منو
 کاربر Online
1114 کاربر online

کاربردهای انتگرال I

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فیزیك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب فیزیك مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


كاربردهای انتگرال


در دو بخش گذشته با مفهوم انتگرال و شیوه‌های گرفتن آن آشنا شدید. حال موقع آن است كه از ابزار ریاضی استفاده كنیم. اگر یادتان باشد گفتیم فرض كنید می‌خواهیم جمع زیر را حساب كنیم:
فرض كنید بدانیم كه تابعی مانندوجود دارد كهآنگاه
و از تعریف مشتق خواهیم داشت:
پس
( در سیگما چندان مهم نیست.)----------------
كه به معنای جمع همه تغییرات اتفاق افتاده در است از (اولیه) تا (نهایی) كه قطعاً خواهد بود:
كل
پس:
در مسائلمان ما باید بتوانیم محاسباتمان به فرم انتگرال در بیاوریم. مثال ساده آن مساحت زیر نمودار تابعاست.


مثال



مساحت دایره را با انتگرال بنویسید و بدست آورید.
حل.
img/daneshnameh_up/0/07/mph0083a.gif
مساحت دایره در برابر نیمدایره است. می‌دانیم معادله دایره:
برای نیمه بالایی:
مساحت برابر است با:
یعنی جمع مساحت تمام مستطیلهایی به قاعده و ارتفاع.
به فرم انتگرالی خواهد شد:
برای محاسبه این انتگرال باید از روش جانشینی مثلثاتی استفاده كنیم. امّا ببینیم می‌توانیم این مساحت را بگونه دیگری بنویسیم.
اگر بخواهیم مساحت را برحسب زاویه بنویسیم نتیجه ساده‌تر خواهد بود.
اگر دایره را قطاع قطاع كنیم آنگاه
img/daneshnameh_up/3/32/mph0083b.gif
مساحت هر قطاع
خوبی حالت حدی آن است كه محاسبات امكانپذیر می‌شود زیرا، مطابق شكل مساحت هر قطاع به زاویه رأس برابر است با:
كه مساحت قسمت هاشور خورده است.
img/daneshnameh_up/8/8e/mph0083c.gif
در موقع حدگیری:
امّا طول كمان دایره مقابل زاویه است یعنی
واضح است كهیعنی اختلاف نسبت به مساحت به صفر می‌رود پس:
كه همان عددی است كه محیط دایره برابر برابر آنست و ما حالا رابطه آن را با مساحت دایره بدست آوریم.
اگر بخواهیم از روش قبلی استفاده می‌كردیم:
كه همان نتیجه قبلی است.


مثال



می‌دانیم كه طبق قانون كولن در الكتریسیته ساكن، دو بار اگر در فاصله از یكدیگر باشد نیروی را بر هم وارد می‌كنند. فرض كنید میله‌ای به طولداریم كه بار بطور یكنواخت روی آن توزیع شده است. بار نقطه‌ای را در امتداد آن به فاصله از سر آن قرار می‌دهیم به میله چه نیرویی وارد می‌كند؟
حل
این یك مثال كاملاً كاربردی در فیزیك از انتگرال است. كافی است كه میله را قطعه قطعه كنیم و آنقدر قطعات را كوچك كنیم كه مانند بار نقطه‌ای شوند.
img/daneshnameh_up/c/cd/mph0083d.gif
اگر قطعه دارای بار باشد آنگاه نیروی بین این تكه و بار نقطه‌ای خواهد بود.
كه فاصله از است. علت آنكه این نیرو را گذاشتیم بخاطر آن است كه نیروی كل برابر جمع تمام این نیروهاست یعنی:
img/daneshnameh_up/9/92/mph0083e.gif
از آنجا كه چگالی میله یكنواخت است.
جالب آن است كه اگربرود یعنی میله به نقطه تبدیل شود نیروی یك بار نقطه بدست خواهد ‌آمد.
در مثال گذشته برای اولین بار یك چیز نه چندان بدیهی را به فرم انتگرال در آوردیم و با استفاده از قضیه اساسی انتگرال را حساب كردیم. آنچه مهم است آنست كه بتوانیم جمعهای مناسبی بنویسیم و مسئله را به انتگرال تبدیل كنیم.


