منو
 صفحه های تصادفی
دانشکده ادبیات و علوم انسانی شهید بهشتی
در شهادت مادر
میکروسکوپ فاز کنتراست
تیره گزنه
سازه های ماکارونی
خط و تقسیم پاره خط
چمن و چمن کاری
ستارگان ثور
ادغام «تجوید»
جهانی بودن اسلام
 کاربر Online
836 کاربر online

توزیع‌های احتمال

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضیات کاربردی > آمار
علوم ریاضی > ریاضی > ریاضیات نوین > احتمال
(cached)

مقدمه

وقتی یک جفت تاس را می‌ریزیم، معمولا فقط مجموع دو شماره‌ای که ظاهر می‌شوند مورد توجه است و نه برآمد هر تاس. وقتی از لامپهای روشنایی که در سطح انبوه تولید می‌شوند نمونه می‌گیریم ممکن است دوام یا میزان روشنایی آنها مورد توجه باشد و نه بهای آنها. تابع توزیع یک متغیر تصادفی چون x به ما این امکان را می‌دهد که مطالعه مان را روی تمام مقادیر حوزه تابع گسترش دهیم و هر آنچه را که می‌خواهیم بدست آوریم.

تعریف

اگر S یک فضای نمونه‌ای با یک اندازه احتمال ، و X یک تابع حقیقی - مقدار باشد که روی عناصر S تعریف شده است، آنگاه X را یک متغیر تصادفی می‌نامیم.



اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد، تابعی که برای هر مقدار x در برد X با f(x) = p(X) = x داده می‌شود، توزیع احتمال X نامیده می‌شود.

شرایط تابع توزیع احتمال

تابعی را می‌توان وقتی و فقط وقتی به عنوان توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته X به کاربرد که مقادیر آن ، (f(x ، در شرایط زیر صادق باشند:
  • برای هر مقدار حوزه تابع: f(x)≥0؛ که در آن مجموع‌یابی روی تمام مقادیر حوزه تابع صورت می‌گیرد. در مسائل زیادی ، دانستن احتمال اینکه مقداری از متغیر تصادفی کوچکتر از یک مقدار حقیقی x یا برابر با آن باشد مورد توجه است. لذا احتمال این را که X مقداری کوچکتر از x یا برابر با آن اختیار کند به صورت (F(x)=P(X≤x می‌نویسیم و این تابع را که برای تمام اعداد حقیقی x تعریف شده است. تابع توزیع یا توزیع تجمعی متغیر تصادفی X می‌نامیم. که در آن:

(F(x) = f(X≤x

(f(t در عبارت بالا مقدار احتمال X به ازای t است. عبارت بالا در شرایطی درست است که X یک متغیر تصادفی گسسته باشد برای حالت پیوسته از انتگرال به جای سیگما استفاده می‌کنیم. تابع توزیع دارای شرایطی است که عبارتند از:


1)F(∞)=1 , F(-∞)=0
2)به ازای هر دو عدد حقیقی b,a اگر aبرای بدست آوردن توزیع احتمال از روی تابع توزیع احتمال کافی است از تابع توزیع نسبت به x مشتق اول بگیرید یا برعکس برای بدست آوردن تابع توزیع احتمال از روی توزیع احتمال کافی است نسبت به x از توزیع احتمال انتگرال بگیریم. این مطالب برای هر دو حالت پیوسته و گسسته صادق است. در بسیاری از موارد با وضعیتهایی روبه‌رو می‌شویم که یک جفت متغیر تصادفی یا چند متغیر تصادفی به طور همزمان روی فضای نمونه‌ای توأم تعریف شده‌اند در این حالت شرایط زیاد تغییر نمی‌کند. در حالت گسسته به تعداد متغیرها سیگار در حالت پیوسته انتگرال خواهیم داشت. در ارتباط با توزیعهای احتمال باید ذکر کنیم که برخی از این توزیعها در نظریه آمار و در کاربردهای آن بصورت بسیار چشمگیری ظاهر می‌شوند. مثل مواقعی که برای ما واجب است بدانیم احتمال پیروزیها در یک مسابقه به چه نحوی تعیین می‌شود. یا اولین پیروزی در x امین امتحان با چه وضعیتی آشکار خواهد شد و ... .

