دید کلی

تابعی مانند که بتوان نمودار آن را در هر بازه‌ای از دامنه‌اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد، مثالی از یک تابع پیوسته است. ارتفاع نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با تغییر می‌کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع ، حتی در نقاط انتهایی مقدار تابع حد مقادیر تابع در نزدیکی آن نقطه است. به طور کلی می‌توان گفت در توابع پیوسته حد تابع در هر نقطه با مقدار تابع در آن نقطه برابر و یکسان می‌باشد.

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون در یک نقطه داخلی از دامنه‌اش ، مانند C پیوسته است اگر:

پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه‌اش مانند پیوسته است اگر:




تابعی چون در یک نقطه انتهایی راست از دامنه‌اش مانند b ، پیوسته است اگر:

تابع پیوسته

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه‌اش پیوسته باشد.

ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون در نقطه‌ای مانند پیوسته نباشد گوئیم که در ناپیوسته است و را یک نقطه ناپیوستگی می‌خوانیم.

آزمون پیوستگی

تابع در پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر همزمان صادق باشند:

1. وجود داشته باشد ( در دامنه است).
   
   
2. زمانی که وجود داشته باشد وقتی دارای حد باشد).
   
   
3. وقتی که (این حد برابر با مقدار تابع باشد).

در آزمون پیوستگی ، اگر یک نقطه داخلی دامنه باشد حد مورد نظر دو طرفه است و اگر یک نقطه انتهایی دامنه باشد، حد مذبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ و راست) است.

به خاطر داشته باشیم:

• تابع جز صحیح به ازای هر عدد صحیح ناپیوسته است. این تابع به ازای هیچ عدد صحیح به حدی میل نمی‌کند و بنابراین در قسمت (2) ی آزمون پیوستگی به ازای هیچ عدد صحیحی صدق نمی‌کند.
  
  
• دومین موردی که باید به خاطر داشته باشیم این است که توابع سینوسی و کسینوسی در هر نقطه پیوسته‌اند.
• هر چند جمله‌ای که به صورت است پیوسته می‌باشد.
• هر خارج قسمت از چند جمله‌ای پیوسته است به غیر از ریشه‌های مخرج ، یعنی اعدادی که مخرج را مساوی صفر می‌کنند.
  
  
• اگر توابع و در پیوسته باشند آنگاه ، ، ، (به ازای هر ) و به شرطی که در نقطه پیوسته هستند. به عبارت دیگر حدهای توابع مذکور وقتی وجود دارند و برابر با مقادیر تابع در هستند.
  
  
• توابع مشتق پذیر نیز پیوسته هستند به عبارت بهتر اگر تابعی در نقطه‌ای چون مشتق پذیر باشد، در این نقطه پیوسته هم هست. این موضوع یک قضیه یک طرفه است، زیرا عکس موضوع صادق نیست.
  
  
• ترکیب توابع پیوسته ، پیوسته است. هرگاه در و در پیوسته باشد آنگاه تابع مرکب در پیوسته است.

کاربردها

توابع پیوسته ویژگیهای مهمی دارند. آیا تا کنون از خود پرسیده‌اید که چرا بخش اعظمی از مطالبی که می‌خوانیم به حد به پیوستگی مربوط است یا اصلا چرا توابع پیوسته را مطالعه می‌کنیم؟ پاسخ به این سوال با کمی دقت و کنجکاوی بسیار ساده است. توابع پیوسته را به این دلیل مطالعه می‌کنیم چون در ریاضیات کاربردی و رشته‌های کاربردی مفیدند و از اهمیت به سزایی برخورداند. هر تابع پیوسته ، مشتق تابع دیگری است، مثلا اگر فرمولی مانند برای سرعت یک جسم متحرک به عنوان تابع پیوسته‌ای از زمان در دست باشد، با استفاده از آن می‌توانیم فرمولی چون (S(t برای مکان جسم در هر لحظه بدست آوریم. تابعی که در هر نقطه بازه بسته پیوسته است، در این بازه مقدار Min و Max خود را می‌گیرد.

یکی از کاربردهای توابع پیوسته قضیه مقدار میانی است. به این معنی که اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد و عددی بین و باشد، آنگاه دست کم یک نقطه بین و وجود دارد که در آن نقطه ، مقدار را اختیار کند. نتایج این قضیه در ترسیم توابع و پیدا کردن ریشه بسیار حائز اهمیت است. به عبارت دیگر اگر تابعی پیوسته و و وجود داشته و مختلف العلامت باشند، آنگاه یک عدد بین و وجود دارد به طوری که به ازای آن نقطه یعنی ، آنگاه معادله دست کم یک جواب در بازه باز دارد.

گسترش پیوستگی

گاهی دامنه یک تابع را گسترش می‌دهیم تا نقاط پیوستگی بیشتری را در بر گیرد. اگر نقطه‌ای باشد که در آنجا تعریف نشده باشد، ولی




وجود داشته باشد، می‌توانیم را به عنوان مقدار این حد تعریف کنیم و به این ترتیب دامنه پیوستگی را گسترش داده‌ایم. تابع گسترش یافته خود به خود پیوسته است، زیرا وجود دارد و برابر وقتی که است.

پیوستگی در یک بازه

• تابع در بازه عضو دامنه وقتی پیوسته گوئیم که در هر که در این بازه است پیوسته باشد.
  
  
• تابع را در بازه (a,b] وقتی پیوسته گوئیم که:
  
  

1. در هر در بازه پیوسته باشد.
2. در پیوستگی راست داشته باشد.
   
   

• تابع را در بازه پیوسته گوئیم هرگاه:
  
  

1. در هر در بازه پیوسته باشد.
2. در پیوستگی چپ داشته باشد.

مباحث مرتبط با عنوان

• تابع
• حساب دیفرانسیل و انتگرال
• قضیه مقدار میانگین
• مشتق
• مشتق پذیری
• معادلات دیفرانسیل

---

• مطلب از: آیدا سلیم نژاد