه {TEX()} {x_1} {TEX} تا {TEX()} {x_4} {TEX} روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.  حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از ((مستطیل))ها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه {TEX()} {x_1} {TEX} تا {TEX()} {x_4} {TEX} روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
 برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند {TEX()} {x_i} {TEX}را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به {TEX()} {f(x_i)} {TEX}نزدیک خواهد بود.  برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند {TEX()} {x_i} {TEX}را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به {TEX()} {f(x_i)} {TEX}نزدیک خواهد بود.
 
 
 
 
  
-{picture file=img/daneshnameh_up/rie.jpg} +{picture=rie.jpg}
  
  
  
 
 
 
 
 ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند {TEX()} {\epsilon_i} {TEX} بین های{TEX()} {x_i} {TEX} متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت {TEX()} {f(\epsilon_i)} {TEX} مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر {TEX()} {\Delta_i=(x_i+1)-x_i} {TEX} ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند {TEX()} {\epsilon_i} {TEX} بین های{TEX()} {x_i} {TEX} متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت {TEX()} {f(\epsilon_i)} {TEX} مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر {TEX()} {\Delta_i=(x_i+1)-x_i} {TEX}
  تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با   تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با
-::||{TEX()} {s=\sum_{i=1}^N f(\epsilon_i)\delta_i} {TEX}||:: +::||{TEX()} {s=\sum_{i=1}^N f(\epsilon_i)\Delta_i} {TEX}||::
 !مجموع ((برنهارد ریمان|ریمان)): !مجموع ((برنهارد ریمان|ریمان)):
- +





{picture=ben.jpg}

 مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم: مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم:
-__تابع:__ ::|| {TEX()} {f(x)=\frac{atan(x).sin(x)}{x}+2} {TEX}||:: 
 +::__تابع:__ ::
 +:: || {TEX()} {f(x)=\frac{atan(x).sin(x)}{x}+2} {TEX}||::
-__نقاط شروع و پایان بازه:__ {TEX()} {b=8} {TEX} {TEX()} {a=2} {TEX}
__تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)__: {TEX()} {n=30} {TEX}
+::__نقاط شروع و پایان بازه:__:: /> /> ::{TEX()} {b=8} {TEX} و {TEX()} {a=2} {TEX}::
::__تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)__::: /> /> :: {TEX()} {n=30} {TEX}::


با استفاده از مجموع ریمان: {TEX()} {s=\sum_{k=1}^N f(\epsilon_k)\Delta_k} {TEX}
-با استفاده از مجموع ریمان: {TEX()} {s=\sum_{k=1}^N f(\epsilon_k)\delta_k} {TEX} 
 خواهیم داشت: خواهیم داشت:
  __ 11.924959 =مقدار دقیق مساحت __   __ 11.924959 =مقدار دقیق مساحت __
  __11.8740138= مساحت محاسبه شده__  __11.8740138= مساحت محاسبه شده__
 بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید  بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید
 در این صورت مقدار خطای با برابر خواهد بود با: در این صورت مقدار خطای با برابر خواهد بود با:
 ::||{TEX()} {|s-exact|=0.051} {TEX}||:: ::||{TEX()} {|s-exact|=0.051} {TEX}||::
 همانطور که مشاهده شد مستطیل ها به صورت رندومی تولید شده اند و تعداد آنها محدود است. حال به نظر شما اگر تعداد مستطیلها یعنی nرا افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.البته توجه کنید که nهای مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند. همانطور که مشاهده شد مستطیل ها به صورت رندومی تولید شده اند و تعداد آنها محدود است. حال به نظر شما اگر تعداد مستطیلها یعنی nرا افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.البته توجه کنید که nهای مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند.
 
