گزاره

گزاره (statement) جمله‌ای است خبری که دقیقاً درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد. به این ترتیب جملات امری،پرسشی و عاطفی نمی‌توانند به عنوان یک گزاره تلقی بشوند و بعلاوه همه جملات خبری هم نمی‌توانند گزاره باشند.

به عنوان مثال جمله«37 عددی اول است» یا «2>3» همگی جملات خبری هستند و یک گزاره‌اند ولی جمله‌ خبری «سعدی شاعر خوبی است.» نمی‌تواند یک گزاره تلقی شود چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً معین نمی‌باشد(بر حسب سلیقه تغییر می‌کند). همچنین جملات عاطفی و امری و پرسشی همچون «چه گل زیبایی!» یا «لطفا درب را باز کنید» و یا «آیا 155 بر پنج بخشپذیر است؟» نمی‌توانند یک گزاره باشند چرا که نمی‌توان بر روی آنها ارزش درستی یا نادرستی قرار داد و اساساً ارزش گذاری آنها بی‌معنی خواهد بود.

گزاره را با حروفی همچون ...,p,q,r,s نشان می‌دهیم. هر گزاره درست را با «د» ،«T»، «1» نشان می‌دهیم (T حرف اول کلمه true به معنی "درست" است) و هر گزاره نادرست را با «ن» ،«0» ،«F» نشان می‌دهیم (F حرف اول کلمه false به معنی نادرست است). درستی یا نادرستی یک گزاره را ارزش آن گزاره می‌گوییم. یک گزاره چون p را یک گزاره ساده می‌گوییم و گزاره‌ای را که از ترکیب دو یا چند گزاره بوجود می‌آید گزاره مرکب می‌گوییم. گزاره‌های مرکب را معمولاً با حروف بزرگ انگلیسی چون P,Q,R,S نشان می‌دهیم. در ادامه در مورد ترکیب گزاره ها توضیح داده می‌شود.

• حال به عنوان تمرین می‌خواهیم تعیین کنیم کدام یک از عبارات زیر گزاره هستند:
  • عدد بزرگی است.
  • فصل پاییز دل انگیز است!
  • 4->7-

  • Latex Error:

    {2^{100}+1}
    عددی اول است.

• بررسی عبارت اول: این عبارت یک گزاره نمی‌باشد. چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً مشخص نیست و ممکن است از دیدگاه‌های مختلف درست یا نادرست باشد.
• بررسی عبارت دوم: این عبارت گزاره نمی‌باشد. چرا که اولاً یک جمله عاطفی است(گزاره جمله‌ای خبری است) و همچنین ارزش آن دقیقاً مشخص نیست و بسته به سلیقه افراد می‌تواند درست یا نادرست باشد.
• بررسی عبارت سوم: این عبارت یک گزاره است چرا که یک جمله خبری است و درستی و نادرستی آن کاملاً مشخص است.
• بررسی عبارت چهارم: این عبارت یک گزاره است چرا که درستی و نادرستی آن دقیقاً قابل تعیین است(چگونه؟).

گزاره‌ای را که از شی یا اشیا خاصی خبر دهد گزاره شخصی می‌گوییم و گزاره‌ای که خبری در مورد هر چیز از دسته معینی از اشیا می‌دهد گزاره کلی می‌گوییم. همچنین یک گزاره جزیی یا وجودی گزاره‌ای است که خبر می‌دهد در میان دسته ای از اشیا حداقل یک شی وجود دارد که خاصیتی خاص را دارد.

رابطه بین گزاره‌ها

گزاره‌های هم ارز

دو گزاره ساده یا مرکب P و Q دارای یک ارزش باشند یعنی برای همه حالات منطقی هر دو درست یا نادرست باشند گزاره P را هم ارز منطقی یا به طور ساده هم ارز گزاره Q می‌گوییم و می‌نویسیم:

لازم به توضیح است که دو گزاره که هم ارز منطقی باشند در منطق ریاضی یکسان تلقی خواهند شد. معمولا برای تعیین ارزش و هم ارز بودن دو گزاره از جدولی به نام جدول ارزش(truth table) استفاده می‌کنیم که در ادامه نحوه استفاده از آن را توضیح می‌دهیم.

