تاریخچه ی:
تابع
تفاوت با نگارش: 5
| - | در ((ریاضیات))، __تابع__ رابطه ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از ((مجموعهراضی|مجموعه)) ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه های ریاضی به حساب می آید. />مفاهیم تابع، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می شوند.
!تعریف: />
تابع یک قاعده ی است که ورودیهایی را می گید و روجیهایی ه ما می دهد. مثالهایی را ک می کنیم.
*هر خص دارای هشت رنگ مورد لاقه دارد (قرمز نرج زرد، سبز، آبی، بفش، نیلی صورتی) گ مورد علاقه یک تابع اسای ست. برای مثال علی رن قرم را دوست دارد. در حالی ک کیرش رگ بنفش را دوست دارد.در ینا، ورودی یک شخص است ولی خروجی یکی از هشت رنگ است. بید به نکه توجه کرد ک ند شخص می ونند یک نگ را انتخاب کنند.
*یک ن ز طبات تلف یک ساختمان ه می ود. این ن در 2 ثانیه، 2 طبقه را پائین می رود و در 4 ثایه، 8 طبقه را پایین می رود. در اینجا، طبقات به عنوان ورودی تعداد ثانیه ه به عنوان خروجی به حساب می آین.
قاعد تعریف یک تابع ی توند به ویله یک مول، ابطه ی یک دول ساده که ورودیها و خروجیها ا در برار م قرار ی دهد، باش. />در توابع، ورودیها به عنوان ((مغیر)) تاع و خروجیها به عنوان ارزش تابع ناه م شوند.
یک نمونه از توابع، توابعی است که ربط متغیر تابع ا ارزش تابع به رت یک فرمول بیان ی ود. و ارزش تابع از جایگزین مغیر در فرمول بدست می آید.
به عنوان م ابع
::{TEX()} {f(x)=x^2} {TEX}::
بیان می کند که ارزش تابع رابر است مربع هر ی مانند __x__ |
+ |
||در ((ریاضیات)) ، __تابع__ رابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعهای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان میکند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. ((مفهوم تابع|مفاهیم تابع)) ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.||
!تعریف تابع />د ریاضیا ا مکدی ا که رای هر ورودی اده شد ک رجی نصر رد تی می‌کن مکوس این ب را در ری تاب بکر نمی‌ند. ینی د ا یک تا می‌واند برای ند ورودی تمای خروجیهای یکا را یز تولی کند. بای ثل ا ر y=x2 ا ورودیهای 5- و 5 خروجی یکان 25 را ایم داش. در بیان یای تابع اهای است که در عنر اول به وان ودی و عنر دوم به عنوان ی تابع فت ه . |
| - | center>
| + | به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان میکند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند __x__
left>
| | | | | | |
| | | | | | |
| - | {picture file=img/daneshnameh_up/function-pic2.jpg} |
+ | {picture=function-pic2.jpg} |
| | | | |
| | | | |
| | | | | | |
| | + |
|
| | + | در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم. |
| - | !تعریف ریاضی
یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه ای را با اعضای مجموعهای دیگر مرتبط میکند. />تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع، مثالهایی در زیر ذکر می کنیم:
|
+ | فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید میکند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.
!تاریخچه تابع
نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ ((لایب نیتر)) مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط ((لئونارد اویلر)) در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط ((جوزف فوریه)) بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی ((سری فوریه)) دارد.
چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن ((نظریه مجموعه‌ها)) در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.
!ورودی تابع
ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع ((اعداد صحیح)) باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر ((اعداد مختلط|عدد مختلط)) باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر میکند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z
!تعریف روی مجموعه‌ها
یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعهای را با اعضای مجموعهای دیگر مرتبط مکند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:
>
> |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| - | {picture file=img/daneshnameh_up/122.jpg} |
+ | {picture=122.jpg} |
| | | | |
| | | | |
| | | | | |
|
| |
| |
|
| - | *این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است |
+ | این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است |
| |
| |
|
| |
| |
|
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| - | {picture file=img/daneshnameh_up/23.gif} |
+ | {picture=23.gif} |
| | | | |
| | | | |
| | | | | |
|
| |
| |
|
| - | *این رابطه یک __تابع یک به یک__ است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد
/>
/>
|
+ | *این رابطه یک __((تابع یک به یک))__ است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.
!تعریف ساخت یافته تابع
بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعهای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند. |
| | !خواص توابع | | !خواص توابع |
| - | توابع می توانند:
* ((تابع زوج و فرد|زوج یا فرد)) باشند. |
+ | توابع می‌توانند:
* ((توابع زوج و فرد|زوج یا فرد)) باشند. |
| | * ((تابع پیوسته|پیوسته یا ناپیوسته)) باشند. | | * ((تابع پیوسته|پیوسته یا ناپیوسته)) باشند. |
| | * ((تابع حقیقی|حقیقی)) یا ((تابع مختلط|مختلط)) باشند. | | * ((تابع حقیقی|حقیقی)) یا ((تابع مختلط|مختلط)) باشند. |
| | * ((تابع اسکالر|اسکالر)) یا ((تابع برداری|برداری)) باشند. | | * ((تابع اسکالر|اسکالر)) یا ((تابع برداری|برداری)) باشند. |
| | + | !توابع چند متغیره |
| | + | یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال {TEX()} {f(x,y,z)} {TEX} یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به ((قانون جاذبه نیوتن)) اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر {TEX()} {m_1} {TEX} و {TEX()} {m_2} {TEX} و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام {TEX()} {r} {TEX} در آن وجود دارد. |
| - | !توابع چند متغیره:
یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال {TEX()} {f(x,y,z)} {TEX} یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می کنند. از توابع چند متغیره می توان به قانون ((جاذبه)) ((نیوتن)) اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر{TEX()} {m_1} {TEX} و {TEX()} {m_2} {TEX} و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام{TEX()} {r} {TEX} در آن وجود دارد.
r />با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد.
/>
|
+ | ::{TEX()} {F = G\frac{{m_1 \times m_2 }}
{{r^2 }}
} {TEX}:: |
| | + | با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد. |
| | + | !مباحث مرتبط با عنوان |
| | + | *((رابطه)) |
| | + | *((مفهوم تابع)) |
| | + | *((اعمال جبری روی توابع)) |
| | + | *((دامنه توابع)) |
| | + | *((برد توابع)) |
| | + | *((تابع یک به یک و پوشا)) |
| | + | *((توابع زوج و فرد)) |
| | + | *((تابع متناوب)) |
| | + | *((تابع همانی)) |
| | + | *((تابع ثابت)) |
| | + | *((تابع علامت)) |
| | + | *((تابع دیریکله)) |
| | + | *((تابع وارون)) |
| | + | *((ترکیب توابع)) |
| | + | *((توابع مثلثاتی)) |
| | + | *((توابع وارون مثلثاتی)) |
| | + | *((توابع هایپربولیک)) |
| | + | *((تابع زتای ریمان)) |
| | + | *((تابع اتای دیریکله)) |
| | + | *((توابع پله‌ای)) |
| | + | *((توابع پیوسته)) |
| | + | *((توابع تحلیلی)) |
| | + | *((توابع گسسته)) |
| | + | *((حساب دیفرانسیل و انتگرال)) |
| | + | *((دامنه توابع)) |
| | + | *((حد و پیوستگی)) |
| | + | *((مشتق توابع)) |
