منو
 کاربر Online
809 کاربر online

حرکت دورانی

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > سینماتیک حرکت
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک کلاسیک > مکانیک کلاسیک > مکانیک تحلیلی
(cached)

یکی از حرکتهای مهم ، حرکت دورانی است. نمونه‌های بسیاری از این نوع حرکت را هر روز مشاهده می‌‌کنیم. چرخش زمین به دور محور خود نمونه‌ای از حرکت دورانی است. باید توجه داشته باشیم که حرکت بر روی مسیر دایره‌ای ، با دوران یک جسم به دور یک محور تفاوت دارد. هر حرکت دورانی با محور دوران و زاویه دوران مشخص می‌‌شود. زاویه دوران در سرعت زاویه‌ای جسم لحاظ می‌‌شود.

دید کلی

آیا تاکنون چرخی را به حرکت در آورده‌اید؟ چرخ بعد از دوران بالاخره در کجا متوقف می‌شود؟ وقتی چرخ حول یک محور ثابت می‌چرخد، از موقعیت خود خارج نمی‌شود، در این وضعیت چرخ در حالت تعادل انتقالی است، زیرا نیرویی که شما به چرخ وارد کرده با پس زدن کشسانی محور خنثی شده است. نیرویی که شما به چرخ وارد کرده‌اید چرخ را به دوران در آورده است اما آن را جابجا نکرده است. اگر نیروی اصطکاک روی چرخ اثر نمی‌کرد، برای همیشه در حالت دروان باقی می‌ماند. تنها چیزی که باعث کند شدن چرخ و در نهایت توقف چرخ می‌شود اصطکاک محور است. هر جسمی که با سرعت زاویه‌ای ثابت بچرخد در حالت تعادل چرخش است و تا زمانی که چیزی روی آن اثر نکند به چرخش خود ادامه خواهد داد. زمین چندین میلیارد سال است که حول محور خود می‌چرخد و سالها پیش از آن که من و شما فراموش شویم به این کار ادامه خواهد داد.



تصویر

سینماتیک دورانی

جسم صلبی را در نظر بگیرید که حول محوری که بر سطح این جسم عمود است، دوران می‌‌کند. برای سادگی فرض می‌‌کنیم که محور دوران ثابت می‌‌باشد. اگر محل ذره‌ای بر روی جسم در چارچوب مرجع ما معلوم باشد، می‌‌توانیم وضعیت تمامی ‌جسم در حال دوران را در این چارچوب مرجع مشخص کنیم. لذا برای سینماتیک این مسئله ، کافی است که فقط حرکت یک ذره بر روی یک دایره را در نظر بگیریم. اندازه دوران در هر لحظه به وسیله زاویه θ ، زاویه‌ای که موضع زاویه‌ای ذره نسبت به موضع اولیه می‌‌سازد، تعیین می‌‌شود. لذا اگر جهت دوران پاد ساعتگرد را مثبت اختیار کنیم، در نتیجه θ هنگام دوران پاد ساعتگرد افزایش و هنگام دوران ساعتگرد کاهش پیدا می‌‌کند.

دوران جسم صلب

یک جسم صلب جسمی است که شکلش کاملا مشخص است و تغییر نمی‌کند. حرکت دورانی یک جسم صلب ممکن است بدون انتقال باشد، مانند حرکت چرخ ماشین و ممکن است همراه با حرکت انتقالی باشد، مانند حرکت زمین و ماه در فضا و یک گلوله بر روی یک سطح. دو جرم مختلف M1 و M2 که به دو سر میله‌ای نصب شده‌اند و دستگاه حول محور قائم که از نقطه گرانیگاه می‌گذرد در سطح افقی می‌چرخد. حرکت آن منظم است، بدیهی است که اگر دستگاه حول محوری که از گرانیگاه نمی‌گذرد (مثلا حول محوری که از وسط میله می‌گذرد) بچرخد نظم حرکت بهم می‌خورد و به اصطلاح لنگی پیدا می‌کند.

گشتاور نیرو

گشتاور نیرو عاملی است که سبب چرخش جسمی حول یک محور می‌شود، گشتاور نیرو برداری است. اگر اثر آن در خلاف جهت حرکت عقربه ساعت باشد گشتاور مثبت و اگر در جهت حرکت عقربه ساعت باشد گشتاور منفی است. واحد گشتاور نیرو نیوتن است و با ابعاد کار و انرژی یکی است.


