منو
 صفحه های تصادفی
گیاه شناسی
تفریق ماگمایی
تیره مورد
منصور و شکست دوباره نقشه قتل امام صادق علیه السلام
امارات متحده عربی
دانشکده مهندسی خودرو دانشگاه علم و صنعت
سوکارنو
غزوه بنی قریظه
تفاوت جنگ پیامبر باجنگهای امروزین
شیمی میوگلوبین و هموگلوبین
 کاربر Online
567 کاربر online
تاریخچه ی: استقرا

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-54Lines: 1-62
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 ^@#16: ^@#16:
 !استقرا  !استقرا
 !!مقدمه !!مقدمه
 برای درک مفهوم استقرا به مراحل اثبات یکی از برابری‌های ساده در ریاضیات توجه کنید: برای درک مفهوم استقرا به مراحل اثبات یکی از برابری‌های ساده در ریاضیات توجه کنید:
 مجموع اعداد طبیعی زیر را در نظر بگیرید: مجموع اعداد طبیعی زیر را در نظر بگیرید:
 @@{TEX()} {1=1} {TEX}@@ @@{TEX()} {1=1} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2=3} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2=3} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2+3=6} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2+3=6} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2+3+4=10} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2+3+4=10} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2+3+4+5=15} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2+3+4+5=15} {TEX}@@
 اگر به طور که بخواهیم {TEX()} {1+2+3+\cdots +n} {TEX} را بدست بیاوریم یک راه این است که الگویی از مجموع اعداد بالا بدست آورده و سعی در اثبات آن نمائیم. اگر به طور که بخواهیم {TEX()} {1+2+3+\cdots +n} {TEX} را بدست بیاوریم یک راه این است که الگویی از مجموع اعداد بالا بدست آورده و سعی در اثبات آن نمائیم.
 @@{TEX()} {1=\frac{1\times 2}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {1=\frac{1\times 2}{2}} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2=\frac{2\times 3}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2=\frac{2\times 3}{2}} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2+3=\frac{3\times 4}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2+3=\frac{3\times 4}{2}} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2+3+4=\frac{4\times 5}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2+3+4=\frac{4\times 5}{2}} {TEX}@@
 @@{TEX()} {1+2+3+4+5=\frac{5\times 6}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {1+2+3+4+5=\frac{5\times 6}{2}} {TEX}@@
 و به این ترتیب الگوی {TEX()} {1+2+3+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}} {TEX} را برای مجموعة فوق در نظر می‌گیریم. و به این ترتیب الگوی {TEX()} {1+2+3+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}} {TEX} را برای مجموعة فوق در نظر می‌گیریم.
-این الگو در حقیقت یک گزاره بر روی اعداد طبیعی می‌باشد که می‌توان آن را با {TEX()} {p(n)} {TEX}به معنی {TEX()} {1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}} {TEX} نمایش داد. +این الگو در حقیقت یک گزاره بر روی ((اعداد طبیعی)) می‌باشد که می‌توان آن را با {TEX()} {p(n)} {TEX}به معنی {TEX()} {1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}} {TEX} نمایش داد.
 اگر چه اثبات این الگو به طور مستقیم و بدون کمک به استقرا به سادگی ممکن می‌باشد ولی در حل مسائل ریاضی به دفعات به حدس‌هایی برمی‌خوریم که اثبات آنها می‌تواند مشکل باشد در ایدة استقرا یکی از زیباترین ایده‌های موجود برای کمک به ما می‌باشد. اگر چه اثبات این الگو به طور مستقیم و بدون کمک به استقرا به سادگی ممکن می‌باشد ولی در حل مسائل ریاضی به دفعات به حدس‌هایی برمی‌خوریم که اثبات آنها می‌تواند مشکل باشد در ایدة استقرا یکی از زیباترین ایده‌های موجود برای کمک به ما می‌باشد.
 برای آنکه بیشتر آمادگی ذهنی برای درک استقرا پیدا کنیم به همان مثال مجموع اعداد 1 تا {TEX()} {n} {TEX}می‌رویم، و می‌خواهیم گزارة {TEX()} {p(n)} {TEX}را که گزاره‌ای دربارة عدد {TEX()} {n} {TEX} می‌باشد ثابت کنیم. برای آنکه بیشتر آمادگی ذهنی برای درک استقرا پیدا کنیم به همان مثال مجموع اعداد 1 تا {TEX()} {n} {TEX}می‌رویم، و می‌خواهیم گزارة {TEX()} {p(n)} {TEX}را که گزاره‌ای دربارة عدد {TEX()} {n} {TEX} می‌باشد ثابت کنیم.
