منو
 صفحه های تصادفی
اطلاعات دارویی
لزوم همراهی با حضرت علی علیه السلام
اسم اعظم
سخنان امام حسین علیه السلام در ورود به کربلا
موضعی بودن رکوردها
ظروف نگهداری عسل
مصحف امام علی علیه السلام
سرعت واکنش
قضیه تالس
غزوه الکدر
 کاربر Online
345 کاربر online

کاربردهای اعداد مختلط

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضیات کاربردی > آمار
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک نظری > ریاضی فیزیک
علوم ریاضی > ریاضی > حساب و جبر > نظریه اعداد
(cached)

مقدمه

اعداد مختلط هنوز هم درنظر برخی با شک آمیخته با ترس همراه است. ولی درنظر ریاضیدانان امروزی این دستگاه صرفا گسترش مجموعه بنیاد ساده‌ای از اعداد حقیقی است. همیلتون (Hamilton) ریاضیدان قرن نوزدهم گسترشی برای اعداد مختلط پیدا کرد و آن را چهارگانها نامید. ماهیت ریاضیات جدید چنان است که باید دید خود را وسیعتر کنیم و به دستگاههایی اصل موضوعی بپردازیم که بافتهای ریاضی مفیدتری را بدست دهند. مفهوم عدد چیزی جز قسمتی از این برای کلی نیست. جبر جدید یا دستگاههایی اصل موضوعی سروکار دارد که ، بطور کلی متشکل از مجموعه‌هایی است همراه با عملهای مختلفی روی آن مجموعه‌ها. دوتا از این دستگاهها عبارتند از حلقه و میدان. اگر بخواهیم پا را از اعداد مختلط فراتر نهیم، مسیر پربار راه چهارگانهای همیلتون نیست بلکه مسیر ساختهای جبری تقسیم یافته جبر جدید است.

تعریف

هر عدد مختلط توسط عبارت مشخص می‌شود که نقطه‌ای از صفحه را مشخص می‌کند در هر عدد مختلط ا قسمت حقیقی و (ضریب ) را قسمت موهومی عدد می نامیم. در تعریف عدد مختلط این حقیقت را می‌پذیریم که

Latex Error:

{(i)
2 = -1}
است و به این ترتیب مشکل جذر اعداد منفی مرتفع می‌گردد.

دورنمای تاریخی

در دنیای مالی بدهکار و بستانکار امروزی اعداد منفی جزئی از زندگی روزمره شده‌اند. جالبتر آن عرضه اعداد مختلط است. لایبنیتز می‌دانست که مربع هر عدد مثبت یا منفی ، عددی است مثبت. اگر ریشه دوم منهای یک باشد. پس نمی‌تواند عددی مثبت یا منفی باشد. لایبنیتز معتقد بود که را باید عددی بسیار مرموز تلقی کرد: عددی که نه کوچکتر از صفر است و نه بزرگتر از صفر. این امر به سردرگمی بسیاری منجر شد و اعداد مختلط را با سوء‌ظن همراه نمود. در اوایل قرن 16 اشتیاق فراوانی برای حل معادلات جبری وجود داشت و از آن جمله بود پیداکردن دو عدد که مجموعشان ده و حاصل‌ضرب آنها 4 باشد با نمادگذاری و حل امروزی جوابی که برای پیدا می‌شود عبارت است از

Latex Error:

{5 \pm \sqrt{-15}}
. اویلر ریاضی‌دان قرن 18 نماد را برای معرفی نمود.

نحوه ساختن اعداد مختلط

فرض کنیم

Latex Error:

{\no C}
نام دیگری برای ، مجموعه زوج‌های مرتب به ازای باشد، جمع و ضرب را روی

Latex Error:

{\no C}
به صورت جمع و ضرب بصورت مولفه‌های نظیربه‌نظیر خواهیم داشت به آسانی ثابت می‌شود که

Latex Error:

{\no C}
تحت این عمل‌ها میدانی است که صفر آن و

Latex Error:

{(1,0)}
یکه آن است. قرینه

Latex Error:

{(-x,-y) , (x,y)}
و اگر

Latex Error:

{(x,y) \ne (0,0)}
وارون ضربی آن

Latex Error:

{(\frac{x}{x
2 + y
2} , \frac{-y}{x
2 + y
2})}
است.


