مقدمه
می‌دانیم که یک نقطه از صفحه را می‌توان بوسیله یک
دستگاه مختصات مشخص کرد اینگونه مختصات
به
مختصات دکارتی موسوم هستند که به افتخار ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی
رنه دکارت (974-1028) که این روش را برای مشخص کردن یک نقطه در صفحه کشف کرد نامگذاری شده است. طریقه دیگری برای مشخص کردن محل یک نقطه در صفحه ،
مختصات قطبی است.
تعریف
دو نوع مختصات یعنی دکارتی و قطبی به صورت زیر به یکدیگر قابل تبدیل هستند.
روش کار
برای تعیین مختصات قطبی نقطه‌ای چون
در صفحه ابتدا یک مبدأ
اختیار می‌کنیم و یک محور یا نیم خط یا شعاع نخستین که بر آن بگذرد در نظر می‌گیریم. مختصات نقطه
را به
و
برابر است با فاصله جهت‌دار از
تا
و
، همانند مثلثات ، زاویه
در
مختصات دکارتی را بصورت
در مختصات قطبی نمایش دهیم.
مزیت بزرگی است اگر بتوانیم از مختصات قطبی و دکارتی بطور همزمان استفاده می‌کنیم. برای این منظور ، یک مبدا مشترک انتخاب کرده. جهت مثبت محور
ها را منطبق بر شعاع نخستین و جهت مثبت محور
ها را منطبق بر شعاع
اختیار می‌کنیم، در اینصورت دو نوع مختصاتی در شکل زیر نشان داده شده‌اند با یکدیگر چنین مربوط می‌شوند:
این دو رابطه مقدار
,
را در حالت
r>0 مشخص می‌کنند. البته این روابط برای
r<0 نیز برقرارند، زیرا طبق
قوانین مثلثات می‌دانیم:
بنابراین
های منفی از شعاع
متناظر با
های مثبت از شعاع
.
بدیهی است که هرگاه
، آنگاه
و
مبدأ مختصات می‌باشد. مکان هندسی نقاط
که در شرط
و عدد ثابت صدق کنند دایره به مرکز مبدأ و شعاع
است و وقتی که
از 0 درجه تا 360 درجه تغییر کند نقطه P دایره را یک دور خواهد پیمود. از طرف دیگر اگر
را مقدار ثابتی ، چون
اختیار کرده
را تغییر دهیم مکان هندسی نقطه
خط راستی خواهد بود. این حقیقت که در مختصات قطبی یک نقطه را می‌توان به راههای مختلفی نشان داد، در بعضی موارد دقت بیشترین را ایجاب می‌کند. مثلا با آن که مختصات
در رابطه
صدق نمی‌کند ولی این نقطه بر منحنی نمایش این معادله واقع است، زیرا که همان نقطه را می‌توان بوسیله
نیز نشان داد و این مختصات نقطه در معادله صادق است.
نمودار معادلات قطبی
نمودار معادله‌ای بصورت
تشکیل شده است از کلیه نقاطی که مختصاتشان (بصورتی) در معادله صدق کنند. اکثر اوقات می‌توان از معادله ،
را بطور صریح برحسب
پیدا کرد
با دادن یک مقدار به
و محاسبه مقدار متناظرش برای
می‌توان هرچند نقطه از منحنی را که خواسته شود بدست آورد. بخصوص مطلوب است تعیین نقاطی که در آنها
، Max یا Min است و یا تعیین
در اوقاتی که منحنی بر مبدأ مختصات می‌گذرد البته اگر بگذرد. بسادگی می‌توان بعضی از انواع تقارن را در نمودار منحنی پیدا کرد. مثلا اگر:
- اگر از تبدیل به
در معادله تغییری حاصل نشد منحنی نسبت به مبدأ مختصات متقارن است.
- اگر از تبدیل به
در معادله تغییری حاصل نشد منحنی نسبت به محور ها متقارن است.
- اگر از تبدیل به
در معادله تغییری حاصل نشد منحنی نسبت به محور ها متقارن است.
معادلات قطبی مقاطع مخروطی و منحنی‌های دیگر
روابط مابین مختصات قطبی و دکارتی که درباره عنوان شد ما را قادر می‌سازد تا هر معادله دکارتی را به یک معادله قطبی برای همان منحنی تبدیل کنیم یعنی تنها کاری که باید انجام دهیم جاگذاری
به جای
و
به جای
و تعیین
و
مناسب برای معادله است دقت می‌کنیم ثابت‌ها دیگر روی معادله اولیه به همان شکل قبلی در معادله قطبی ظاهر خواهند شد.
کاربرد
مهمترین و در واقع اصلی‌ترین کاربرد مختصات قطبی در
محاسبه انتگرال‌ها می‌باشد. گاها حل یک انتگرال در مختصات دکارتی مشکل و یا غیر قابل حل است، در اینگونه شرایط با یک تغییر متغیر مناسب می‌توان انتگرال را در مختصات قطبی حل و به جواب مورد نظر رساند.
مباحث مرتبط با عنوان