فاصله نقطه‌ای واقع بر محور دوران تا نقطه اثر نیرو و نیروی وارده است:

سرعت زاویه‌ای ω

آهنگ تغییرات جابه‌جایی زاویه‌ای ذره (θ) نسبت به زمان به عنوان سرعت زاویه‌ای متوسط تعریف می‌‌شود. در واقع اگر تغییرات زاویه‌ای را با θ∆ و مدت زمان این تغییر را با t∆ نشان دهیم، در این صورت سرعت زاویه‌ای با نسبت θ/∆t∆ برابر است. حال اگر چنانکه از این عبارت هنگامی ‌که t∆ به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم کمیت حاصل سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای خواهد بود. با توجه به تعریف مشتق در واقع می‌‌توان گفت که سرعت زاویه‌ای با مشتق زمانی جابجایی زاویه‌ای θ برابر است. یکای سرعت زاویه‌ای عکس یکای زمان است و معمولا یکاهای آن را رادیان بر ثانیه یا دور بر ثانیه انتخاب می‌‌کنند.

شتاب زاویه‌ای α

اگر سرعت زاویه‌ای تغییر بکند، این تغییر سبب ایجاد شتاب می‌‌گردد. این شتاب ، شتاب زاویه‌ای نام دارد. اگر و به ترتیب سرعتهای زاویه‌ای لحظه‌ای در زمانهای و باشند، در این صورت شتاب زاویه‌ای متوسط که با \bar α نشان می‌‌دهیم، به صورت زیر خواهد بود:



حال اگر از این عبارت هنگامی که t∆ به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم، در این صورت کمیت حاصل را شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای می‌گویند. چون سرعت زاویه‌ای (ω) برای تمام ذرات جسم صلب یکسان است، لذا شتاب زاویه‌ای (α) نیز برای تمام ذرات یکسان خواهد بود. یکای شتاب زاویه‌ای عکس مجذور زمان است و یکاهای آن را معمولا رادیان بر مجذور ثانیه یا دور بر مجذور ثانیه تعریف می‌‌کنند.

زاویه کل چرخش

زاویه کل چرخش یک جسم دوار در زمان معین t به کمک سرعت زاویه‌ای متوسط محاسبه می‌شود، سرعت زاویه‌ای متوسط از رابطه w=(w + w0)/2 بدست می‌آید که زاویه‌ پیموده شده θ = w - t است. در نتیجه:

E=1/2αt2 + w0t نظیر رابطه در حرکت مستقیم الخط است.



تصویر

دینامیک دورانی

وقتی بر یک جسم صلب که می‌تواند حول یک محور ثابت بچرخد گشتاور نیروی معینی اثر کند، جسم شتاب می‌گیرد و سرعت زاویه‌ای آن مرتبا افزایش پیدا می‌کند. جرم کوچک m را که به سرنخی بسته شده است این جسم در اثر گشتاور نیروی که بر صفحه عمود است می‌چرخد و بنا به قاونون دوم نیوتن ، با مقایسه این دو رابطه گشتاور ماند جرم m نسبت به محور دوران بدست می‌آید، نقش گشتاور ماند در حرکت دورانی نظیر نقش m در حرکت خطی است.

انرژی جنبشی دورانی

انرژی جنبشی کل یک جسم صلب که با سرعت زاویه‌ای w حول یک محور ثابت می‌چرخد مساوی با مجموع انرژی جنبشی تمام ذراتی است که این جسم را تشکیل می‌دهند. وقتی گلوله‌ای یا حلقه‌ای روی سطح می‌غلتد انرژی جنبشی کل آن مساوی با مجموع دو انرژی جنبشی دورانی و انتقالی است. زیرا جسم هم به دور مرکز تقارن هندسی خود می‌چرخد و هم این مرکز تقارن در راستای یک خط دارای حرکت انتقالی است.


E = 1/2Iw2 + 1/2mv2

حرکت دورانی یکنواخت

اگر متحرکی بر روی یک دایره ، قوسهای مساوی را در زمانهای مساوی طی کند حرکتش دورانی یکنواخت است. این حرکت ساده‌ترین حرکت دو بعدی است و در عین حال چون حرکت متحرک در زمانهای مساوی بدون کوچکترین تغییری تکرار می‌شود ساده‌ترین حرکت تناوبی هست.

سرعت خطی

اندازه قوس طی شده در هر ثانیه سرعت خطی نامیده می‌شود، سرعت خطی اندازه ثابت بردار سرعت متحرک است که امتداد آن در هر لحظه مماس بر مسیر است و جهت آن همان جهت دوران است، بنابراین سرعت خطی از نظر راستا و جهت دائما در حال تغییر است.

فاز در حرکت تناوبی

فاز عبارت است از زاویه مشخص کننده مکان متحرک بر روی مسیر نسبت به مبدا مکان در هر لحظه ، فاز را با θ نشان می‌دهیم و برحسب رادیان بیان می‌کنیم، فاز در سه حالت بررسی می‌شود.


  • حرکت متحرک در مبدا زمان در مبدا مکان قرار داشته باشد اندازه فاز θ = wt است.

