| فرض کنید __a و b__ دو ((عدد صحیح)) باشند و __b__ مخالف ((صفر)) باشد. در این صورت اعداد صحیح و یکتایی مانند __q و r __وجود دارند که __ a = bq + r__؛ __r__ را باقیمانده تقسیم __a __بر __b __مینامند. | | فرض کنید __a و b__ دو ((عدد صحیح)) باشند و __b__ مخالف ((صفر)) باشد. در این صورت اعداد صحیح و یکتایی مانند __q و r __وجود دارند که __ a = bq + r__؛ __r__ را باقیمانده تقسیم __a __بر __b __مینامند. |
| میدانیم عددی زوج است که بر __2 __بخشپذیر باشد،و عددی که بر __2 __بخشپذیر نباشد فرد است. بنابر الگوریتم تقسیم هر ((عدد صحیح)) را میتوان به شکل __2q+r__ نوشت، که در آن . بنابراین یا __r = 0 __یا __r = 1 __. به این ترتیب هر عدد زوج به شکل __2q __و هر عدد فرد به شکل __2q + 1__ است. | | میدانیم عددی زوج است که بر __2 __بخشپذیر باشد،و عددی که بر __2 __بخشپذیر نباشد فرد است. بنابر الگوریتم تقسیم هر ((عدد صحیح)) را میتوان به شکل __2q+r__ نوشت، که در آن . بنابراین یا __r = 0 __یا __r = 1 __. به این ترتیب هر عدد زوج به شکل __2q __و هر عدد فرد به شکل __2q + 1__ است. |
| __مساله. __ثابت کنید مربع هر عدد فرد به شکل __8k + 1__ است. | | __مساله. __ثابت کنید مربع هر عدد فرد به شکل __8k + 1__ است. |
| راهحل: فرض کنید __a __عددی فرد باشد. در این صورت عددی صحیح مانند __t __وجود دارد که __a = 2t + 1__. در نتیجه | | راهحل: فرض کنید __a __عددی فرد باشد. در این صورت عددی صحیح مانند __t __وجود دارد که __a = 2t + 1__. در نتیجه |
| {TEX()} {a^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1=4t(t+1)+1} {TEX} | | {TEX()} {a^2=(2t+1)^2=4t^2+4t+1=4t(t+1)+1} {TEX} |
| از طرف دیگر، چون از هر دو عدد صحیح متوالی حتماً یکی زوج است، {TEX()} {2|t(t+1)} {TEX}.بنابراین {TEX()} {8|4t(t+1)} {TEX}.. در نتیجه عددی صحیح مانند __k __وجود دارد که __4t(t + 1) = 8k__. بنابراین {TEX()} {a^2=8k+1} {TEX} . | | از طرف دیگر، چون از هر دو عدد صحیح متوالی حتماً یکی زوج است، {TEX()} {2|t(t+1)} {TEX}.بنابراین {TEX()} {8|4t(t+1)} {TEX}.. در نتیجه عددی صحیح مانند __k __وجود دارد که __4t(t + 1) = 8k__. بنابراین {TEX()} {a^2=8k+1} {TEX} . |