 
 
 
  
-{picture file=img/daneshnameh_up/randomi.jpg}
+{picture=randomi.jpg}
  
 
 
 
 
-  
 !!مثال : !!مثال :
-می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنی{TEX()} {f(x)=x^(x-1)} {TEX} دربازه 100%;">{TEX()} {\left [ 1,2 \right ] +می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنی{TEX()} {f(x)=x^{x-1}} {TEX} دربازه 50%;">{TEX()} {\left [ 1,2 \right ]
 } {TEX} را پیدا کنیم  } {TEX} را پیدا کنیم
-مرحله 1) بازه را به 5 قسمت، از تا تقسیم می کنیم.
2) عرض مستطیل را پیدا می کنیم.
3) نقاط را در بین ها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر با خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت
4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل
5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم.
+1) بازه را به 5 قسمت، از{TEX()} {x_1} {TEX} تا{TEX()} {x_2} {TEX} تقسیم می کنیم:
2) عرض مستطیل ها را پیدا می کنیم.

::{TEX()} {\Delta_1=x_1-1} {TEX}::
::{TEX()} {\Delta_2=x_2-x_1} {TEX}::
::تا::

::{TEX()} {\Delta_5=2-x_5} {TEX}::

3) نقاط {TEX()} {\epsilon_i} {TEX} را در بین {TEX()} {x_i} {TEX}ها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر با{TEX()} {f(\epsilon_i)} {TEX} خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت:

::{TEX()} {h_1=f(\epsilon_1)} {TEX}::

::{TEX()} {h_2=f(\epsilon_5)} {TEX}::
::تا::
::{TEX()} {h_5=f(\epsilon_5)} {TEX}::



4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل:

{TEX()} {A_1=f(\epsilon_1).\Delta_1} {TEX} تا {TEX()} {A_5=f(\epsilon_5).\Delta_5} {TEX} را پیدا میکنیم.

5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم:

::||{TEX()} {s=\sum_{i=1}^5 A_i }=A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 {TEX}||::
 !انتگرال ریمان: !انتگرال ریمان:
-ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدر عدد (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان وقتی که بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد. 
-!!تعریف انتگرال ریمان: 
- اگر تابعی باشد که درباره تعریف شده است در این صورت مجموع ریمان تابع در بازه همگرا به یک مقدار محدود مانند خواهد بود وقتی به سمت ((بی نهایت)) می رود.  
 +
 +
 +
 +{picture=riman2.gif}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +این شکل همگرایی مجموع ریمان
 +را نشان میدهدهر چه قدر بازه ها کوچکتر
 +و تعداد مستطیلها بیشتر میشود
 +مقدار O(حد مجموع بالا)و U (حد مجموع پایین)
 +به مقدار اصلی مساحت نزدیک خواهد شد.
 +
 +
 +
 +ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدرعددn (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان به یک عدد ،همگرا میشود. یعنی حد گرفتن از مجموع ریمان وقتی که n بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد.
 +!!تعریف انتگرال ریمان:
 + اگر f تابعی باشد که دربازه{TEX()} {\left [ 0,1 \right ]} {TEX} تعریف شده است در این صورت مجموع ریمان تابعf در بازه {TEX()} {\left [ 0,1 \right ]} {TEX}وقتی که n به سمت ((بی نهایت)) می رود،همگرا به یک مقدار محدود مانند Aخواهد بود.
 + || {TEX()} { \lim_{n \to \infty}s=\sum_{i=1}^n f(\epsilon_i)\Delta_i=\int_{a}^{b} f(x)\, dx} {TEX}||
 +!همچنین ببینید:
 +((ریمان))
 +((انتگرال))

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 سه شنبه 07 شهریور 1385 [20:17 ]   19   علی هادی      جاری 
 یکشنبه 08 خرداد 1384 [05:56 ]   18   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 08 خرداد 1384 [05:38 ]   17   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 08 خرداد 1384 [05:36 ]   16   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 08 خرداد 1384 [05:32 ]   15   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 08 خرداد 1384 [05:21 ]   14   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 08 خرداد 1384 [04:37 ]   13   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [12:57 ]   12   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [12:48 ]   11   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [12:09 ]   10   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [11:41 ]   9   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [08:26 ]   8   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [08:10 ]   7   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [06:41 ]   6   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 07 خرداد 1384 [06:01 ]   5   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 04 خرداد 1384 [11:54 ]   4   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 04 خرداد 1384 [11:39 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 04 خرداد 1384 [11:21 ]   2   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 04 خرداد 1384 [10:57 ]   1   علی هادی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..