  • هر گاه متحرک در مبدا زمان در نقطه‌ای باشد که شعاع حامل با شعاع حامل مبدا مکان یک زاویه مثبت θ0 بسازد فاز برابر θ= wt + θ0 است. θ0 اندازه فاز در مبدا زمان (فاز اولیه) است. در این حالت می‌گویند متحرک به اندازه θ0 تقدم فاز دارد.

  • هر گاه متحرک در مبدا زمان در نقطه‌ای باشد که شامل حامل با شعاع مبدا ، مکان یک زاویه منفی θ0- بسازد فاز برابر است با θ=wt - θ0 ، در این حالت می‌گویند متحرک به اندازه θ0 تأخیر فاز دارد. تفاوت بین مقادیر فاز در دو حرکت تناوبی اختلاف فاز نامیده می‌شود.



تصویر

معادله حرکت دورانی یکنواخت

اگر مسافت طی شده در هر یک از سه حالت را با S نشان دهیم S= Rθ معادله حرکت دورانی است، در واقع چون مسافت S متناظر با فاز θ است. و با آن نسبت مستقیم دارد، می‌توان هر یک از روابط فاز را در حالت خود معادله این حرکت دانست.

نیروی جانب مرکز

در حرکت دورانی یکنواخت به علت تغییر جهت سرعت و شتاب بوجود می‌آید که راستای آن را در هر لحظه بر شعاع حامل متحرک منطبق و جهت آن همواره متوجه مرکز دایره است. این شتاب را در قلاب سنگ ، کشش ریسمان ، در حرکت ماه به دور زمین نیروی جاذبه زمین بر ماه و در حرکت دایره‌ای اتومبیل در سطح افقی نیروی اصطکاک میان چرخها و زمین بوجود می‌آورد. در تمام این حالتها نیروی بوجود آورنده این شتاب را نیروی جانب مرکز می‌نامند.

مقایسه حرکت دورانی حول محور ثابت و حرکت انتقالی

دوران ذره (یا جسم صلب) حول یک محور ثابت با حرکت انتقالی ذره (یا جسم صلب) در یک امتداد ثابت هم‌خوانی صوری دارد. متغیرهای سینماتیک در حالت اول θ (جابجایی زاویه‌ای) ، ω (سرعت زاویه‌ای) و α (شتاب زاویه‌ای) هستند، اما در حالت دوم x (جابه‌جایی خطی) ، v شتاب خطی) هستند. این کمیتها دو به دو متناظرند. البته اینها از لحاظ یکا با هم اختلاف دارند. هرگاه در حرکت انتقالی محدودیت مربوط به حرکت در امتداد خط راست را حذف کنیم و حالت کلی حرکت سه بعدی را بر روی مسیر منحنی در نظر بگیریم، متغیرهای خطی a ، v ، x به صورت مولفه‌های اسکالر بردارهای سینماتیکی ظاهر می‌‌شوند، اما در صورت حذف محدودیت دوران حول محور ثابت ، متغیرهای سینماتیک دوران به این سادگی به بردار تبدیل نمی‌‌شوند.

با استفاده از تناظری که اشاره شد، به راحتی می‌‌توان معادلات حرکت را در حرکت دورانی حول یک محور ثابت بدست آورد. فقط کافی است متغیرهای سینماتیکی حرکت انتقالی در امتداد ثابت را با متغییرهای سینماتیکی حرکت دورانی جایگزین کنیم.

نمایش برداری کمیتهای دورانی

جابجایی ، سرعت و شتاب خطی کمیتهای برداری هستند. کمیتهای زاویه‌ای متناظر آنها نیز می‌‌توانند بردار باشند، چون علاوه بر بزرگی باید جهتی نیز برای آنها در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر محور دوران ثابت نباشد، در این صورت نمی‌‌توان گفت که کمیتهای α ، ω ، θ باز هم حالت اسکالر دارند، اما نمی‌‌توانیم این کمیتها را بردار تصور کنیم. به عنوان مثال ، جابجایی زاویه‌ای θ نمی‌‌تواند بردار باشد، چون به صورت برداری با هم جمع نمی‌‌شوند. از ریاضیات می‌‌دانیم که حاصل جمع دو بردار خاصیت جابجایی دارد، یعنی وقتی که دو بردار A و B را باهم جمع می‌‌کنیم، فرقی ندارد که A + B بنویسیم یا B + A. در صورتی که در مورد θ که زاویه دوران است، چنین نیست، اما اگر جابجایی زاویه‌ای بینهایت کوچک باشد، می‌‌توان آن را برداری در نظر گرفت.