نقیض گزاره

نقیض یک گزاره، گزاره‌ای است که ارزش آن دقیقاً مخالف ارزش گزاره اولیه باشد.
اگر p یک گزاره باشد آنگاه نقیض p را با نمادهای:،،، نشان می‌دهیم و می‌خوانیم «چنین نیست که p» ، «نه p»، «نقیض p».
لازم به تذکر است که نماد معمول برای نمایش نقیض یک گزاره p~ است و نماد p! در زبان برنامه نویسی کامپیوتر کاربردی فراوان دارد.
پس به این ترتیب نقیض کردن یک گزاره عبارت است ساختن گزاره‌ای جدید که ارزش آن دقیقاً مخالف ارزش گزاره اصلی است و این کار معمولاً با آوردن لفظ «چنین نیست» در ابتدا گزاره اصلی انجام می‌شود. به عنوان مثال نقیض گزاره «7 عددی اول است» به صورت «چنین نیست که 7 عددی اول باشد» یا «7 عددی اول نیست» نوشته می‌شود.

جدول ارزش نقیض یک گزاره نسبت به خود آن گزاره به این صورت است:

مشاهدی می‌کنید در همه حالات منطقی گزاره p~ ارزشی دقیقا مخالف p دارد.
حال می‌خواهیم به عنوان تمرین گزاره‌های زیر را نقیض کنیم:

• 3<7
• .
• پایتخت عراق بغداد است.

• بررسی عبارت اول:

نقیض این گزاره به این صورت است:

• بررسی عبارت دوم:

نقیض این گزاره به این صورت است:

• بررسی عبارت سوم:

نقیض این گزاره به این صورت است:«پایتخت عراق بغداد نیست.»

ترکیب فصلی

اگر p و q دو گزاره باشند گزاره مرکب حاصل از ترکیب دو گزاره با لفظ «یا» را ترکیب فصلی دو گزاره می‌گوییم.
ترکیب فصلی دو گزاره p و q را با نمادهای و p|q و p+q و نشان می‌دهیم و می‌خوانیم «p یا q».

• لازم به توضیح است که نماد معمول برای نمایش ترکیب فصلی دو گزاره است که این نماد از حرف اول کلمه لاتین vel به معنی یا (or) گرفته شده است.

جدول ارزش ترکیب فصلی دو گزاره به این صورت است:

مشاهده می‌کنید که ترکیب فصلی دو گزاره تنها در حالتی نادرست است که هر دو گزاره در ترکیب نادرست باشند و اگر حداقل یکی از آنها درست باشند گزاره در کل درست است.

• به عنوان مثال گزاره «عدد 2 زوج است یا 1 اول است» با وجود نادرست بودن یکی از گزاره‌ها (1 اول است)، گزاره‌ای درست است چون حداقل یکی از گزاره‌ها (عدد 2 زوج است) در ترکیب فصلی درست است ولی گزاره «125 بر دو بخشپذیر است یا پایتخت عراق بیروت است» گزاره‌ای نادرست است چون هر دو گزاره شریک در ترکیب فصلی نادرست می باشند.

توضیح در مورد انواع «یا» در منطق

لازم به توضیح است که آن نوع «یا» که در منطق ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرد با آن نوع «یا» که ما گاهی در زبان عادی استفاده می‌کنیم متفاوت است، لذا برای جلو گیری از ابهام در نوشتار در مورد «یا» توضیحی ارائه می‌دهیم.
به گزاره «من درجه فوق لیسانس یا دکترا را دریافت می‌کنم.» دقت کنید. این گزاره مرکب ترکیب فصلی دو گزاره است و به این معنی است که گوینده امکان دارد هر دو درجه لیسانس و دکترا را دریافت کند که در این صورت امکان درست بودن گزاره اول و گزاره دوم به صورت توام وجود دارد. پس در اینجا در ترکیب فصلی pVq هم p و هم q امکان درست بودن را دارند.
این نوع «یا» همان «یا» است که ما در منطق ریاضی از آن استفاده می‌کنیم و به آن یای منطقی(OR) یا یای شمول(inclusive disjunction) می‌گوییم.

حال به گزاره «پویان در مدرسه است یا در سینما» دقت کنید. در این گزاره مرکب که ترکیبی از دو گزاره «پویان در مدرسه است» و «پویان در سینما است» می‌باشد، امکان درست بودن دو گزاره به صورت توام وجود ندارد، به عبارت دیگر ممکن نیست که پویان در یک لحظه هم در مدرسه و هم در سینما باشد. در اینجا در ترکیب دو گزاره بوسیله «یا» از یای منطقی استفاده نشده است بلکه از نوعی «یا» به نام یای مانع جمع
(exclusive disjunction-XOR) استفاده شده است که آن را معمولا به صورت ترکیب «... یا .... یا» بیان می‌کنند. به عنوان مثال گزاره مورد بحث را می‌توان به این صورت بازنویسی نمود: «پویان یا در مدرسه است یا در سینما».
خلاصه اینکه توجه کنید که یای مانع جمع در منطق ریاضی مورد بحث ما نمی‌باشد و هر کجا که بین دو گزاره لفظ «یا» بیان می‌شود مقصود یای منطقی است و در گزاره pVq امکان درست بودن توام هر دو گزاره وجود دارد.

