منو
 کاربر Online
380 کاربر online

کاربردهای فیزیکی انتگرالهای چندگانه

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > حساب دیفرانسیل و انتگرال
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک نظری > ریاضی فیزیک
علوم ریاضی > ریاضی > ریاضی و سایر علوم
(cached)

مقدمه

بنابر نظریه مولکولی ماده ، هر قطعه از یک جسم مجموعه‌ای از مولکولهاست و در نتیجه جرم آن مجموع جرمهای مولکوهای سازنده آن است. ولی اکثر اجسام فیزیکی که به آنها سروکار داریم از تعداد بسیار زیادی مولکول تشکیل شده‌اند و محاسبه مجموع جرمهای این مولکولها حتی توسط کامپیوترهای جدید غیر ممکن است. قبلا در انتگرال یک‌گانه ، با استفاده از انتگرال توابع یک‌متغیره ، جرم ، مرکز جرم و گشتاورها یک ورق مسطحه را که جرم آن بطور یکنواخت یا همگن در سراسر آن توزیع شده باشد، مورد مطالعه قرار دادیم. با استفاده از انتگرالهای دوگانه و سه‌گانه می‌توان این مفاهیم را به اجسام ناهمگن مسطحه و فضایی تعمیم داد.

جرم یک ورق مسطحه

فرض کنیم جرم جسم در سراسر R توزیع شده است. در اینصورت تابع چگالی که توسط تعریف می‌شود در R پیوسته (و مثبت) است و در نتیجه


جرم یک جسم فضایی

فرض کنیم یک جسم فضایی به ناحیه D محدود باشد. اگر جرم جسم در سراسر آن به طور یکنواخت توزیع شده باشد، تابع چگالی در D پیوسته (و مثبت) می‌شود. در نتیجه داریم



گشتاور (اول) و مرکز جرم ورق مسطحه

اگر ورق مسطحه R را افراز کنیم، آنگاه گشتاور (دقیقتر بگوییم، گشتاور اول) نقطه نسبت به محور x برابر است با . بنابراین ، گشتاور R نسبت به محور x برابر است با



به همین ترتیب ، گشتاور R نسبت به محور y برابر است با



در نتیجه ، مرکز جرم ورق مسطحه R به جرم m ، نقطه است، که در آن



گشتاور دوم (یا ماند) ورق مسطحه

گشتاورهای دوم یا گشتاورهای ماند ورق مسطحه R حول محورهای y,x به ترتیب برابرند با




به همین ترتیب ، گشتاور R نسبت به مبدا مختصات یا گشتاور قطبی R برابر است با



ملاحظه می‌کنیم که . توجه کنید که چون مثبت هستند. پس گشتاورهای دوم یک جسم همواره مثبت اند. در حالی که این مطلب در مورد گشتاورهای اول صادق نیست.

گشتاور (اول) و مرکز جرم یک جسم فضایی

فرض کنیم چگالی هر نقطه یک جسم محدود به ناحیه فضایی D برابر است با . در اینصورت گشتاورهای (اول) این جسم حول صفحه‌های xy ، xz و yz به ترتیب برابرند با





اگر m نمایش جرم این جسم باشد، مختصات مرکز جرم آن عبارتند از





گشتاور ماند یک جسم فضایی

گشتاورهای دوم یک جسم محدود به ناحیه فضایی D حول محورهای z,y,x به ترتیب برابرند با





مباحث مرتبط با عنوان


تعداد بازدید ها: 26527


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..