انتگرال دو گانه
همانطور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف
انتگرال توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، بنام انتگرال دو گانه ، رهنمون میشود. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال میباشد، با این تفاوت که در این انتگرال قلمرو در صفحه دو بعد xoy واقع شده است.
تعریف انتگرال دو گانه
تابع دو متغیره
را در نظر بگیرید که قلمرو آن در صفحه xoy واقع است.
A مساحت برش عمودی است که بین دو بازه
واقع شده است، در نتیجه حجم این جسم مجموع مساحتهای چنین سطحی است میتوانیم بنویسیم.
در حد این مجموع را میتوان بصورت انتگرال نوشت که این همان انتگرال یگانه است، حال باید دید که A نیز خود میتواند یک انتگرال باشد یا خیر؟ در نتیجه مساحت برش عمودی یعنی A برابر است با
پس از جایگذاری فرمول حجم بالا به صورت زیر نوشته میشود:
انواع دامنه ها در انتگرال دو گانه
دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد:
- دامنه منظم
دامنهای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند مربع ،
مثلث ، دایره. در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است.
- دامنه غیرمنظم
دامنهای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع و در این نوع دامنه تعویض حدود با احتیاط باشد صورت گیرد.
برخی از انواع دامنههای منظم در انتگرال دو گانه
این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است.
- دامنههای مثلثی مانند و در صورت تعویض انتگرالگیری میتوان را به صورت نوشت.
- دامنههای دایرهای. دامنههای دایرهای در دستگاه دکارتی و قطبی به صورت زیر نوشته میشوند.
الف) دایرهای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن R باشد.
دکارتی
قطبی:
تعویض تعریف انتگرالگیری
مانند مشتقات جزئی ، انتگرال نیز دارای ترتیب است، وقتی انتگرال به صورت
باشد یعنی ابتدا نسبت به متغیر x انتگرال میگیریم و y را ثابت فرض میکنیم و در مرحله دوم نسبت به y انتگرال میگیریم. و چنانچه حدود به صورت
و
باشد میتوانیم در صورت لزوم x را بر حسب تابعی از y نوشته و حدود y را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار میدهیم یا
؛ که در این صورت میتوان نوشت:
ویژگیهای انتگرال دوگانه
- اگر ناحیه بسته و محدود R اجتماع دو ناحیه بسته و محدود باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع در ناحیه R برابر است با انتگرال دوگانه تابع f در بعلاوه انتگرال دوگانه تابع f در .
- اگر و روی ناحیه بسته و محدود R پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع.
- اگر انتگرال دو گانه روی R وجود داشته و C عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه برابر است با حاصلضرب C در انتگرال دوگانه .
گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن در
مختصات دکارتی است. فرض کنیم ناحیه R در مختصات قطبی بین دو نمودار هموار
و
محدود شده باشد و
باشد در این صورت انتگرال دوگانه را میتوان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد.
تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به مختصات قطبی
برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی ، ابتدا به جای y,x، به ترتیب ،
و
را قرار میدهیم. سپس به جای dx dy (یا dx dy) عبارت
(یا
) را قرار میدهیم و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل میکنیم.
انتگرال سهگانه
انتگرال سهگانه در مورد
توابع سه متغیره ، حقیقی تعریف میشود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی
،
و
است. در دستگاهها مختصات مختلف انتگرال سهگانه به صورت زیر نوشته میشود. در دستگاه مختصات دکارتی به صورت زیر است.
همان طور که محاسبه برخی از انتگرالهای دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است. برخی از انتگرال های سهگانه نیز در دستگاه غیر دکارتی سادهتر محاسبه میشوند. یکی از این دستگاههای مختصات. مختصات استوانهای است. فرض میکنیم
مختصات دکارتی نقطه p در فضا باشد. اگر
مختصات قطبی نقطه
باشد، آنگاه
را مختصات استوانهی p مینامیم.
تبدیل مختصات دکارتی به استوانهای
برای تبدیل مختصات دکارتی
به مختصات استوانهای، از فرمولهای
و
استفاده میکنیم.
تبدیل مختصات استوانهای به مختصات دکارتی
برای تبدیل مختصات استوانهای
به مختصات دکارتی ، فرمولهای
و
را به کار میبریم.
تعریف انتگرال سهگانه در مختصات استوانهای
فرض کنیم R ناحیه ای در مختصات قطبی باشد و
text
پس تابع انتگرال سهگانه به صورت زیر است:
text
رابطه بین مختصات دکارتی، استوانهای و کروی
{text::
مباحث مرتبط با عنوان
انتگرال
مختصات قطبی
مختصات دکارتی
مختصات استوانهای
مختصات کروی