|
تاریخچه ی: انتگرالهای چند گانه
تفاوت با نگارش: 2
| + | ||V{maketoc}|| |
| + | ^@#16: |
| !انتگرال دو گانه | | !انتگرال دو گانه |
- | همانطور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف ((انتگرال)) توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، بنام انتگرال دو گانه ، رهنمون میشد. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال میباشد، با این تفاوت که در این انتگرال قلمرو در صفحه دو بعد xoy واقع شده است. !!تعریف انتگرال دو گانه ابع دو متیر {TEX()} {z = f \left x,y\right} {TEX} ا در ن بگیرید که قلمو ر فه xoy وقع است.
{TEX()} {D_f = \left\ \left x,y \right : a \le x \le b, g \left x \right \le y \le h \left x \right \right\} {TEX} A ساحت بر عمدی ا که ین و باه {TEX()} {\left( a,b \right)} {TEX} وق شده است د یج این سم مع ماهای نی طی ات یوانیم وییم.
{TEX()} {v = \sum_{i=1}^ n A \nabla x_i} {TEX} در حد ای موع را یان بصر را وشت که ین همن انتگرال یگانه است حال باید ید که A یز خ میتاند یک انتگرال با یا ی؟ ر نیجه ت می یعی A ابر ا ا {TEX()} {A = \int_{g \left x\right} ^ h\left x \right f \left x,y \right \, dx} {TEX} ز یگری رو بال ورت ز نوشه یشود:
{TEX()} {v = \int_a ^b \int_{g \left x\right} ^ h\left x \right f \left x,y \right \, dy \, dx} {TEX} !!انواع دامنه ها در انتگرال دو گانه |
+ | همانطور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف ((انتگرال)) توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، به نام انتگرال دو گانه ، رهنمون می کد. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال میباشد، با این تفاوت که در این نوع انتگرال قلمرو در صفحه دو بعدی {TEX()} {xoy} {TEX} واقع شده است. !انتگرال دو گانه وی نواح مستیلی فرض ی کنیم {TEX()} {f(x,y)} {TEX} ر نیه ی مطیی {TEX()} {R} {TEX} یر عریف و: ::{TEX()} {R \ : \ a \le x \le b \ , \ c \le y \le d} {TEX}:: و ر می کیم {TEX()} {R} {TEX} با که ی ز خطوط موازی با مور های {TEX()} {x} {TEX} و {TEX()} {y} {TEX} پویه شده باشد. مساحت ه کد ز ای ق های کک رابر است ا : {TEX()} {\Delta A= \Delta x \cdot \Delta y} {TEX}
ای طعات ا مره گذاری می نی و ر هر قطه ای مانن {TEX()} {\Delta A_k} {TEX} قطه ی {TEX()} {(x_k,y_k)} {TEX} ا بر می گزینیم و موع زی را تشکیل می دهیم: ::{TEX()} {S_n= \sum_{k=1}^n f(x_k,y_k) \Delta A_k} {TEX}:: ر {TEX()} {f} {TEX} در سراسر {TEX()} {R} {TEX} پیست یشد، با کوچک کردن خانه ای شبکه ی میل دادن {TEX()} {\Delta x} {TEX} و {TEX()} {\Delta y} {TEX} به صرمجموع مخص شد در رابط ی وق به دی میل می کند که ن را __ انتگرال دوگانه {TEX()} {f} {TEX} __ وی {TEX()} {R} {TEX} ی می. نماد انتگرال دوگانه عبا است ز : ::{TEX()} {\int \int_{R} f(x,y) \, dA} {TEX}:: ی />::{TEX()}{\int \int_{R} f(x,y) \, dx \cdot dy } {TEX}:: نابر این: ::{TEX()}{\int \int_{R} f(x,y) \, dA = \lim_{ \Delta A \to 0} \sum_{k=1}^n f(x_k,y_k) \cdot \Delta A_k} {TEX}::
!!قیه وینی (وت ول): گ{TEX()} {f(x,y)} {TEX} ر حیه مستطیی {TEX()} { R \ : \ a \le x \le b \ , \ c \le y \le d } {TEX} پیوه با، اریم: />@@{TEX()}{\int \int_{R} f(x,y) \, dA = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \, f(x,y) \cdot dx \cdot dy = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \, f(x,y) \cdot dy \cdot dx } {TEX}@@
!! یه فوینی (وت قوی ): فرض می کیم {TEX()} {f(x,y)} {TEX} ری ناحیه ای چو {TEX()} {R} {TEX} پیو باد. />#گرتعری{TEX()} {R} {TEX} بارت باشد از : {TEX()} {a \le x \le b} {TEX} {TEX()} {f_1(x) \le y \le f_2(x)} {TEX} ا این شط که {TEX()} {f_1} {TEX} {TEX()} {f_2} {TEX} بر {TEX()} {[a,b]} {TEX} پیوسته باشد، آنگاه : @@{TEX()}{\int \int_{R} f(x,y) \, dx \cdot dy = \int_{a}^{b} \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} \, f(x,y) \cdot dy \cdot dx} {TEX}@@ # اگرتعریف{TEX()} {R} {TEX} عبارت باشد از : {TEX()} {c \le y \le d} {TEX}، {TEX()} {g_1(y) \le x\le g_2(y)} {TEX} با این شرط که {TEX()} {g_1} {TEX} و {TEX()} {g_2} {TEX} بر {TEX()} {[c,d]} {TEX} پیوسته باشد، آنگاه : @@{TEX()}{\int \int_{R} f(x,y) \, dx \cdot dy = \int_{c}^{d} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \, f(x,y) \cdot dx \cdot dy} {TEX}@@
