خانه دانشنامه
كاربر مهمان
ورود
چهارشنبه 21 بهمن 1388
|
 |
 |
 |
|
 |
||||
 |
|
|
|
انتگرال دو گانههمانطور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف انتگرال توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، به نام انتگرال دو گانه ، رهنمون می کند. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال میباشد، با این تفاوت که در این نوع انتگرال قلمرو در صفحه دو بعدی واقع شده است.
انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلیفرض می کنیم بر ناحیه ی مستطیلی  زیر تعریف شود:
 و فرض می کنیم با شبکه ای از خطوط موازی با محور های  و  پوشیده شده باشد. مساحت هر کدام از این قطعه های کوچک برابر است با : 
این قطعات را شماره گذاری می کنیم و در هر قطعه ای مانند  نقطه ی  را بر می گزینیم و مجموع زیر را تشکیل می دهیم:
 اگر  در سراسر پیوسته یاشد، با کوچک کردن خانه های شبکه یعنی میل دادن  و  به صفر،مجموع مشخص شده در رابطه ی فوق به حدی میل می کند که آن را انتگرال دوگانه ی روی می نامیم.
نماد انتگرال دوگانه عبارت است از :  یا  بنابر این:  قضیه فوبینی (صورت اول):اگر بر ناحیه مستطیلی  پیوسته باشد، داریم:
 قضیه فوبینی (صورت قوی تر):فرض می کنیم روی ناحیه ای چون پیوسته باشد.
 دامنه در انتگرال دو گانهدو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد:
برخی از انواع دامنههای منظم در انتگرال دو گانه
 باشد.
تعویض انتگرال ها ی دوگانهمانند مشتقات جزئی، انتگرال نیز دارای ترتیب است. وقتی انتگرال به صورت  باشد، یعنی باید ابتدا را ثابت فرض کرده و نسبت به متغیر انتگرال گرفت و در مرحله دوم نسبت به انتگرال بگیریم.
چنانچه حدود به صورت  و  باشد میتوانیم در صورت لزوم را بر حسب تابعی از نوشته و حدود را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار دهیم یا:
 و  که در این صورت میتوان نوشت:  ویژگیهای انتگرال دوگانه
انتگرال دوگانه درمختصات قطبیگاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن درمختصات دکارتی است.فرض کنیم ناحیه در مختصات قطبی، بین دو نمودار هموار  و  محدود شده باشد که در آن  باشد در این صورت انتگرال دوگانه را میتوان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد:
 تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبیبرای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی، به جای، و (یا  ) به ترتیب  ،  و (یا  ) قرار داده و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل میکنیم و در نهایت عملیات انتگرال گیری را بر حسب پارامتر های و  انجام می دهیم.
انتگرال سهگانهانتگرال سهگانه در مورد توابع سه متغیره ی حقیقی تعریف میشود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی،  و  است.
در دستگاه ها ی مختصات مختلف، انتگرال سه گانه به صورت زیر نوشته میشود:
 مختصات دکارتی نقطه ی P در فضا باشد. اگر  مختصات قطبی نقطه ی  باشد، آنگاه  را مختصات استوانهی  مینامیم.
رابطه بین مختصات دکارتی، استوانهای و کروی    مباحث مرتبط با عنوانانتگرال نامعینانتگرال معین جدول انتگرال نامعین جدول انتگرال توابع مثلثاتی جدول انتگرال توابع نمایی جدول انتگرال توابع هیپربولیک محاسبه انتگرال به روش سیمپسون جدول انتگرالها |
با این شرط که 
و 
بر 
پیوسته باشد، آنگاه :
با این شرط که 
و 
بر 
پیوسته باشد، آنگاه :
: این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است.
و در صورت تعویض انتگرال گیری میتوان آن را به صورت 
نوشت.
باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع 
در ناحیه 
بعلاوه انتگرال دوگانه تابع 
.
روی ناحیه بسته و محدود 
عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه 
برابر است با حاصلضرب 
.
 |
صفحهی اول | دربارهی رشد | ارتباط با رشد | نقشهی رشد |
 |
| آدرس: تهران، خيابان استاد نجاتاللهي، خيابان سپند شرقي، شماره 26، دفتر شبكه رشد. | ||