• لازم به توضیح است که ترکیب فصلی برای چند گزاره هم قابل تعریف است. ترکیب فصلی برای سه گزاره p و q و r به این صورت تعریف می‌شود:
  

همچنین ترکیب فصلی چند گزاره هنگامی درست است که حداقل یکی از آنها درست باشند.

ترکیب عطف

گزاره مرکب از ترکیب دو گزاره بوسیله لفظ «و» را ترکیب عطفی دو گزاره می‌گویند. اگر p و q دو گزاره باشند ترکیب عطفی این دو گزاره را به صورت یانشان می‌دهیم و می‌خوانیم «ترکیب عطفی دو گزاره p و q» یا «p و q».
جدول ارزش ترکیب عطفی دو گزاره به این صورت است:

مشاهده می‌کنید که ترکیب عطفی دو گزاره فقط هنگامی درست است که هر دو گزاره موجود در ترکیب درست باشند.
به عنوان مثال گزاره «2 زوج است و 5 اول» گزاره‌ای است درست ولی گزاره «تهران پایتخت ایران است و بغداد پایتخت یونان است» گزاره ای نادرست چون یکی از گزاره‌های موجود در ترکیب (بغداد پایتخت یونان است) نادرست است.

• لازم به توضیح است که ترکیب عطفی بین گزاره‌ها برای بیش از دو گزاره هم قابل تعریف است. ترکیب عطفی برای سه گزاره p و q و r را به این صورت تعریف می کنیم:
  

به همین ترتیب می‌توان برای چند گزاره هم این ترکیب را به کاربرد. ترکیب عطفی بین چند گزاره فقط هنگامی درست است که هریک از گزاره ها درست باشند.

ترکیب شرطی

اگر p و q دو گزاره باشند، گزاره مرکب حاصل از ترکیب دو گزاره با لفظ «اگر...آنگاه» را گزاره شرطی گزاره p با q می‌گوییم. به این ترتیب گزاره شرطی حاصل از دو گزاره p و q به صورت «اگر p آنگاه q» خواهد بود که در این صورت می‌نویسیم:

در گزاره شرطی فوق p مقدم و q تالی گفته می‌شود. جدول ارزش یک گزاره شرطی به این صورت است:

همانطور که مشاهده می‌کنید یک گزاره شرطی فقط و فقط زمانی نادرست است که تالی آن نادرست باشد. همچنین مشاهده می‌کنید اگر مقدم یک گزاره شرطی نادرست باشد در هر حالت خود گزاره شرطی درست خواهد بود که در این حالت می‌گوییم گزاره شرطی به انتفاء مقدم درست است که این مسئله در اثبات برخی قضایا کاربرد دارد.

به عنوان مثال گزاره «اگر 3>2 آنگاه 2<1» یک گزاره نادرست است و گزاره «رابطه تهی یک تابع است» به انتفاء مقدم درست است(چرا؟).

روش‌های بیان گزاره شرطی

بیان گزاره‌های شرطی در زبانهای طبیعی بسیار متنوع است. گزاره‌های زیر همگی به یک معنی می‌باشند:

• اگر p (آنگاه) q
• هرگاه p (آنگاه) q
• درحالیکه p آنگاه q
• p فقط وقتی که q
• q اگر p
• q به شرط آنکه p
• q در صورتی که p

همچنین بجز این روش‌ها دو روش زیر از اهمیت خاصی برخوردارند که در مورد آنها بیشتر توضیح می‌دهیم:

شرط لازم و شرط کافی

در یک گزاره شرطی، مقدم را شرط کافی برای تالی و تالی را شرط لازم برای مقدم می‌گوییم. بنابراین گزاره «اگر p آنگاه q» را می‌توان به صورت‌های زیر نیز بیان کرد:

• q شرط لازم برای p است.
• شرط لازم برای p آن است که q.
• p شرط کافی برای q است.
• شرط کافی برای q آن است که p.

مثلا گزاره «اگر a>1 آنگاه » را می‌توان به هریک از صورت‌های زیر بیان نمود:

• شرط لازم برای آنکه a>1 آن است که .
• شرط کافی برای آنکه آن است که a>1.
• توجه: گزاره «p مگر آنکه q» هم ارز است با گزاره «اگر q~ آنگاه p». مثلاً گزاره «او را نمی‌بخشم مگر اینکه عذرخواهی کند» را می‌توان به صورت «اگر عذر خواهی نکند اورا نمی‌بخشم» نوشت.