مثال


اگر جسمی با دمای اولیه در محیطی با دمای قرار گیرد طبیعتاً برای آنكه به دمای محیط برسد سردتر یا گرمتر می‌شودبدون آنكه دمای محیط چندان تغییر كند. امّا آهنگ این تغییر دما طبق قانون تجربی‌ بفرم زیر است:
یعنی اگر در لحظه‌ای دمای آن باشد آهنگ تغییر دمای آنمتناسب است با منفی اختلاف دمای آن با محیط. از نظر شهودی پیداست كه آنوقت یعنی با زمان دما می‌خواهد كم شود و وقتیآنوقت یعنی با زمان دما می‌خواهد زیاد شود. پس این معادله می‌توان مدل خوبی برای بر همكنش جسم ما با محیط از نظر تبادل گرمایی بدون عوامل خارجی دیگر باشد.
حال را برحسب زمان بدست آورید با فرض آنكه در ابتدا.
حل
قبل از آن به معادله نگاهی دیگر بیندازیم اگر در زمانی بشود آنوقت یعنی از آن به بعد دیگر دما تغییر نخواهد كرد. پس اگر وقتی به برسد دیگر در تعادل دمایی (طبق معادله) خواهد رسید كه این هم با تجارب ما همخوانی دارد.
امّا زمانی كه طبق معادله و بحثی كه شد همواره با یك نوا (علامت شیب) به سمت می‌رود یعنی اگر همواره به سمت افزایش می‌یابد یا آنكه همواره به سمت كاهش می‌یابد تا در زمان تعادل این دو برابر شوند و بمانند.
از معادله چیز دیگری كه پیداست آن است كه برای اختلاف دماهای بیشتر مقدار اندازه شیب بیشتر است تا آنكه در حالت تعادل صفر می‌شود. پس نمودارهای نوعی مسئله ما باید بفرم زیر باشند.
img/daneshnameh_up/b/b0/mph0083f.gif
حال معادله را چگونه حل كنیم:
می‌دانیم انتگرال سمت چپ خواهد بود.
از بحثهایی كه شد پیداست كه
img/daneshnameh_up/a/af/mph0083g.gif
پس از آنجا كه تابع معكوس، است:
اگر به جواب دقت كنید می‌بینید كه برای لحظه صفر:
امّا زمان تعادل چه وقتی است؟
از آنجا كه است وقتی می‌شود كه صفر شود یعنی. یعنی زمانهای خیلی دور. (در اصل هیچ وقت)
اگر بخواهیم بدانیم در زمان بطور نسبی چقدر به نزدیك شده رابطه زیر مناسب است:
حال اگر زمانرا اینگونه تعریف كنیم:
زمانی است كه اگر سپری شود مقدار نسبت فوق
خواهد شد. پس یك راه اندازه‌گیری، اندازه‌گیری یعنی مدت زمانی است كه فاصله دما تا دمای تعادل نسبت به فاصله اولیه‌اش،‌ باشد.


مثال


طبق رابطه نیوتن كه جرم و نیروی وارد بر جسم است. فرض كنید جسمی با سرعت اولیه در محیطی وارد شود كه به آن مقاومت اصطكاكیوارد شود. سرعت و مكان آن را برحسب زمان بدست آورید.
حل.
بدیهی است كه حالت نهایی خواهد بود یعنی اصطكاك جسم را متوقف می‌كند.
این بار همان زمان رسیدن به سرعتی ثابت یعنی حالت تعادل بینهایت است. امّا برای مكان خواهیم داشت:
می‌بینید كه در موقع تعادل مكان جسم هم بینهایت دور است.
یكی از كاربردهای انتگرال در تعریفی مناسب برای میانگین كمیات است.
فرض كنید تعدادی میله به طولهای مختلف و جرمهای مختلفداریم كه هر میله‌ای دارای چگالی جرمی طولیاست و این چگالی در تمام میله یكنواخت است. حال فرض كنید بخواهیم میله به طول (مجموع طول میله‌ها) و جرم(مجموع جرم میله‌ها) بسازیم بطوریكه از جنسی با چگالی یكنواخت باشد. مقدار این چگالی طولی چه خواهد بود؟
واضح است كه
img/daneshnameh_up/5/5c/mph0083h.gif
اگر بنویسیم آنگاه
این را می‌توان میانگین كمیت تعریف كرد یعنی آن چگالی است كه اگر كل طولها با آن ساخته شود جرم كل را به ما می‌دهد. .
حال فرض كنید جای چند میله، یك میله داریم منتها چگالی نقاط مختلف آن با هم فرق دارد. یعنی. با این حساب جرم قطعه‌ای به طول بر روی میله در مكان خواهد بود:
img/daneshnameh_up/b/b0/mph0083i.gif
بنظرتان در اینجا میانگین را چگونه تعریف كنیم؟
در اینجا است. پس تعریف مناسب برای مثلاً میانگین تابعدر بازه می‌تواند باشد:



پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0040.pdf



تعداد بازدید ها: 23632


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..