/>--- !دامنه در انتگرال دو گانه |
| دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد: | | دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد: |
- | #دامنه منظم دامنهای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند مربع ، ((مثلثات|مثلث)) ، دایره. در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است. #دامنه غیرمنظم دامنهای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع و در این نوع دامنه تعویض حدود با احتیاط باشد صورت گیرد. |
+ | #دامنه منظم: دامنهای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند ((مربع)) ، ((مثلثات|مثلث)) ، ((دایره)). در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است. #دامنه غیرمنظم: دامنهای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع. در این نوع دامنه ها تعویض حدود باید با احتیاط صورت گیرد.
|
| !!برخی از انواع دامنههای منظم در انتگرال دو گانه | | !!برخی از انواع دامنههای منظم در انتگرال دو گانه |
- | {TEX()} {D:\left\ \frac {a \le x \le b} {c \le y \le d}} {TEX} این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است. #دامنههای مثلثی مانند {TEX()} {D:\left\ \frac {0 \le y \le x} {0 \le x \le 1}} {TEX} و در صورت تعویض انتگرالگیری میتوان را به صورت {TEX()} {D:\left\ \frac {y \le x \le 1} {0 \le y \le 1}} {TEX} نوشت. #دامنههای دایرهای. دامنههای دایرهای در دستگاه دکارتی و قطبی به صورت زیر نوشته میشوند. الف) دایرهای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن R باشد.
دکارتی {TEX()} {D: \left\ \frac {-\sqrt R^2-x^2 \le y \le \sqrtR^2-x^2} {-R \le x \le R } {TEX} قطبی: {TEX()} {D : \left\ \frac {\rou = R \teta = 2 \pi} {\rou = 0 \teta = 0}} {TEX} !!تعویض تعریف انتگرالگیی مانند مشتقات جزئی ، انتگرال نیز دارای ترتیب است، وقتی انتگرال به صورت {TEX()} {\int \int_D f \left x,y \right \, dx \, dy} {TEX} باشد یعنی ابتدا نسبت به متغیر x انتگرال میگیری و y را ثابت فرض میکنیم و در مرحله دوم نسبت به y انتگرال میگیریم. و چنانچه حدود به صورت {TEX()} {y_1 \left x \right \le y \le y_2 \left x \right} {TEX} و {TEX()} {a \le x \le b} {TEX} باشد میتوانیم در صورت لزوم x را بر حسب تابعی از y نوشته و حدود y را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار میدهیم یا {TEX()} {x_1 \left y \right \le x \le x_2 \left y \right} و {TEX()} {c \le y \le d} {TEX}؛ که در این صورت میتوان نوشت:
{TEX()} {\int_a^b int_{y_1 \left x \right}^{y_2 \left x,y \right} \, dy \,dx = \int_c^d \int_{x_1 \left y \right}^{x_2 \left y \right} f \left \left x,y \right \, dx \, dy} {TEX} !!ویژگیهای انتگرال دوگانه #اگر ناحیه بسته و محدود R اجتماع دو ناحیه بسته و محدود {TEX()} {R_2 , R_1} {TEX} باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع {TEX()} {f \left x,y \right} {TEX} در ناحیه R برابر است با انتگرال دوگانه تابع f در {TEX()} {R_1} {TEX} بعلاوه انتگرال دوگانه تابع f در {TEX()} {R_2} {TEX}. #اگر {TEX()} {f \left x,y \right} {TEX} و {TEX()} {g \left x,y \right} {TEX} روی ناحیه بسته و محدود R پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع. #اگر انتگرال دو گانه {TEX()} {f \left x,y \right} {TEX} وی R وجود داشته و C عدد حقیقی باشد. آنگاه انترال دوگانه {TEX()} {Cf \left x,y \right} {TEX} برابر است با حاصلضرب C در انتگرال دوگانه {TEX()} {f \left x,y \right} {TEX}. !!انتگرال دوگانه در ((مختصات قطبی)) گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن در ((مختصات دکارتی)) است. فرض کنیم ناحیه R در مختصات قطبی بین دو نمودار هموار {TEX()} {r = g_1 \left \teta \right} {TEX} و {TEX()} {r = g_2 \left \teta \right} {TEX} محدود شده باشد و {TEX()} {\alpha < \teta < \beta} {TEX} باشد در این صورت انتگرال دوگانه را میتوان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد.
