منو
 کاربر Online
1167 کاربر online

اصول شمارش

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
(cached)



یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می گیرد. ولی به نظر می رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می شود.
یکایک شمردن محدود به حساب نیست. کاربردهایی نیز در زمینه هایی چون نظریه کدگذاری، حساب احتمالات، و آمار (درریاضیات) و در تحلیل الگوریتمها (در علم کامپیوتر) دارد.

قواعد

مطالعه خود را در ریاضیات گسسته و ترکیباتی با دو اصل اساسی شمارش آغاز می کنیم قاعده های حاصل جمع و حاصل ضرب، بیان این قاعده ها و کاربردهای اولیه آنها نسبتاً ساده به نظر می رسد. هنگام تحلیل مسائل پیچیده تر، غالباً قادریم مساله را به بخشهایی قسمت کنیم که با به کارگیری این اصول اساسی قابل حل است. هدف ما ایجاد قدرت «تجزیه»ی این گونه مسائل و ترکیب راه حلهای جزئی برای رسیدن پاسخ نهایی است. یک راه مناسب برای انجام این امر، تجزیه و تحلیل و حل تعداد زیادی از مسائل گوناگون مربوط به شمردن است. ضمن اینکه تمام مدت باید اصولی را که در راه حلها به کار می روند در نظر داشت. این همان رهیافتی است که ما در اینجا دنبال خواهیم کرد.

اصل اول

اصل نخست شمارش را می توان به صورت زیر بیان کرد:

قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد،آنگاه این یا آنگاه را میتوان به m+n طریق انجام داد.


توجه داشته باشید که وقتی می گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال 1 کتابخانه دانشکده ای کتاب درسی درباره جامعه شناسی و 50 کتاب درسی در باره انسان شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر درباره این یا آن موضوع، می تواند بین 90 = 50 + 40 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد.
مثال 2 قاعده بالا را می توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم کامپیوتر که در هر یک از زمینه ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می تواند هر یک از این 20 کتاب را به دانشجوی علاقه مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است.
مدیر کارخانه ای به منظور اتخاذ تصمیمی درباره توسعه کارخانه، 12 نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست درباره نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است درباره نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا درباره تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می تواند 12 کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می کنیم که او می تواند به 35 = 7 * 5 طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب: اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می نامند.

بنیادهای شمارش


همچنین ببینید:

کاربرد اصول شمارش در فیزیک
قضیه دو جمله ای
تاریخچه اصول شمارش



تعداد بازدید ها: 32185


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..