-در ایدة استقرا که جلوتر به تعریف دقیق آن می‌پردازیم نخست باید برای nهای کوچک درستی {TEX()} {p(n)} {TEX}را نشان دهیم مانند: +در ایدة استقرا که جلوتر به تعریف دقیق آن می‌پردازیم نخست باید برای {TEX()} {n} {TEX}های کوچک درستی {TEX()} {p(n)} {TEX}را نشان دهیم مانند:
 @@{TEX()} {p(1) : \ 1=\frac{1\times 2}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {p(1) : \ 1=\frac{1\times 2}{2}} {TEX}@@
 @@{TEX()} {p(2) : \ 1+2=\frac{2\times 3}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {p(2) : \ 1+2=\frac{2\times 3}{2}} {TEX}@@
 حال می‌دانیم لااقل برای تعدادی از ابتدای اعداد طبیعی {TEX()} {p(n)} {TEX}درست است. اکنون با فرض آنکه برای{TEX()} {p(k)} {TEX}حکم درست باشد، درستی{TEX()} {p(k+1)} {TEX}را نتیجه می‌گیریم (دقت کنید درستی {TEX()} {p(k)} {TEX} را فرض می‌کنیم. حال می‌دانیم لااقل برای تعدادی از ابتدای اعداد طبیعی {TEX()} {p(n)} {TEX}درست است. اکنون با فرض آنکه برای{TEX()} {p(k)} {TEX}حکم درست باشد، درستی{TEX()} {p(k+1)} {TEX}را نتیجه می‌گیریم (دقت کنید درستی {TEX()} {p(k)} {TEX} را فرض می‌کنیم.
 @@{TEX()} {p(k) : \ 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}} {TEX}@@ @@{TEX()} {p(k) : \ 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}} {TEX}@@
 {TEX()} {p(k+1) : \ 1+2+3+\cdots+k+k+1=(1+2+3+\cdots +k)+k+1=\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}} {TEX} {TEX()} {p(k+1) : \ 1+2+3+\cdots+k+k+1=(1+2+3+\cdots +k)+k+1=\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}} {TEX}
 خوب حال شما بگوئید ما برای چند عدد طبیعی کوچکترین درستی{TEX()} {p(n)} {TEX}را ثابت کرده و با فرض درستی {TEX()} {p(k)} {TEX} درستی {TEX()} {p(k+1)} {TEX}را ثابت کردیم، با این حساب آیا می‌توان گفت که{TEX()} {p(n)} {TEX} برای تمامی اعداد طبیعی برقرار است؟ ! خوب حال شما بگوئید ما برای چند عدد طبیعی کوچکترین درستی{TEX()} {p(n)} {TEX}را ثابت کرده و با فرض درستی {TEX()} {p(k)} {TEX} درستی {TEX()} {p(k+1)} {TEX}را ثابت کردیم، با این حساب آیا می‌توان گفت که{TEX()} {p(n)} {TEX} برای تمامی اعداد طبیعی برقرار است؟ !
 به موضوع بالا فکر کنید چون اگر چه بعداً توضیح داده می‌شود ولی اگر اکنون آن را برای خود تجزیه و تحلیل کنید برای درک مطالب آینده راحت‌تر خواهید بود. به موضوع بالا فکر کنید چون اگر چه بعداً توضیح داده می‌شود ولی اگر اکنون آن را برای خود تجزیه و تحلیل کنید برای درک مطالب آینده راحت‌تر خواهید بود.
 --- ---
 !! چند نماد پرکاربرد !! چند نماد پرکاربرد
-نماد مجموع {TEX()} {(\sum )} {TEX}: از این جا به بعد با مجموع پشت سرهم دنباله‌ای از اعداد سروکار خواهیم داشت. برای نشان دادن مجموع {TEX()} {1+2+\cdots +n} {TEX}از نماد {TEX()} {\sum_{j=1}^n j} {TEX} استفاده می‌کنیم، و این نماد یعنی تابع {TEX()} {j} {TEX} از حداقل مقدار 1 شروع شده و تا حداکثر {TEX()} {n} {TEX}می‌رود و حاصل تمام مقادیر با هم جمع می‌شود. به طور کلی چند نمونه پرکاربرد: +نماد مجموع {TEX()} {(\sum )} {TEX}: از این جا به بعد با مجموع پشت سرهم دنباله‌ای از اعداد سروکار خواهیم داشت. برای نشان دادن مجموع {TEX()} {1+2+\cdots +n} {TEX}از نماد {TEX()} {\sum_{j=1}^n j} {TEX} استفاده می‌کنیم، و این نماد یعنی ((تابع)) {TEX()} {j} {TEX} از حداقل مقدار 1 شروع شده و تا حداکثر {TEX()} {n} {TEX}می‌رود و حاصل تمام مقادیر با هم جمع می‌شود. به طور کلی چند نمونه پرکاربرد:
  {TEX()} {\sum_{i=1}^n i} {TEX} به جای {TEX()} {1+2+\cdots +n} {TEX}  {TEX()} {\sum_{i=1}^n i} {TEX} به جای {TEX()} {1+2+\cdots +n} {TEX}
 {TEX()} {\sum_{i=1}^n i^2} {TEX} به جای{TEX()} {1^2+2^2+\cdots +n^2} {TEX} {TEX()} {\sum_{i=1}^n i^2} {TEX} به جای{TEX()} {1^2+2^2+\cdots +n^2} {TEX}
 {TEX()} {\sum_{i=1}^n i^3} {TEX} به جای {TEX()} {1^3+2^3+\cdots +n^3} {TEX} {TEX()} {\sum_{i=1}^n i^3} {TEX} به جای {TEX()} {1^3+2^3+\cdots +n^3} {TEX}
 و به همین ترتیب … و به همین ترتیب …
 و به طور کلی  و به طور کلی
 از {TEX()} {\sum_{j=1}^n p(j)} {TEX} به جای {TEX()} {p(1)+p(2)+\cdots +p(n)} {TEX} از {TEX()} {\sum_{j=1}^n p(j)} {TEX} به جای {TEX()} {p(1)+p(2)+\cdots +p(n)} {TEX}
 استفاده می‌شود. استفاده می‌شود.