تابع را با

Latex Error:

{f(x)=(x,0)}
تعریف می‌کنیم که جمع و ضرب آن قابل تعریف است تابع بوضوح یک‌به‌یک است و لذا یک یکریختی میدانهاست؛ از بر روی زیر میدان

Latex Error:

{f(R) \mathbb \no C}
. این زیر میدان

Latex Error:

{f(R)}
چیزی جز محور حقیقی توصیف آرگان ریاضی‌دان فرانسوی برای عدد مختلط نیست. طبق معمول را با توجه به یکریختی فوق بعنوان زیرمجموعه از

Latex Error:

{\no C}
تلقی می‌کنیم. بدین معنی که اعداد حقیقی را بعنوان محور حقیقی صفحه مختلط را درنظر می‌گیریم و نماد را به جای

Latex Error:

{(x,0)}
بکار می‌بریم. را زوج مرتب تعریف می‌کنیم و لذا داریم:


Latex Error:

{i
2 = (0,1)
2 = (-1,0)}

بنابراین با درنظر گرفتن

Latex Error:

{(-1,0)}
بعنوان عدد حقیقی -1 داریم:

Latex Error:

{i
2 = -1}
و بطور کلی خواهیم داشت:


Latex Error:

{(x,0) + (0,1)(y,0) = (x,0) + (0,y) = (x,y)}

اگر

Latex Error:

{(y,0) , (x,0)}
را به ترتیب با از عوض کنیم، عبارت فوق بیان می‌کند که


Latex Error:

{x+iy = (x,y)}

"عدد مختلط" نام دیگری برای زوج مرتب است.

راه آینده

درس آنالیز اساسا مطالعه صوری حد ، مشتق و انتگرال است برپایه اصول موضوع اعداد حقیقی. ابتدا توابع

Latex Error:

{f: D \rightarrow R}
که در آن

Latex Error:

{D \mathbb R}
، درنظر گرفته می‌شود. سپس می‌پردازند به توابع

Latex Error:

{f: D \rightarrow R
m}
با شرط

Latex Error:

{D \mathbb R
n}
.
آنالیز مختلط ، توابع مشتق‌پذیر

Latex Error:

{f: D \rightarrow \no C}
را که در آن

Latex Error:

{D \mathbb \no C}
مورد مطالعه قرار می‌دهد. در قرن اخیر هندسه بوسیله ساختهای جبری تسخیر شده، البته زبان هندسی همچنان محفوظ مانده است تا ویژگی مورد انتظار از موضوع سلب نشود. منشا توپولوژی را می‌توان در مفهوم فضای متریک جستجو کرد. این فضا به بیان ساده مجموعه‌ای است چون با تابعی مانند

Latex Error:

{d: M \times M \rightarrow R}
بطوریکه

Latex Error:

{d(x,y)}
رفتاری شبیه به "تابع فاصله‌ای" بین داشته باشد. که در

Latex Error:

{ R}
، می‌توانیم

Latex Error:

{d(x,y)=|x-y|}
را تعریف کنیم.
اکنون ساختهای جبری و کاربردهای آن در زمینه‌های فیزیک ، مهندسی ، زیست‌شناسی ، شیمی ، اقتصاد ، آمار ، کامپیوتر کاربردهای جدید در علوم اقتصادی و اجتماعی و رواشناسی مورد توجه است. بطوری که بر روی سکوی پرتاب ایستاده‌ایم و آماده جهش به حوزه‌های بالاتر از اندیشه ریاضیات هستیم.

کاربردها

تئوری کنترل

در تئوری کنترل معمولا سیستمها از فضای زمان توسط تبدیل لاپلاس به فضای دیگری انتقال پیدا می کنند که در این فضا ، معادلات دیفرانسیل بصورت جبری بیان می‌شوند.

پردازش سیگنال

اعداد مختلط برای پردازش سیگنالها به عنوان یک تعریف واضح از سیگنالهای با تغییرات نوسانی استفاده می‌شود. اندازه Z برای تعریف دامنه و آرگومان آن برای تعریف فاز یک موج سینوسی با فرکانس معلوم استفاده می‌شود. اگر آنالیز فوریه برای نوشتن مقدار خطی یک سیگنال مشخص به صورت مجموع توابع تناوبی استفاده شود، این توابع تناوبی اغلب به شکل جزء حقیقی توابع مختلط نوشته می‌شوند.

مکانیک کوانتوم

اهمیت اعداد مختلط در مکانیک کوانتوم بخاطر این است که این تئوری بر اساس فضای بینهایت بعدی هیلبرت (Hilbert) پایه گذاری شده است.

تئوری نسبیت

در نسبیت عام و خاص می توان با موهومی گرفتن بعضی متغیرها در فضای زمانی به روابط ساده‌تری رسید.

معادلات دیفرانسیل

در معادلات دیفرانسیل معمول است که ابتدا ریشه‌های مختلط r برای معادله ساختاری مربوط به یک معادله دیفرانسیل خطی را پیدا کرد و سپس در حل سیستم ، از تابع اساسی استفاده کرد.

مکانیک کلاسیک

از توابع مختلط برای حل جریان پتانسیل دو بعدی استفاده می‌شود.

مباحث مرتبط با عنوان

منبع

مبانی ریاضیات- ترجمه محمدمهدی ابراهیمی

تعداد بازدید ها: 75873


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..