{TEX()} {\int_ \alpha^ \beta \int_{g_1 \left \teta}^{g_2 \left \teta \right}f \left r, \teta \right r \, dr \, d \teta} {TEX} !!تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به مختصات قطبی برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی ، ابتدا به جای y,x، به ترتیب ، {TEX()} {rcos \teta} {TEX} و {TEX()} {rsin \teta} {TEX} را قرار میدهیم. سپس به جای dx dy (یا dx dy) عبارت {TEX()} {rdr d \teta} {TEX} (یا {TEX()} {rd \teta dr} {TEX}) را قرار میدهیم و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل میکنیم. !انتگرال سهگانه انتگرال سهگانه در مورد ((توابع سه متغیره)) ، حقیقی تعریف میشود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی {TEX()} {a \le \le b} {TEX}، {TEX()} {f_1 \left x \right \le y \le f_2 \left x \right} {TEX} و {TEX()} {z_1 \left x,y \right \le z \le z_2 \left x,y \right} {TEX} است. در دستگاهها مختصات مختلف انتگرال سهگانه به صورت زیر نوشته میشود. در دستگاه مختصات دکارتی به صورت زیر است.
{TEX()} {\int_a^b \int_{f_1 \left x \right}^{f_2 \left x \right} \int_{z_1 \left x,y \right}^ \z_2 \left x,y \right} F \left x,y,z \, dz \,dy \, dx} {TEX} !!انتگرال سهگانه در ((مختصات استوانهای)) همان طور که محاسبه برخی از انتگرالهای دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است. برخی از انتگرال های سهگانه نیز در دستگاه غیر دکارتی سادهتر محاسبه میشوند. یکی از این دستگاههای مختصات. مختصات استوانهای است. فرض میکنیم {TEX()} {\left x,y,z \right} {TEX} مختصات دکارتی نقطه p در فضا باشد. اگر {TEX()} {\left r, \teta \right} {TEX} مختصات قطبی نقطه {TEX()} {\left x,y \right} {TEX} باشد، آنگاه {TEX()} {\left r, \teta, z \right} {TEX} را مختصات استوانهی p مینامیم. !!تبدیل مختصات دکارتی به استوانهای برای تبدیل مختصات دکارتی {TEX()} {\left x,y,z \right} {TEX} به مختصات استوانهای، از فرمولهای {TEX()} {x^2 + y^2 = r^2} {TEX} و {TEX()} {tan \teta = \frac {y} {x}} {TEX} {TEX()} {\left x \ne 0 \right} {TEX} استفاده میکنیم. !!تبدیل مختصات استوانهای به مختصات دکارتی برای تبدیل مختصات استوانهای {TEX()} {\left r, \teta, z \right} {TEX} به مختصات دکارتی ، فرمولهای {TEX()} {x = rcos \teta} {TEX} و {TEX()} {y = rsin \teta} {TEX} را به کار میبریم. !!تعریف انتگرال سهگانه در مختصات استوانهای فرض کنیم R ناحیه ای در مختصات قطبی باشد و
::text::{TEX()} {D = \left\ \left r, \teta,z \right | \left r, \teta \right \in\mathbb {R} , F_1 \left r, \teta \right \le Z \le F_2 \left r, \teta \right \right\} {TEX} پس تابع انتگرال سهگانه به صورت زیر است:
::text::{TEX()} {\int_ \alpha^ \beta \int_{h_1 \left \teta \right}^{h_2 \left \teta \right} \int_{F_1 \left r, \teta \right}^ \F_2 \left r, \teta \right} f \left r, \teta,z \right r \, dz \,dr \, d \teta} {TEX}
!!رابطه بین مختصات دکارتی، استوانهای و کروی
