تعریف:
فرض می کنیم تابع f:x→y تابعی دو سویی باشد. همچنین فرض می کنیم y عنصر دلخواهی از مجموعه y باشد. چون f تابعی پوشا، لذا عنصری از X مانند x وجود دارد به طوریکه داریم: f(x)=y
چون f یک به یک نیز می باشد، ان x از X به طور منحصر به فردی به وسیله تعیین میشود،
بنابراین می توان آن را y(Y) نشان داد. به ازای هر y از Y تناظر تابعی مانند g: Y→X را تعریف می کند، که به طور منحصر به فردی به وسیله تابع دو سویی تعییم می شود. تابع g به تابع وارون f موسوم است و معمولا آن را با نماد نشان می دهند.

تابع وارون در حالت کلی

در حالت کلی اگر f(x)=y در این صورت f-1(y)=x و بر عکس، حال با توجه به تابع وارونم به مثال زیر اشاره می کنیم f(x)=x+1 و این که این تابع روی اعضای دامنه به این شکل اثر می کند، که یک واحد به آنها اضافه می کند،
می خواهیم ضابطه وارون تابع را بیابیم، بدیهی است که اگر y=x+1، ضابطه تابع باشد کافی است x را بر حسب y بیابیم. یعنی x=y-1 که این ضابطه ضابطه وارون تابع است، یعنی f(y)-1=y-1 می باشد. اگر طبق این مثال، f={(1,2) , (2,3) , (3,4)}باشد آنگاه ={(2,1) , (3,2) , (4,3)} باشد. یعنی داریم:
f(1)=2 , (2)=1
f(2)=3 , (3)=2
f(3)=4 ,(4)=3
همان طور که ملاحظه میشود دامنه f برابر است با برد f-1 و برد f برابر است یا دامنه f-1.

تابع وارون و یک به یک بودن:

تابع f وارون پذیر است، اگر فقط اگر یک به یک باشد.
اگر بخواهیم نموداری، وضعیت یک تابع وارون پذیر و وارون آن را بررسی کنیم، اولا چون f وارون پذیر است پس یک به یک نیز ات و لذا خطی موازی با محور x ها نمی تواند نمودار f را در بیش از یک نقطه قطعه قطع کند،
از طرفی اگر f(a)=b با توجه به تعریف وارون تابع واضح است که (b)=a، پس از آنجایی که دو نقطه (b,a) , (a,b) نسبت به نیمساز ربع اول و سوم تقارن دارند به راحتی می توان نتیجه گرفت که نمودارها ,f نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه محوری یکدیگرند.
از آنجا که شرط وارون پذیر یک به یک بودن ات یعنی اگر تابع به صورت زوج مرتب تعریف شده باشد که در آن حداقل دریکی از بازه ابتدا و انتهای بازه دو عنصر یکسان باشند در این صورت چون تابع یک به یک نیست پس وارون پذیر نیز نخواهد بود.

• اگر توابع g(y)=x , f(x)=y طوری باشند که توابع مرکب fog , gof به ترتیب توابع همانی بر روی مجموعه های y , x باشند آنگاه داریم:

الف) g,f هر دو توابعی دو سویی اند.
ب) تابع وارون f برابر g وارون g برابر f است.

مباحث مرتبط با عنوان

• وارون پذیری
• تابع پوشا
• توابع مثلثاتی
• توابع مثلثاتی وارون
• تابع لگاریتم طبیعی
• تابع لگاریتم معمولی
• تابع نمایی

منابع

ریاضی عمومی (1)- تالیف: لیدا فرخو- انتشارات دانشگاه پیام نور

• ریاضیات پایه- تالیف: مهندس علی مدنی- مدرسه انتشارات و چاپ دانشگاه تهران
• ریاضیات پیش دانشگاهی- تالیف: S.t.Hu- ترجمه: محمد جلوداری ممقانی- لیدا فرخو- انتشارات دانشگاه پیام نور
• مجله ریاضی برهان- سال هفتم- شماره دوم- پاییز 1376