رابطه سینماتیک خطی و زاویه‌ای

هرگاه جسم صلبی حول یک محور ثابت بچرخد، هر ذره از آن بر روی یک مسیر دایره‌ای حرکت می‌‌کند. لذا می‌‌توانیم حرکت این ذره را با متغیرهای خطی یا متغیرهای زاویه‌ای توصیف کنیم. با استفاده از رابطه میان متغیرهای خطی و زاویه‌ای می‌‌توانیم از توصیف یکی توصیف دیگری را نتیجه بگیریم و اگر سرعت خطی را با v و سرعت زاویه‌ای را با ω و فاصله نقطه مورد نظر از جسم صلب از محور دوران را با r نشان دهیم. در این صورت v = ω r خواهد بود. در حرکت دایره‌ای دو نوع شتاب می‌‌تواند وجود داشته باشد. یکی شتاب مماسی است که از تغییر سرعت خطی v حاصل می‌‌شود و دیگری شتاب زاویه‌ای است که از تغییرات سرعت زاویه‌ای ω بوجود می‌‌آید.

حرکت دورانی حول محوری که حرکت انتقالی دارد.

دوران حول یک محور ثابت حالت خاصی از حرکت دورانی است، اما اگر محور دوران ثابت نباشد، در این صورت شرایط فرق می‌‌کند. به عنوان مثال ، استوانه‌ای که بر روی یک سطح افقی می‌‌غلتد، نمونه‌ای از این نوع حرکت است. حرکت غلتان این جسم را می‌‌توان ترکیبی از حرکتهای انتقالی و دورانی در نظر گرفت. در مورد استوانه در هر لحظه نقطه تماس استوانه و سطح در حال حرکت است، چون جسم نمی‌‌لغزد. بنابراین در این حالت می‌‌توان حرکت را ترکیب حرکت انتقالی مرکز جرم و حرکت دورانی حول محوری که از مرکز جرم می‌‌گذرد، دانست که هم ارز است با یک حرکت دورانی محض با همان سرعت زاویه‌ای حول محوری که از نقطه تماس جسم غلتان می‌‌گذرد.

دوران جسم صلب حول محور دلخواه

در کلی‌ترین حالت دوران جسم صلب حول محوری که ثابت نبوده و حرکت دورانی دارد، مورد بحث قرار می‌‌گیرد. در این حالت برای بررسی حرکت جسم صلب به صورت زیر عمل می‌‌کنیم:

دو سیستم مختصات که یکی در خارج از جسم ثابت بوده و دیگری در روی جسم صلب قرار داشته و به همراه آن می‌‌چرخد، در نظر می‌‌گیریم. سیستم مختصات متصل به جسم را با پریم مشخص می‌‌کنیم. در این صورت سه محور چارچوب ثابت و چارچوب متصل به جسم با هم زاویه می‌‌سازد که این زوایا را زوایای اویلر می‌‌گویند. به بیان دیگر ، می‌‌توان گفت که با سه دوران پی‌درپی به اندازه این زاویه‌ها دو چارچوب پریم‌دار و بدون پریم بر هم منطبق می‌‌شوند.

بنابراین چارچوب برای نشان دادن جهت گیری جسم صلب در فضا نسبت به چارچوب ساکن در نظر گرفته می‌‌شود، اما در مورد جسم صلب می‌‌توان سه محور عمود بر هم چنان انتخاب کرد که حاصلضرب ممانهای اینرسی صفر شوند. لازم به توضیح است ممان اینرسی جسم صلب ، در حالت کلی ، به صورت یک ماتریس خواهد بود که اعضای قطر اصلی ، ممان اینرسی اصلی و سایر عناصر را حاصل‌ضرب ممانهای اینرسی می‌‌گویند. بنابراین چارچوب سومی ‌در نظر گرفته می‌‌شود که سه محور آن محورهای اصلی جسم صلب هستند.

به این ترتیب معادلات حرکت جسم صلب تنظیم می‌‌گردد و در مورد نحوه حرکت و تعادل جسم صلب بحث می‌‌شود. بدیهی است که در این حالت کمیتها به صورت تانسوری در نظر گرفته می‌‌شوند. به عنوان مثال ، اندازه حرکت خطی به صورت L = Iω بیان می‌‌شود که دراین جا I تانسور اینرسی است که نمایش آن به صورت یک ماتریس مربعی است و ω به صورت یک ماتریس ستونی می‌‌باشد. به خاطر پیچیدگیهای ریاضی از ارائه معادلات حرکت خودداری می‌‌شود.

حرکت دورانی با شتاب متغیر

اگر نیروی مؤثر در ایجاد حرکت دورانی در راستای شعاع حامل حرکت نباشد در این صورت حرکت دورانی کند شونده یا تند شونده خواهد بود، در حالی که نیروی در جهتی اثر کند که با پیشرفت متحرک در جهت مثبت دوران مخالف باشد حرکت دورانی کند شونده است.

مباحث مرتبط با عنوان




تعداد بازدید ها: 117746


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..