خانه دانشنامه
كاربر مهمان
ورود
چهارشنبه 21 بهمن 1388
|
 |
 |
 |
|
 |
||||
 |
|
|
|
مجموعه(Set)
مفهوم مجموعهنظریه مجموعهها (Set theory) یکی از مهمترین بخش های ریاضیات است که میتوان گفت یکی از ستونهای ریاضیات را تشکیل می دهد و بدون آن تعریف بسیاری از مفاهیم ریاضی غیر ممکن میباشد. پاسخ به این سوال که «مجموعه چیست؟» بسیار دشوار است و اصولاً مجموعه (Set) همانند نقطه و خط از جمله مفاهیم تعریف نشده در ریاضیات است و لذا نمیتوان تعریفی دقیق برای مجموعه بیان نمود. در توصیف یک مجموعه می توان گفت: «دسته ای از اشیای کاملاً مشخص و دو به دو متمایز را که در یک خاصیت مشترک باشند و بتوان با قاطعیت بیان نمود که شی خاصی در این مجموعه موجود است یا نه را مجموعه می گوییم.» به عبارت دیگر در تعیین اعضای یک مجموعه نباید هیچ گونه ابهامی موجود باشد. این نوع توصیف شهودی از یک مجموعه نخستین با توسط جرج کانتور  (1845-1918) (Georg Cantor) که خود نظریه مجموعه ها را در سال 1895 پایه گذاری کرده است، ارائه شده است.
به کلیه اشیایی که مجموعه را تشکیل می دهند عضو (member) یا عنصر (element) آن مجموعه می گویند. در این توصیف از یک مجموعه نکات زیر قابل توجه است:
یک مجموعه را با حروف بزرگ انگلیسی چون...,S,A,B,C و اعضای آن را با حروف کوچک چون...,a,b,c نشان میدهیم. برای نمایش یک مجموعه معمولا اعضای آن را بین دو { } قرار می دهیم مثلا مجموعه اعداد یک تا ده را به این صورت نشان میدهیم: {A={1,2,3 (روشهای دیگر نمایش مجموعه را در ادامه توضیح میدهیم) عضویتهمانطور که گفته شد، اشیایی را که مجموعه را تشکیل میدهند عضو (member) یا عنصر(element) آن مجموعه میگوییم. نماد  برای نمایش عضویت به کار می رود که نباید آن را با حرف اپسیلون یونانی اشتباه گرفت.اگر a عضوی از مجموعه A باشد می نویسیم و میخوانیم «a متعلق به مجموعه A است» یا «مجموعه A شامل عضو a است» و در غیر این صورت برای نقیض این گزاره  مینویسیم که به این معنی است: «a عضو مجموعه A نمیباشد».
توجه کنید که a یک عضو از A محسوب می شود ولی {a} دیگر یک عضو از مجموعه A نمیباشد چرا که {a} دیگر یک مجموعه است و مفهوم آن با a متفاوت است. مجموعه تهی و مرجعمجموعه تهیمجموعه ای که دارای هیچ عضوی نباشد مجموعه تهی (empty set) یا نول (null set) می گوییم و آن را با نماد (فی) یا { } نمایش می دهیم.
توجه کنید که مفهوم یا {} اساساً با  متفاوت است و مجموعه بیانگر مجموعه تهی نمی باشد چرا که خود دارای عضو است.
