تاریخچه ی:
اصل خوش ترتیبی
تفاوت با نگارش: 1
| ((اصل خوش ترتیبی)) | | ((اصل خوش ترتیبی)) |
- | مطاب این اصل، اگر S یک مجموعه ناتهی و زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی باشد، مجموعه S عضو ابتدا دارد. |
+ | اصل خوشترتیبی بیان می کند هر زیر مجموعه __ناتهی__ از مجموعه اعداد __طبیعی__ دارای عضو ابتدا یا کچکترین عضو است. به عبارت دیگر: {TEX()} {\phi\ne\ S\subseteq\ N\Rightarrow\exists s_0\in S: \forall s\in S:s_0\le\ s} {TEX} یا به عبارت دیگر وجود دارد {TEX()} {s_0} {TEX} به گونه ای که: {TEX()} {s_0=Min(S)} {TEX} --- با استفاده از اصل وشترتیب نتایج زیر حاصل می شود ه می توان آنها را تعمیمی بر این اصل انست:
__1-__ هر زیر مجموعه ناتهی و از پایین کراندار از مجموعه اعداد صحیح دارای عضو مینیمم(کوچکترین عضو یا عضو ابتدا) است.
^__~~green:@#16:برهان:#@~~__
@#12:فرض می کنیم مجموعه S زیر مجموعه ای ناتهی از مجموعه اعداد صحیح و از پایین کراندار باشد و#@ {TEX()} {\alpha} {TEX} @#12:یک کران پایین آن باشد یعنی:#@{TEX()} {\forall s\in S: \alpha\le\ s} {TEX} />@#12:مجموعه T را به این صورت تعریف می کنیم:#@ {TEX()} {T=\{s\in S: s-\alpha\ +\ 1}\} {TEX} @#12:چون S ناتهی است پس T ناتهی است و بوضوح#@ {TEX()} {T\subseteq\ N} {TEX} @#12:نتیجه اینکه T زیرمجموعه ای ناتهی از مجموعه اعداد طبیعی است و لذا بنا بر اصل خوشترتیبی T دارای عضو مینیممی چون#@ {TEX()} {t_0} {TEX} است.
@#12:حال چون#@ {TEX()} {t_0\in T} {TEX} @#12:پس با توجه به تعریف مجموعه T داریم:#@
{TEX()} {\exists s_0\in S:t_0=s_0-\alpha\ +1} {TEX} @#12:اکنون ادعا می کنیم#@ {TEX()} {s_0=Min(S)} {TEX} @#12:چرا که:#@
{TEX()} {\forall s\in S: s-\alpha\+1\in T} {TEX} __و __ {TEX()} {t_0=Min(T)\Rightarrow\ s-\alpha\ +1\ge\ t_0} {TEX}
@#12:پس:#@{TEX()} {t_0=s_0-\alpha\ +1\Rightarrow \ s_0-\alpha\ +1 \le\ s-\alpha\ +1\Rightarrow \ s_0 \le\ s} {TEX}
@#12:به این ترتیب#@ {TEX()} {s_0} {TEX} @#12:مینیمم S است چون کوچکتر یا مساوی هر عضو دلخواه از S است.#@
@#12:به این ترتیب نشان دادیم S دارای عضو ابتدا یا مینیمم است و حکم ثابت می شود.#@^ /> 2- هر زیر مجموعه ناتهی از بالا کراندار از مجموعه اعداد صحیح دارای عضو ماکزیمم است.
^__~~green:@#16:برهان:#@~~__
@#12:فرض می کنیم مجموعه S زیر مجموعه ای ناتهی و از بالا کرانداری از مجموعه اعدا صحیح باشد. نشان میدهیم S دارای عضو ماکزیمم است یعنی:#@ {TEX()} {\exists s_0\in S;\forall s\in S:s_0\ge\ s } {TEX} @#12:مجموعه T را به این صورت تعریف می کنیم:#@ {TEX()} {T\{-s|s\in S}\} {TEX} @#12:در این صورت چون مجموعه S ناتهی است T نیز ناتهی است و چون S از بالا کراندار است لذا T از پایین کراندار است. همچنین T زیرمجموعه ای از اعداد صحیح است. پس بنا بر مطلب قبل T زیرمجموعه ای ناتهی و از پایین کرانداری از مجموعه اعدا صحیح است و لذا دارای عضو مینیمم است.#@ {TEX()} {\exists t_0\in T;\forall t\in T:t_0\le\ t} {TEX} و @#12:چون#@ {TEX()} {t_0\in T} {TEX} @#12:با توجه به تعریف مجموعه T میتوان نتیجه گرفت:#@ {TEX()} {\exists s_0\in S: -s_0=t_0} {TEX} @#12:حال ادعا می کنیم#@ {TEX()} {s_0} {TEX} @#12:عضو ماکزیمم مجموعه S است چون:#@ {TEX()} {\forall s\in S: -s\in T} {TEX} و چون {TEX()} {t_0} {TEX} @#12:مینیمم عضو مجموعه T است پس:#@ {TEX()} {t_0\le\ -s\Rightarrow\ -s_0\le\ -s\Rightarrow\ s_0\ge\ s} {TEX} @#12:و این نشان می ده برا هر عضو دلخواه s از مجموعه S عضو#@ {TEX()} {s_0} {TEX} @#12:بزرگتر یا مساوی s است پس #@{TEX()} {s_0} {TEX} @#12:ماکزیمم عضو مجموعه S است.#@ @#12:به این ترتیب نشان دادیم مجموعه S دارای عضو ماکزیمم است و حکم ثابت می شود.#@^ --- /> |
| !پیوست مربوطه: | | !پیوست مربوطه: |
- | *((اصل استقراء)) |
+ | *((اصل استقراء ریاضی)) |
| *((تئوری اعداد)) | | *((تئوری اعداد)) |