منو
 صفحه های تصادفی
عملیات والفجر 8
طبقه بندی سنگهای رسوبی توسط گرابو
کمردرد
ابو نصر خسرو فیروز
عدد طلائی و معماری
سهام
مارکارسیت
عباسیان
گونیا «صورت فلکی»
استحباب انگشتر عقیق
 کاربر Online
740 کاربر online

کاربردهای انتگرال معین

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > حساب دیفرانسیل و انتگرال
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک نظری > ریاضی فیزیک
(cached)

اگر تابع با ضابطه عمومی در فاصله پیوسته و نامنفی باشد اندازه مساحت سطح محصور بین منحنی تابع f و محور x ها و دو خط به معادلات x=a و x=b که عددی معین است از محاسبه انتگرال معین زیر بدست می‌آید: (توجیه کنید می‌گوئیم معین چون کران‌های b,a مشخص و معین می‌باشند)


دقت 1

اگر تمام سطح مورد محاسبه ، زیر محور X ها قرار داشته باشد؛یعنی در فاصله باشد. آن گاه انتگرال عددی منفی است که باید قدر مطلق آن در نظر بگیریم زیرا مقدار مساحت هیچ‌گاه منفی نیست.

دقت 2

هرگاه در فاصله تابع با ضابطه عمومی تغییر علامت دهد، قسمت یا قسمت‌هایی از سطح مورد محاسبه ، در بالا و پایین محور X ها قرار می‌گیرد که در اینصورت باید هر قسمت از سطح را بطور جداگانه محاسبه کنیم و سپس قدر مطلق آنها را با هم جمع کنیم.

محاسبه سطح محصور بین یک خط و یک منحنی یا سطح محصور بین دو منحنی

برای محاسبه سطح محصور بین یک خط با یک منحنی یا دو منحنی ابتدا باید طول‌های نقاط برخورد آنها را از حل دستگاه‌های معادله خط و منحنی یا معادله دو منحنی بدست آوریم و در صورت لزوم عرض نقاط را نیز محاسبه کنیم. سپس سطح مورد نظر را با استفاده از دو روش زیر در فاصله محاسبه می‌کنیم.

روش اول

سطح محصور خط و منحنی یا دو منحنی و محور X ها و دو خط x=b,x=a را بطور جداگانه محاسبه می‌کنیم و سطوح بدست آمده را از هم کم می‌کنیم:




پس داریم:

روش دوم

اگر معادله خط و منحنی و یا دو منحنی دو تابع بصورت زیر باشند.



که در فاصله پیوسته و سطح مورد نظر ، از دستور زیر محاسبه می‌شود.



یعنی ابتدا را محاسبه می‌کنیم: و اگر تابع اولیه را با نشان دهیم سطح مطلوب ، در حالت کلی برابر است با:



( | | علامت قدر مطلق می‌باشد.) بدیهی است که روش دوم در محاسبه سطح محصور بین دو منحنی از ارجحیت برخوردار است.


  • نکته‌ای که باید به آن دقت داشته باشیم این است که هر گاه خواستیم سطح محصور یک منحنی و محور عرض‌ها و دو خط y=b , y=a را محاسبه می‌کنیم باید رابطه را مشخص سازیم و سپس مانند محاسبه سطح محصور بین منحنی به معادله و محور x ها و دو خط x=b , x=a عمل کنیم.

کاربردها

انتگرال معین در بسیاری از مسائل کاربرد دارد که از آن جمله می‌توان مساحت ، حجم حاصل از دوران طول منحنی و تعیین تابع چگالی در احتمال و مسائل مربوط به آنالیز ، مکانیک ، فیزیک ، شیمی و... را نام برد.

محاسبه مساحت نواحی محصور در صفحه در سیستم دکارتی توسط انتگرال‌های دوگانه

تعریف

نخستین مرحله در تعریف مساحت یک ناحیه محصور و بسته ، تقسیم درون آن به خانه‌های کوچک است بنابراین:



بطور مثال برای محاسبه مساحت ناحیه R که ربع اول واقع و به y=x و محدود است از انتگرال دوگانه فوق استفاده می‌کنیم. در این انتگرال حدود تغییرات x,y را بعنوان حدود انتگرال بکار می‌بریم نکته‌ای که باید به آن توجه داشته باشیم این است که حدود انتگرال اول حتما باید عدد باشد.

محاسبه مساحت نواحی محصور در سیستم مختصات قطبی توسط انتگرال‌های دوگانه

گاهی اوقات محاسبه انتگرال دو گانه در سیستم دکارتی با مشکلاتی مواجه می‌شود یا اصلا امکان‌پذیر نیست. مثل محاسبه مساحت ناحیه بین دو دایره و وقتی . در این گونه موارد با یک تغییر متغیر از سیستم دکارتی به سیستم قطبی بصورت زیر براحتی مشکل را حل کنیم.
در انتگرال دکارتی جانشین‌های زیر را انجام می‌دهیم:



باید دقت کنیم که حدود انتگرال را نیز باید تغییر داد و به سیستم قطبی منتقل کرد.

محاسبه مساحت نواحی محصور با تغییر خطی توسط انتگرال دوگانه

فرض می‌کنیم ناحیه G در صفحه UV با معادلات زیر به ناحیه R در صفحه xy تبدیل می‌شود:



به این ترتیب هر تابعی چون را که روی R تعریف می‌شود می‌توان تابعی چون دانست که روی G تعریف می‌شود. به این ترتیب داریم:



عامل که قدر مطلقش در این انتگرال آمده، برابر است با دترمینان:



مباحث مرتبط با عنوان


تعداد بازدید ها: 48812


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..