مجموعه مرجع یا جهانی(عام)در هر مجموعه مورد بحث اعضای مجموعه خود متعلق به مجموعه ای بزرگتر و گسترده تری هستند که به آن مجموعه مرجع یا عالم سخن می گوییم. مثلا در مجموعه {A={a,b,c مجموعه مرجع مجموعه حروف انگلیسی است و یا در مجموعه {1,2,3,4} مجموعه مرجع را می توان مجموعه اعداد طبیعی(یا مجموعه دیگری چون مجموعه اعداد حقیقی) در نظر گرفت. مجموعه مرجع را با نمادهای U,M و یا V نشان میدهند.لازم به تذکر است که گاهی به غلط مجموعه مرجع را به عنوان «مجموعه همه مجموعه ها» تعریف می کنند. در ادامه مطالعه نظریه مجموعه ها متوجه می شویم که مجموعه همه مجموعه ها اساسا وجود ندارد و این تعریف نادرست از مجموعه مرجع باعث تناقض میشود. پس در تعریف مجموعه مرجع باید دقت کرد تا این اشتباه رخ ندهد. نمایش مجموعهها!!نمایش تفضیلی(نمایش با اعضا) در این روش اعضای مجموعه را در بین دو { } قرار میدهیم و به این ترتیب مجموعه مشخص میشود. به عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح بین 2- تا 2 را به این صورت نمایش میدهیم: {A={-2,-1,0,1,2 اما این روش دارای محدودیتهایی است. اول اینکه برای نمایش مجموعههایی با تعداد عضوهای زیاد کارایی کمی دارد و دوم اینکه اصولا برخی مجموعهها را نمیتوان با استفاده از نمایش اعضا مشخص کرد. به عنوان مثال مجموعه اعداد گویا یا حقیقی به این روش قابل نمایش نمیباشند(چرا؟). به این ترتیب به روشهای دیگری برای نمایش مجموعهها نیاز داریم. نمایش توصیفی(با علائم ریاضی)در این روش برای نمایش یک مجموعه خاصیت مشترک بین اعضای مجموعه را بیان میکنیم. اگر (P(x یک گزاره نما در باره x باشد که خاصیتی را در باره x بیان میکند و U مجموعه مرجع (عالم سخن) باشد، مجموعه همه عضوهایی از U که خاصیت (P(x را به عنوان خاصیت مشترک دارند به این صورت نشان داده میشود که خوانده میشود مجموعه xهایی از U به طوری که(به قسمی که) (P(x(یا x خاصیت (P(x را دارا باشد). علامت | به معنی «به طوری که» یا «به قسمی که» است. به عنوان مثال مجموعه {A={-2,-1,0,1,2 را میتوان بهصورت  نشان داد.
در حقیقت اساس این روش اصلی است که در نظریه اصل موضوعی مجموعهها به آن اصل تصریح مجموعهها (axiom of specification of sets)می گویند. نمودار وندر این روش که به آن نمودار اویلر هم گفته میشود از یک نمودار هندسی برای مشخص کردند یک مجموعه استفاده میشود که به نوبه خود دارای اهمیت است و بوسیله آن درک برخی از قضایا و مفاهیم در مورد مجموعهها آسان میشود.در این روش اعضای مجموعه مورد نظر را در داخل یک شکل هندسی بسته (معمولا دایره یا بیضی) قرار میدهیم و در صورت نیاز برای نمایش مجموعه مرجع شکل مورد نظر را داخل یک مستطیل قرار میدهیم. البته گاهی فقط نیاز به نمایش یک مجموعه است و اعضای آن برای ما مهم نمیباشد که در این صورت رسم یک دایره به عنوان یک مجموعه کافی است. به عنوان مثال مجموعه {A={-2,-1,0,1,2 را به صورت زیر نشان میدهیم:  و هرکجا نیاز به نمایش یک مجموعه دلخواه چون A باشد آن را به این صورت نشان میدهیم(M مجموعه مرجع است):  توجه داشته باشید که از نمودار ون نمیتوان به عنوان اثباتی برای قضایای مجموعهها استفاده کرد و این نمودارها تنها می توانند ایده اثبات قضیهای را به ما بدهند و یا فهم مطلب را برای ما آسان کنند. معرفی چند مجموعه مهمبرای برخی از مجموعههای خاص اسامی خاضی بکار میبریم که باید آنها را به خاطر سپرد:
 تساوی دو مجموعهدو مجموعه A و B را برابر میگویند و مینویسند A=B هرگاه عضوهایشان یکی باشد، به عبارت دیگر هر عضو از مجموعه A در B موجود باشد و هر عضو از مجموعه B در A موجود باشد. به بیان ریاضی A=B است اگر وفقط اگر:  با توجه به تعریف فوق از تساوی دو مجموعه دو مجموعه A و B را نامساوی می گوییم و می نویسیم  هرگاه حداقل یک عضو در یکی از این دو مجموعه موجود باشد که به دیگری متعلق نباشد.(نقیض گزاره فوق)
 پاسخ: واضح است که بر طبق تعریف اعضای دو مجموعه باید یکسان باشند که لازم می آید داشته باشیم: {c}={a} و {a,b}={c,d} که از این دو عبارت نتیجه می گیریم که: a=b و c=d اصل گسترشاین اصل بیان میکند، شرط لازم و کافی برای اینکه دو مجموعه A,B باهم برابر باشند این است که هر عضو A، عضو B و هر عضو B، عضو A باشد.زیرمجموعهاگر A و B دو مجموعه باشند، میگوییم A زیرمجموعه (subset) یا جز B است هرگاه هر عضو A در B نیز موجود باشد. در این صورت میگوییم مجموعه A زیرمجموعه یا جز B است یا B یک ابر مجموعه (superset) یا حاوی مجموعه A است. همچنین اگر A زیرمجموعه B باشد و در عین حال B دارای عضوی غیرمتعلق به A باشد میگوییم A یک زیرمجموعه حقیقی (proper subset) یا محض(سره) B است یا B یک ابر مجموعه حقیقی A است. نماد  علامت زیرمجموعه بودن است.
گزاره «A زیرمجموعه B است» را به صورت  نمایش میدهند، همچنین گزاره «B یک ابرمجموعه A است» را به صورت مینویسیم و اگر A یک زیرمجموعه محض B باشد مینویسیم و یا .
از تعریف فوق نتیجه میشود گزاره «A زیرمجموعه B است» معادل است با گزاره زیر:  نقیض گزاره را به صورت نشان میدهیم و معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمیباشد. همچنین اگر A زیرمجموعهای از B باشد، این مطلب را به شکل زیر بوسیله نمودار ون نشان می دهیم:
 با استفاده از مفهوم زیر مجموعه میتوان اصل گسترش را به این صورت بیان کنیم: A=B است اگر و فقط اگر 
برهان: مطابق این اصل A=B است اگر و فقط اگر هر عضو A متعلق به B باشد یا معادلاً و هر عضو B متعلق به A باشد یا معادلاً پس:
 به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعهای از اعداد صحیح میباشد. قضایا
اثبات این قضیه به برهان خلف است.اگر تهی زیرمجموعه مجموعه دلخواه A نباشد(فرض خلف) پس عضوی در مجموعه تهی وجود دارد که متعلق به مجموعه A نمیباشد که این تناقض است چون تهی هیچ عضوی ندارد و لذا تهی زیرمجموعه A است. البته با نگاهی دقیقتر متوجه میشویم این قضیه خود به خود به انتفاع مقدم برقرار است چرا که این قضیه به نوعی بیان میکند اگر A یک مجموعه دلخواه باشد:  که چون مقدم این گزاره شرطی نادرست است پس این گزاره شرطی درست خواهد بود و حکم برقرار است.
اثبات به برهان خلف است. فرض میکنیم A مجموعهای دلخواه باشد و A زیرمجموعه خودش نباشد یعنی  پس عضوی در A هست که متعلق به A نیست که این بوضوح یک تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.
برای اثبات کافی است نشان دهیم هر عضو از مجموعه A به مجموعه C نیز متعلق است. برای این کار یک عضو دلخواه و از این پس در سرتاسر اثبات ثابت را در نظر میگیریم و نشان میدهیم تعلق این عضو به مجموعه A، تعلق به مجموعه C را نیز ایجاب می کند. پس فرض میکنیم x عضوی دلخواه و از این پس ثابتی از مجموعه A باشد. چون A زیرمجموعه B است داریم:  و چون B زیرمجموعه C است خواهیم داشت:  پس x متعلق به مجموعه C نیز میباشد و چون x دلخواه اختیار شده بود داریم  پس:
 مثال: زیرمجموعههای مجموعه  را بنویسید.
پاسخ:  یافتن تعداد زیرمجموعهها
برای یافتن تعداد زیرمجموعههای k عضوی یک مجموعه n عضوی کافی است تعداد حالات ممکن برای انتخاب k عضو از میان n عضو مجموعه را بیابیم و چون در مجموعهها ترتیب اهمیت ندارد تعداد حالات ممکن برابر است با ترکیب k عضو از n عضو یا برابر است با 
واضح است که تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه n عضوی برابر است با تعداد کل زیرمجموعههای تک عضوی بعلاوه تعداد زیرمجموعههای 2 عضوی تا زیرمجموعههای n عضوی بعلاوه یک برای مجموعه تهی. پس بنا به قضیه قبل تعداد کل زیرمجموعههای یک مجموعه n عضوی برابر است با:  که حاصل عبارت فوق برابر است با مجموعه ضرایب بسط دوجملهای نیوتن  که برابر است با:
 مجموعه مجموعهها و مجموعه توانیاگر هر عضو مجموعه A خود یک مجموعه باشد، A را مجموعه مجموعهها یا دستهای از مجموعهها میگوییم. مجموعه توانی: اگر A یک مجموعه باشد آنگاه مجموعه همه زیرمجموعههای مجموعه A را مجموعه توانی (Power set) مجموعه A میگوییم و آن را با  نشان میدهیم. یعنی:
 قضایا
همچنین ببینید |
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
نشان میدهیم.
آنگاه 
برابر است با:
 |
صفحهی اول | دربارهی رشد | ارتباط با رشد | نقشهی رشد |
 |
| آدرس: تهران، خيابان استاد نجاتاللهي، خيابان سپند شرقي، شماره 26، دفتر شبكه رشد. | ||