منو
 کاربر Online
802 کاربر online

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضی محض
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضی محض
(cached)

بزرگترین مقسوم علیه مشترک


مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند.
به عبارت ریاضی: c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است هرگاه c|a و c|b .
مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم:
  • مقسوم علیه‌های 15 = {1,3,5,15}
  • مقسوم علیه‌های 35 = {1,5,7,35}
  • مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از:
  • مقسوم علیه های مشترک 15 و 35 = {1,5}

تعریف

بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد.
به عبارت ریاضی: d بزرگترین مقسوم علیه a و b است هرگاه d|a و d|b و اگر c|a و c|b وآنگاه d>c .

بزرگترین مقسوم علیه مشترک در مثال بالا ، 5 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند:
(15,35)=5

بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت ب.م.م می نویسند.
اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند.

قضایای مربوط:

قضیه 1. این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند:
{S={m,n ε Z| am+bn>0
به این ترتیب می توان ثابت کرد که مینیمم این مجموعه همان بزرگترین مقسوم علیهaوb است.
برهان:در {S={m,n ε Z| am+bn>0 داریم و همچنین S ناتهی است چون:
به این ترتیب اگر a>0 باشد:

و اگر a<0 باشد:

و این نتیجه می دهد S ناتهی است.
لذا بنا بر اصل خوشترتیبی S دارای عضو مینیمم است چون d. یعنی:
پس داریم:
حال نشان می دهیم d برابر بزرگترین مقسوم علیه مشترک aوb است یعنی:
برای این کار باید نشان دهیم:
1)
برهان: a را بر d تقسیم می کنیم: برطبق قضیه الگوریتم تقسیم:
حال نشان می دهیم که r=0 و از آنجا نتیجه میگیریم که d|a. به برهان خلف اگر r مخالف صفر باشد پس r>0 به این ترتیب:
و از طرفی r<d که این با مینیمم بودن d در تناقض است پس فرض خلف باطل و r=0 پس d|a. به طریق مشابه d|b.
2) باید در مرحله دوم نشان دهیم:

برهان:
پس به این ترتیب ثابت شد: مینیمم مجموعه S یعنی d همان بزرگترین مقسوم علیه مشترک aوb است.

قضیه 2. d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و تنها اگر :
الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d.

قضیه 3.اگر a|bc و a,b نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدس نیز معروف است.
قضیه 4. اگر P|ab (عدد P یک عدد اول است)، آنگاه P|a یا P|b .
قضیه 5. اگر c کوچکترین مضرب مشترک و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم:
d*c=ab

لم های مربوط:

لم 1. بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر.
لم 2. ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد:

لم 3. اگر آنگاه : عدد k موجود است به قسمی که
لم 4. اگر
a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c


لم 5. اگر آنگاه


مثال :


مثال1. اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد:
24|(n-1)n(n+1)
جواب:
عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت :
A=3q+r 0≤r<3)

باید ثابت کنیم که حاصلضرب دو عدد زوج متوالی بر 8 تقسیمپذیر است:
:

آنگاه:
حاصلضرب دو عدد متوالی همواره بر 2 بخش پزیر است.پس:



آنگاه:

آنگاه:

آنگاه:


طبق لم 4 داریم:


همچنین ببینید :



تعداد بازدید ها: 54715


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..