عکس گزاره شرطی

گزاره «اگر q آنگاه p» را عکس گزاره شرطی «اگر p آنگاه q» می‌گوییم. به عبارت دیگر، عکس یک گزاره شرطی، گزاره‌ای است شرطی که مقدم و تالی آن به ترتیب تالی و مقدم گزاره اولیه باشند. مثلاً عکس گزاره «اگر 2>3 آنگاه 1<2» گزاره «اگر 1<2 آنگاه 2>3» می‌باشد که نادرست است. پس مشاهده می‌کنید ممکن است یک گزاره شرطی درست باشد ولی عکش نادرست باشد و بلعکس.

عکس نقیض گزاره شرطی

عکس نقیض یک گزاره شرطی گزاره‌ای است شرطی که مقدم و تالی آن به ترتیب عبارتند از نقیض تالی و نقیض مقدم گزاره اولیه. به عبارت دیگر عکس نقیض گزاره شرطی «اگر p آنگاه q» گزاره «اگر q~ آنگاه p~» می‌باشد. مثلا عکس نقیض گزاره «اگر a فرد است a+1 زوج است» گزاره «اگر a+1 زوج نیست آنگاه a فرد نیست» می‌باشد. باکمی دقت می‌توانید متوجه شوید که عکس نقیض یک گزاره شرطی همواره با خود آن گزاره هم ارز است. این مطلب را می‌توانید در جدول ارزش زیر مشاهده کنید:

مشاهده می‌کنید گزاره شرطی و عکس نقیضش در همه حالات منطقی باهم هم ارز می‌باشند. از این خاصیت در اثبات برخی قضایا استفاده می‌کنیم به این صورت که گاهی برای اثبات یک قضیه شرطی معادلا عکس نقیض آن را اثبات می‌کنیم.

صورت دیگر گزاره شرطی

قبلا گفته شد که یک گزاره شرطی را به صورت نشان می‌دهند. حال قضیه زیر صورتی دیگر را برای گزاره شرطی نشان می‌دهد:
قضیه: گزاره شرطیبا گزارههم ازر است.
برهان:
برای اثبات این مطلب لز جدول ارزش استفاده می‌کنیم:

همانطور که مشاهده می‌کنید در همه حالات منطقی دو گزاره دارای ارزش یکسان می‌‌باشند پس دو گزاره فوق هم‌ارز می‌باشند.
به عنوان مثال گزاره شرطی «اگر باران ببارد زمین خیس می‌شود» را می‌توان به صورت «باران نمی‌بارد یا زمین خیس می‌شود» نوشت.
از این خاصیت برای تعریف نقیض یک گزاره شرطی استفاده می‌شود.

نقیض یک گزاره شرطی

با توجه به قضیه قبل داریم:



به عنوان مثال نقیض گزاره شرطی «اگر باران ببارد زمین خیس می‌شود» را می‌توان به صورت زیر نوشت «باران می‌بارد و زمین خیس نمی‌شود» بیان نمود.

ترکیب دو شرطی

گزاره «اگر p آنگاه q و اگر q آنگاه p» را که ترکیب عطفی گزاره شرطی «اگر p آنگاه q» با عکس خودش است را ترکیب دوشرطی گزاره p با q می‌گوییم و به گزاره‌های p و q مولفه‌های گزاره دوشرطی می‌گوییم. گزاره دو شرطی فوق را به صورت می‌نویسیم و به صورت‌های زیر می خوانیم:

• p اگر وفقط اگر (اگر و تنها اگر) q
• شرط لازم و کافی برای آنکه p آن است که q
• p فقط وقتی که q

پس بنابه تعریف فوق داریم:

همچنین جدول ارزش گزاره دوشرطی به این صورت است:

مشاهده می‌کنید گزاره دوشرطی زمانی درست است که مولفه‌هایش هم ارز باشند.

عکس نقیض گزاره دوشرطی

عکس نقیض گزاره دو شرطی را به صورت تعریف می‌کنیم. مثلاً عکس نقیض گزاره دوشرطی
گزاره و به عبارت دیگر گزاره است که آن را چنین بیان می‌کنیم:
«شرط لازم و کافی باری آنکه a مساوی b نباشد آن است که 2a مساوی 2b نباشد.»
با کمی دقت متوجه می‌شوید عکس نقیض یک گزاره دو شرطی نیز با خودش هم ارز است.

