تاریخچه ی:
الگوریتم تقسیم
فرض کنید __a و b__ دو ((عدد صحیح)) باشند و __b__ مخالف ((صفر)) باشد. در این صورت اعداد صحیح و یکتایی مانند __q و r __وجود دارند که __ a = bq + r__؛ __r__ را باقیمانده تقسیم __a __بر __b __مینامند.
---
میدانیم عددی زوج است که بر __2 __بخشپذیر باشد،و عددی که بر __2 __بخشپذیر نباشد فرد است. بنابر الگوریتم تقسیم هر ((عدد صحیح)) را میتوان به شکل __2q+r__ نوشت، که در آن . بنابراین یا __r = 0 __یا __r = 1 __. به این ترتیب هر عدد زوج به شکل __2q __و هر عدد فرد به شکل __2q + 1__ است.
---
__مساله. __ثابت کنید مربع هر عدد فرد به شکل __8k + 1__ است.
راهحل: فرض کنید __a __عددی فرد باشد. در این صورت عددی صحیح مانند __t __وجود دارد که __a = 2t + 1__. در نتیجه
{TEX()} {a^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1=4t(t+1)+1} {TEX}
از طرف دیگر، چون از هر دو عدد صحیح متوالی حتماً یکی زوج است، {TEX()} {2|t(t+1)} {TEX}.بنابراین {TEX()} {8|4t(t+1)} {TEX}.. در نتیجه عددی صحیح مانند __k __وجود دارد که __4t(t + 1) = 8k__. بنابراین {TEX()} {a^2=8k+1} {TEX} .
---
!همچنین ببینید
*((بخش پذیری))
---
__منابع__
*"نظریه اعداد" / تالیف رویا بهشتی زواره ، مریم میرزاخانی ؛ ویراستار ارشک حمیدی._ تهران : فاطمی، 1378.