{TEX()} {x = rcos \teta =\ rou sin \phi cos \teta } {TEX} {TEX()} {y = r sin \teta = \rou sin \phi sin \teta} {TEX} {text::{TEX()} {z = \rou cos \phi}{TEX} {TEX()} {\rou^2 = x^2 + y^2 + z^2} {TEX} !!مباحث مرتبط با عنوان ((انتگرال)) ((مختصات قطبی)) ((مختصات دکارتی)) ((مختصات استوانهای)) ((مختصات کروی)) |
+ | #{TEX()} {D: \ a \le x \le b \ ; \ c \le y \le d} {TEX}: این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است. #دامنههای مثلثی مانند: {TEX()} {D: \ 0 \le y \le x \ ; \ 0 \le x \le 1} {TEX} و در صورت تعویض انتگرال گیری میتوان آن را به صورت {TEX()} {D: \ y \le x \le 1\ ; \ 0 \le y \le 1} {TEX} نوشت. #دامنههای دایرهای؛ دامنههای دایرهای در دستگاه ((مختصات دکارتی|دکارتی)) و ((مختصات قطبی|قطبی)) به صورت زیر نوشته میشوند: دایرهای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن {TEX()} {r} {TEX} باشد. ## دکارتی: @@{TEX()} {D: \ - \sqrt{r^2-x^2} \le y \le \sqrt{r^2-x^2} \ ; \ -r \le x \le r} {TEX}@@ />## قطبی: @@{TEX()} {D: \ 0 \le \rho \le r \ ; \ 0 \le \theta \le 2 \cdot \pi} {TEX}@@ --- !تعویض انتگرال ه ی دوگانه #@ @#16: مانند مشتقات جزئی، انتگرال نیز دارای ترتیب است. وقتی انتگرال به صورت {TEX()} {\int \int_{R}f(x,y)\,dx \cdot dy} {TEX} باشد، یعنی باید ابتدا {TEX()} {y} {TEX} را ثابت فرض کرده و نسبت به متغیر {TEX()} {x} {TEX} انتگرال گرت و در مرحله دوم نسبت به {TEX()} {y} {TEX} انتگرال بگیریم. />چنانچه حدود به صورت {TEX()} {y_1(x) \le y \le y_2(x)} {TEX} و {TEX()} {a \le x \le b} {TEX} باشد میتوانیم در صورت لزوم {TEX()} {x} {TEX} را بر حسب تابعی از {TEX()} {y} {TEX} نوشته و حدود {TEX()} {y} {TEX} را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار دهیم یا: />::{TEX()} {x_1(y) \le x \le x_2(y)} {TEX} و {TEX()} {c \le y \le d} {TEX}:: />که در این صورت میتوان نوشت: ::{TEX()} {\int_{a}^{b} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \cdot dx = \int_{c}^{d} \int_{x_1(y) }^{x_2(y)} f(x,y) \, dx \cdot dy} {TEX}:: --- !ویژگیهای انتگرال دوگانه #اگر ناحیه بسته و محدود {TEX()} {R} {TEX} اجتماع دو ناحیه بسته و محدود {TEX()} {R_2 , R_1} {TEX} باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع {TEX()} {f (x,y)} {TEX} در ناحیه {TEX()} {R} {TEX} برابر است با انتگرال دوگانه تابع {TEX()} {f} {TEX} در {TEX()} {R_1} {TEX} بعلاوه انتگرال دوگانه تابع {TEX()} {f} {TEX} در {TEX()} {R_2} {TEX}. |
| + | #اگر {TEX()} {f (x,y)} {TEX} و {TEX()} {g( x,y)} {TEX} روی ناحیه بسته و محدود {TEX()} {R} {TEX} پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع. |
| + | |
| + | #اگر انتگرال دو گانه {TEX()} {f (x,y)} {TEX} روی {TEX()} {R} {TEX} وجود داشته و {TEX()} {c} {TEX} عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه {TEX()} {c \cdot f (x,y)} {TEX} برابر است با حاصلضرب {TEX()} {c} {TEX} در انتگرال دوگانه {TEX()} {f( x,y)} {TEX}. |
| + | --- |
| + | !انتگرال دوگانه درمختصات قطبی |
| + | گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن درمختصات دکارتی است. |