 دقت کنید در نماد {TEX()} {\sum} {TEX} که آن را سیگما بخوانید سه قسمت مهم وجود دارد که در شکل قبل نشان داده شده است. دقت کنید در نماد {TEX()} {\sum} {TEX} که آن را سیگما بخوانید سه قسمت مهم وجود دارد که در شکل قبل نشان داده شده است.
 !!قضیه . !!قضیه .
  می‌توان سیگمای مجموع دو تابع یعنی {TEX()} {\sum_{i=1}^n (A(i)+B(i))} {TEX} را به صورت مجموع دو سیگما هر یک از توابع یعنی {TEX()} {\sum_{i=1}^n A(i)+\sum_{i=1}^n B(i)} {TEX} نوشت.  می‌توان سیگمای مجموع دو تابع یعنی {TEX()} {\sum_{i=1}^n (A(i)+B(i))} {TEX} را به صورت مجموع دو سیگما هر یک از توابع یعنی {TEX()} {\sum_{i=1}^n A(i)+\sum_{i=1}^n B(i)} {TEX} نوشت.
 !!قضیه .  !!قضیه .
  {TEX()} {\sum_{i=1}^n k\times p(i)=k\sum_{i=1}^n p(i)} {TEX} که k عددی ثابت است.  {TEX()} {\sum_{i=1}^n k\times p(i)=k\sum_{i=1}^n p(i)} {TEX} که k عددی ثابت است.
 دو قضیه بالا به راحتی قابل اثبات بوده و از اثبات آنها صرف‌نظر می‌کنیم.  دو قضیه بالا به راحتی قابل اثبات بوده و از اثبات آنها صرف‌نظر می‌کنیم.
 !!نماد حاصل‌ضرب {TEX()} {\prod} {TEX} !!نماد حاصل‌ضرب {TEX()} {\prod} {TEX}
 به طریق مشابه برای حاصل‌ضرب {TEX()} {p(1)\times p(2)\times\cdots\times p(n)} {TEX} داریم: به طریق مشابه برای حاصل‌ضرب {TEX()} {p(1)\times p(2)\times\cdots\times p(n)} {TEX} داریم:
 @@{TEX()} {\prod_{i=1}^n p(i)=p(1)\times p(2)\times\cdots\times p(n)} {TEX}@@ @@{TEX()} {\prod_{i=1}^n p(i)=p(1)\times p(2)\times\cdots\times p(n)} {TEX}@@
 به عنوان نمونه: به عنوان نمونه:
 {TEX()} {\prod_{i=1}^n (i^2+3)} {TEX} به جای {TEX()} {(1^2+3)\times (2^2+3)\times (3^2+3)\times\cdots\times(n^2+3)} {TEX} {TEX()} {\prod_{i=1}^n (i^2+3)} {TEX} به جای {TEX()} {(1^2+3)\times (2^2+3)\times (3^2+3)\times\cdots\times(n^2+3)} {TEX}
 {TEX()} {\prod_{i=1}^5(i+5)} {TEX} به جای{TEX()} {(1+5)\times (2+5)\times (3+5) \times (4+5)\times (5+5)} {TEX} . {TEX()} {\prod_{i=1}^5(i+5)} {TEX} به جای{TEX()} {(1+5)\times (2+5)\times (3+5) \times (4+5)\times (5+5)} {TEX} .
- +---
!پیوندهای خارجی
[http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction]
[http://olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0004.pdf]
---
!همچنین ببینید
*((اصل استقرای ریاضی))
*((تعمیم اولیه اصل استقرا I))
*((تعمیم اولیه اصل استقرا II ))
 #@^ #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 پنج شنبه 16 شهریور 1385 [11:26 ]   3   زینب معزی      جاری 
 پنج شنبه 16 شهریور 1385 [11:25 ]   2   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 24 تیر 1385 [12:32 ]   1   فرید امیرغیاثوند      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..