: انتگرال ریمان











	پیدا کردن مساحت		پیدا کردن مساحت
	هاشور خورده		هاشور خورده


-	{picture file=img/daneshnameh_up/riemann2019.jpg}	+	{picture=riemann2019.jpg}

همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.

حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از ((مستطیل))ها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه {TEX()} {x_1} {TEX} تا {TEX()} {x_4} {TEX} روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.

برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند {TEX()} {x_i} {TEX}را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به {TEX()} {f(x_i)} {TEX}نزدیک خواهد بود.




-	{picture file=img/daneshnameh_up/rie.jpg}	+	{picture=rie.jpg}

ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند {TEX()} {\epsilon_i} {TEX} بین های{TEX()} {x_i} {TEX} متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت {TEX()} {f(\epsilon_i)} {TEX} مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر {TEX()} {\Delta_i=(x_i+1)-x_i} {TEX}

تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با

::||{TEX()} {s=\sum_{i=1}^N f(\epsilon_i)\Delta_i} {TEX}||::

!مجموع ((برنهارد ریمان|ریمان)):

مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم:

::__تابع:__ ::

:: || {TEX()} {f(x)=\frac{atan(x).sin(x)}{x}+2} {TEX}||::

::__نقاط شروع و پایان بازه:__::

::__تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)__:::

:: {TEX()} {n=30} {TEX}::

خواهیم داشت:

بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید

در این صورت مقدار خطای با برابر خواهد بود با:

::||{TEX()} {|s-exact|=0.051} {TEX}||::

همانطور که مشاهده شد مستطیل ها به صورت رندومی تولید شده اند و تعداد آنها محدود است. حال به نظر شما اگر تعداد مستطیلها یعنی nرا افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.البته توجه کنید که nهای مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند.




-	{picture file=img/daneshnameh_up/randomi.jpg}	+	{picture=randomi.jpg}

!!مثال :

می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنی{TEX()} {f(x)=x^{x-1}} {TEX} دربازه {TEX()} {\left [ 1,2 \right ]

} {TEX} را پیدا کنیم

1) بازه را به 5 قسمت، از{TEX()} {x_1} {TEX} تا{TEX()} {x_2} {TEX} تقسیم می کنیم:

2) عرض مستطیل ها را پیدا می کنیم.

::{TEX()} {\Delta_1=x_1-1} {TEX}::

::{TEX()} {\Delta_2=x_2-x_1} {TEX}::

::تا::

::{TEX()} {\Delta_5=2-x_5} {TEX}::

3) نقاط {TEX()} {\epsilon_i} {TEX} را در بین {TEX()} {x_i} {TEX}ها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر با{TEX()} {f(\epsilon_i)} {TEX} خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت:

::{TEX()} {h_1=f(\epsilon_1)} {TEX}::

::{TEX()} {h_2=f(\epsilon_5)} {TEX}::

::تا::

::{TEX()} {h_5=f(\epsilon_5)} {TEX}::

4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل:

{TEX()} {A_1=f(\epsilon_1).\Delta_1} {TEX} تا {TEX()} {A_5=f(\epsilon_5).\Delta_5} {TEX} را پیدا میکنیم.

5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم:

::||{TEX()} {s=\sum_{i=1}^5 A_i }=A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 {TEX}||::

!انتگرال ریمان:

ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدرعددn (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان به یک عدد ،همگرا میشود. یعنی حد گرفتن از مجموع ریمان وقتی که n بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد.

!!تعریف انتگرال ریمان:

تفاوت با نگارش: 10

سرویس‌های رشد:

فهرست: