خانه دانشنامه
كاربر مهمان
ورود
چهارشنبه 21 بهمن 1388
|
 |
 |
 |
|
 |
||||
 |
|
|
|
سری هارمونیک(همساز)
سری هارمونیکسری نامتناهی  را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های  متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.
   است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.
سری هارمونیک متناوبسری  را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از سری تیلر لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با  . همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص از تابع اتای دیریکله(dirichlet eta function ) دانست.
 حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:  پس تساوی فوق برقرار است. در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:  عدد هارمونیکعدد هارمونیک عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد  نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:
حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:  از طرفی با استفاده از تعریف مجموع ریمان و انتگرال معین داریم:  پس خواهیم داشت:  که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم:  پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک به  نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است.
در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:  سری هارمونیک عمومیسری  را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
برهان: برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از آزمون مقایسه حد استفاده می کنیم. به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:   پس سری از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.
بررسی سری هارمونیکاگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری  حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط اویلر  (Euler) به اثبات رسید.
او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت: همچنین او میان تابع زتای ریمان  و اعداد اول p رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام فرمول ضرب اویلر شناخته می شود:
 که مقصود از  ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر:
 پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:  او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است. اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت. او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر  استفاده نمود:
    برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:  پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است. به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری  برابر با (ln(n است.
مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیکبا بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم: مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:        به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود  است!
حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟ شاید باورتان نشود که اگر  جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی  را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک سایت برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار داریم:
 محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از  جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟ جالب است بدانید برای تحقق این امر باید  یا بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله این سری را با هم جمع کرد!!!
مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است:  برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:    بنابراین:     مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد. به عنوان مثال سری  را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری برابر با  است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری یک p-سری است با توان p>1 پس همگرا است!
مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:  حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟ جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است. همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است:  همچنین ببینید
|
تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن 
است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.
 |
صفحهی اول | دربارهی رشد | ارتباط با رشد | نقشهی رشد |
 |
| آدرس: تهران، خيابان استاد نجاتاللهي، خيابان سپند شرقي، شماره 26، دفتر شبكه رشد. | ||