منو
 کاربر Online
734 کاربر online

محاسبه طول خم توسط انتگرال گیری

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > حساب دیفرانسیل و انتگرال
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک نظری > ریاضی فیزیک
(cached)

مقدمه

طول یک مسیر خمیده در یک صفحه را به همان طریقی تقریب می‌زنیم که طول یک جاده خمیده را روی یک نقشه بکمک خط‌کش برآورد می‌کنیم: طول پاره‌خط‌هایی را که دو سر آنها روی خم است جمع می‌کنیم. این برآورد همواره حدی از دقت دارد که بدقت اندازه‌گیری و تعداد پاره‌خط‌ها بستگی دارد. بکمک حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌توان این کار را بهتر انجام داد زیرا می‌توانیم پاره‌خط‌ها را هر چه بهتر بخواهیم کوچک بگیریم. بطوری که خط شکسته‌ای که از پاره‌خط‌ها پدید می‌آید، هر چه بیشتر بر خم منطبق باشد. با انجام دادن چنین کاری طول‌های این خط‌های شکسته به عددی میل می‌کنند که می‌توان آن را با یک انتگرال محاسبه کرد. که در این مقاله این انتگرال را بدست می‌آوریم.

فرمول اصلی دکارت

فرض می‌کنیم نمودار از x=a خمی ‌باشد که محاسبه طولش مطلوب ماست. این خم را به n قطعه تقسیم و نقاط تقسیم پیاپی را بهم وصل می‌کنیم تا تعدادی پاره‌خط بدست آید. طول یک پاره خط نمونه چون PQ چنین است:



طول خم ار x=a تا x=b را با مجموع زیر تقریب می‌زنیم.



انتظار می‌رود که وقتی تعدادی پاره‌خط‌ها به بی‌نهایت و طول هر یک از آنها به صفر میل کند. تقریب بهتر شود همچنین می‌خواهیم نشان دهیم که مجموع فوق به حدی محاسبه‌پذیر میل می‌کند. فرض می‌کنیم f مشتقی دارد که در هر نقطه از پیوسته است. در این صورت ، بنابه قضیه مقدار میانگین نقطه‌ای مانند روی خم و بین Q,P وجود دارد که در آن مماس بر خم موازی وتر PQ است یعنی


یا

با جانشانی عبارت فوق در مذبور خواهیم داشت:



اکنون مشاهده می‌شود که این مجموع ، انتگرال زیر را تقریب می‌زند.



بنابراین حد مجموع وقتی که تقسیمات ظریفتر می‌شوند برابر با این انتگرال است پس طول خم را از a تا b بصورت انتگرال فوق از a تا b تعریف می‌کنیم. معمولا y' را جای قرار می‌دهند و فرمول انتگرال را ساده‌تر می‌کنند.

تعریف

طول خم بصورت زیر محاسبه می‌شود.



فرمول پارامتری برای محاسبه طول خم

برای محاسبه طول خمی که با معادلات پارامتری مشخص می‌شود فرمول بسیار مفیدی وجود دارد. فرض کنید این معادلات عبارتند از:

و نقطه وقتی که t از a تا b می‌رود دقیقا یک‌بار خم را طی می‌کند. برای تقسیم‌بندی خم ، بجای تقسیم‌بندی محور x ، بازه را تقسیم‌بندی می‌کنیم. فرض کنیم در تقسیم‌بندی ذکر شده، Q,P دو نقطه پیاپی باشند که مختصات آنها عبارت باشد از: و بنابراین طول پاره‌خط PQ را می‌توان بکمک قضیه فیثاغورس چنین محاسبه کرد.



(این فرمول را بزودی ساده می‌کنیم) اگر مشتقات اول h,g موجود و در پیوسته باشند بنابه قضیه مقدار میانگین داریم:




که در آنها مقادیر مناسبی‌اند که بین انتخاب می‌شوند. بنابراین مجموع طول‌های پاره‌خط‌های تقریب‌زننده خم بصورت زیر درمی‌آید.



این مجموع ، مجموع ریمان تابعی نیست زیرا ضرورت ندارد نقاط یکی باشند. اما قضیه‌ای بنام قضیه بلیس (Bliss’s Theorem) ما را مطمئن می‌سازد که مجموع‌ها همگرا هستند و مقدار آنها برابر انتگرال زیر است.



فرمول دیفرانسیلی ساده برای محاسبه طول خم

معمولا رابطه‌ای که در قسمت طول خم پارامتری بیان شد را بجای مشتقات با دیفرانسیل‌ها نمایش می‌دهند. از لحاظ صوری این عمل چنین انجام می‌شود که مشتقات را به صورت خارج‌قسمت‌های دیفرانسیل‌ها در نظر می‌گیرند و dt را بصورت به زیر رادیکال می‌آورند و به این ترتیب دیفرانسیل‌های مخرج را حذف می‌کنند. در نتیجه فرمول طول خم بصورت زیر در می‌آید:



البته قبل از انجام انتگرال‌گیری در رابطه فوق باید dy,dx را بر حسب یکی از متغیرها بیان و حدود مناسبی برای انتگرال‌گیری تعیین کرد. رابطه فوق را باز هم می‌توان کوتاهتر کرد اگر dy,dx را به عنوان دو ضلع مثلث کوچکی را در نظر بگیریم که وتر آن هست: آنگاه ds همان دیفرانسیل طول قوسی است که می‌توان از آن بین حدود مناسبی انتگرال گرفت و طول خم را بدست آورد.

ناپیوستگی

در نقطه‌ای از یک خم که وجود ندارد ممکن است موجود باشد و شاید بتوان با یک یا چند بار استفاده از فرمول زیر طول خم را یافت.



مباحث مرتبط با عنوان



تعداد بازدید ها: 28644


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..