| + | فرض کنیم ناحیه {TEX()} {R} {TEX} در مختصات قطبی، بین دو نمودار هموار {TEX()} {r = g_1 ( \theta)} {TEX} و {TEX()} {r = g_2( \theta)} {TEX} محدود شده باشد که در آن {TEX()} { \alpha < \theta < \beta} {TEX} باشد در این صورت انتگرال دوگانه را میتوان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد: |
| + | ::{TEX()} {\int_{ \alpha}^{ \beta} \int_{g_1( \theta)}^{g_2( \theta)}f (r, \theta) \cdot r \, dr \cdot d \theta} {TEX}:: |
| + | !!تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی |
| + | برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی، به جای {TEX()} {x} {TEX}،{TEX()} {y} {TEX} و{TEX()} {dx \cdot dy} {TEX} (یا {TEX()} {dy \cdot dx} {TEX}) به ترتیب {TEX()} {r \cdot cos( \theta)} {TEX}، {TEX()} {r \cdot sin( \theta)} {TEX} و{TEX()} {r \cdot dr \cdot d \theta} {TEX} (یا {TEX()} {r \cdot d \theta \cdot dr} {TEX}) قرار داده و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل میکنیم و در نهایت عملیات انتگرال گیری را بر حسب پارامتر های {TEX()} {r} {TEX} و {TEX()} {\theta} {TEX} انجام می دهیم. |
| + | --- |
| + | !انتگرال سهگانه |
| + | انتگرال سهگانه در مورد ((توابع سه متغیره)) ی حقیقی تعریف میشود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی {TEX()} {a \le x \le b} {TEX}، {TEX()} {f_1(x) \le y \le f_2(x)} {TEX} و {TEX()} {z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y)} {TEX} است. |
| + | در دستگاه ها ی مختصات مختلف، انتگرال سه گانه به صورت زیر نوشته میشود: |
| + | #دستگاه مختصات دکارتی:@@{TEX()} {\int_a^b \int_{f_1(x)}^{f_2(x)} \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} F(x,y,z) \, dz \cdot dy \cdot dx} {TEX}@@ |
| + | #دستگاه مختصات استوانهای: همان طور که محاسبه برخی از انتگرال های دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است، برخی از انتگرال های سهگانه نیز در دستگاه غیر دکارتی سادهتر محاسبه میشوند. یکی از این دستگاههای مختصات، مختصات استوانهای است. |
| + | فرض میکنیم {TEX()} {(x,y,z)} {TEX} مختصات دکارتی نقطه ی P در فضا باشد. اگر {TEX()} {(r, \theta)} {TEX} مختصات قطبی نقطه ی {TEX()} {(x,y)} {TEX} باشد، آنگاه {TEX()} (r, \theta, z)} {TEX} را مختصات استوانهی {TEX()} {P} {TEX} مینامیم. |
| + | !!رابطه بین مختصات دکارتی، استوانهای و کروی |
| + | @@{TEX()} {x = r \cdot cos( \theta)= \rho \cdot sin( \phi) \cdot cos( \theta)} {TEX}@@ |
| + | @@{TEX()} {y=r \cdot sin( \theta)= \rho \cdot sin( \phi) \cdot sin( \theta)} {TEX}@@ |
| + | @@{TEX()} {z= \rho \cdot cos( \phi)}{TEX}@@ |
| + | @@{TEX()} {\rho ^2=x^2+y^2+z^2} {TEX}@@ |
| + | --- |
| + | !مباحث مرتبط با عنوان |
| + | ((انتگرال نامعین)) |
| + | ((انتگرال معین)) |
| + | ((جدول انتگرال نامعین)) |
| + | ((جدول انتگرال توابع مثلثاتی)) |
| + | ((جدول انتگرال توابع نمایی)) |
| + | ((جدول انتگرال توابع هیپربولیک)) |
| + | ((محاسبه انتگرال به روش سیمپسون)) |
| + | ((جدول انتگرالها)) |
| + | #@^ |
|