راستگوها، دروغگوها و استلزام منطقی

گزاره مرکب P را راستگو می‌گوییم هرگاه مستقل از مولفه‌های خود همواره درست باشد و به همین ترتیب گزاره مرکب را دروغگو می‌گوییم هرگاه مستقل از مولفه‌هایش نادرست باشد. به عنوان مثال گزاره مرکب یک راستگو و گزاره مرکب یک دروغگو است.
هر گزاره شرطی همواره درست را یک استلزام منطقی می‌گوییم. اگر گزاره یک استلزام منطقی باشد می‌گوییم p مستلزم q است یا q از p لازم می‌آید.
به عنوان مثال گزاره شرطی یک استلزام منطقی است این مطلب را می‌توان به راحتی با استفاده از جدول ارزش نشان داد:

توضیح نمادگذاری

گاهی در نماد گذاری‌ها برای تاکید بیشتر دو نماد متفاوت را برای گزاره‌های شرطی در حالت کلی و گزاره‌ها شرطی درست (استلزام منطقی) به کار می‌برند، به این صورت که یک گزاره شرطی را در حالت کلی چون «اگر p آنگاه q» را به صورت نمایش می دهند و گزاره شرطی درست یا استلزام منطقی را به صورت نشان می‌دهند. البته ما در این مقاله از این روش پیروی نکرده‌ایم و گزاره شرطی را در هر دو صورت با نماد نمایش داده‌ایم.

قضایای گزاره‌ها

در این قسمت به بررسی برخی از قضایا و هم‌ارزی‌های مهم می‌پردازیم و بعضی از آنها را اثبات می‌کنیم:

• نقیض،نقیض یک گزاره شرطی با خود آن گزاره هم ارز است به عبارت دیگر:

اثبات قضیه فوق به سادگی از جدول ارزش گزاره‌ها صورت می‌گیرد.

• ترکیب فصلی دو گزاره خاصیت جابجایی دارد یعنی:
• ترکیب فصلی دو گزاره خاصیت شرکت‌پذیری دارد یعنی:
• F (گزاره نادرست) عامل خنثی در عمل ترکیب فصلی است یعنی برای هر گزاره:
• برای هر گزاره دلخواه چون p داریم:
• برای هر گزاره چون p داریم:
• ترکیب فصلی گزاره‌ها خاصیت خود توانی دارد یعنی:

اثبات قضایای فوق به راحتی با استفاده از جدول ارزش صورت می‌گیرد. به عنوان تمرین سعی در اثبات آنها کنید.

• ترکیب عطفی دو گزاره خاصیت جابجایی دارد:
• ترکیب عطفی گزاره‌ها خاصیت شرکت‌پذیری دارد:
• ترکیب عطفی گزاره‌ها خاصیت خود توانی دارد:
• T عامل خنثی در ترکیب عطفی است، یعنی برای هر گزاره:
• برای هر گزاره مانند p داریم:
• برای هر گزاره مانند p داریم:

چنین عبارات منطقی را اجتماع نقیضین یا تناقض می‌گوییم.

• قاعده زیر موسوم به قانون دمرگان، بیان می‌کند نقیض ترکیب عطفی دو گزاره هم‌ارز است با ترکیب فصلی نقیض‌های آن گزاره‌ها به همین صورت نقیض ترکیب فصلی دو گزاره هم‌ارز است با ترکیب عطفی نقیض‌های آن گزاره‌ها:

درستی این قانون را برای حالت اول بوسیله جدول زیر اثبات می‌کنیم:

• «و» روی «یا» توزیع‌پذیر است، به همین صورت «یا» نیز روی «و» توزیع پذیر است یعنی داریم:

• قوانین زیر به قوانین جذب موسوم می‌باشند:

به عنوان مثال اولین مورد این قانون را اثبات می کنیم یعنی ثابت می‌کنیم

برای اثبات از عبارت سمت چپ شروع می‌کنیم و سعی می‌کنیم به عبارت سمت راست برسیم:

• قوانین زیر به قوانین هم‌پوشانی موسومند:

به عنوان نمونه اولین مورد از این خاصیت یعنی را اثابت می‌کنیم:

• همانطور که گفته شد در مورد ترکیب شرطی داریم
• هر گزاره شرطی به عکس نقیض خود هم‌ارز است:
• 
• قانون عطف مقدمات:

*قیاس ذوالوجهین موجب:

همچنین ببینید

• منطق ریاضی
• رابطه های گزاره‌ها
• دریچه‌های منطقی
• نقض گزاره
• یای منطقی
• یا مانع جمع
• گزاره نما
• سور و گزاه‌های سوری
• گزاره های دو سوری
• قوانین استدلال
• پارادکس
• منطق فازی