توزیع برنولی

اگر آزمایش دو برآمد داشته باشد "پیروزی" و "شکست" و احتمال آنها به ترتیب θ و θ - 1 باشد آنگاه تعداد پیروزیها یعنی 0 یا 1 ، توزیع برنولی دارد و بصورت نمادی زیر نمایش داده می‌شود:


1 یا 0=xf(x;θ) = θx(1-θ)1 - x

میانگین و واریانس توزیع برنولی به ترتیب θ و θ-1) θ) می‌باشد.

توزیع دوجمله‌ای

احتمال مطلوب برای "x پیروزی در n امتحان" توسط توزیع دو جمله‌ای تأمین می‌گردد که احتمال آن بصورت زیر بدست می‌آید:


میانگین و واریانس توزیع دوجمله ای به ترتیب θn و θ-1)θn) است.

توزیع پواسون

در توزیع دوجمله‌ای هرگاه n بزرگ باشد و θ به سمت صفر میل کند احتمال x پیروزی در n امتحان به توزیع پواسون با پارامتر λ میل می کند که در آن λ=nθ است. میانگین و واریانس توزیع پواسون هر دو با λ برابر است. گر چه توزیع پواسون بصورت شکل حدی توزیع دوجمله‌ای حاصل شده است، ولی کاربردهای فراوانی دارد که شاید در بسیاری از مواقع رابطه مستقیمی با توزیع دوجمله‌ای نداشته باشد. مثلا توزیع پواسون را می‌توان به عنوان مدلی برای تعداد پیروزیهایی که در طول فاصله زمانی مفروض یا در ناحیه مشخصی رخ می‌دهند به کاربرد به شرط آنکه:
1- تعداد پیروزیها در فاصله زمانی یا در ناحیه‌های نامتداخل مستقل باشند.
2- احتمال رخ داد تنها یک پیروزی در هر فاصله زمانی کوتاه یا در هر ناحیه کوچک متناسب با طول فاصله زمانی یا اندازه ناحیه باشد.
3- احتمال رخداد بیش از یک پیروزی در چنین فاصله زمانی کوتاه یا قرار گرفتن در چنین ناحیه ای کوچک ، ناچیز باشد. بنابراین توزیع پواسون می تواند تعداد مطالعات تلفنی اداره ای را در یک ساعت مشخصی ، تعداد خطاهای تایپی را در یک صفحه و ... را به ما بدهد.

توزیع نمایی

برای پیدا کردن تعداد پیروزیها در فاصله زمانی مفروض برای متغیر تصادفی X از توزیع پواسون استفاده کردیم. توزیع نمایی چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته y است که زمان انتظار تا اولین پیروزی را به ما می دهد در این صورت توزیع نمایی با فرض λ=1/θ یا λ=α به شکل زیر در می‌آید:

توزیع نرمال

متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال است اگر و تنها اگر چگالی احتمال آن بصورت زیر باشد:


در تعریف فوق هرگاه 0=μ و 1=σ باشد توزیع نرمال استاندارد نامیده می شود. در توزیع دوجمله‌ای وقتی n ، تعداد امتحانها ، خیلی بزرگ باشد و θ ، احتمال پیروزی در یک تک امتحان نزدیک 2/1 باشد با توزیع نرمال تقریب می‌خورد. با افزایش n این تقریب بهتر خواهد شد. برای توزیع نرمال می‌توان گفت اگر X دارای توزبع نرمال با میانگین μ و انحراف معیار σ باشد، آنگاه نرمال استاندارد است.


  • توزیع نرمال در نقطه μ=x دارای Max نسبی است و در x=μ+σ , x=μ-σ دارای نقاط عطف می‌باشد.

مباحث مرتبط با عنوان


تعداد بازدید ها: 54472


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..