منو
 کاربر Online
891 کاربر online

همریختی

چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضی محض





همومورفیسم:
فرض کنید و دو گروه باشند و یک تابع باشد . را یک همومورفیسم می نامیم ، اگر :

هستۀ :
مجموعه را که با نمایش می دهیم ، هسته می نامیم.
قضیه :
فرض کنید یک همومورفیسم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1 . اگر ، آنگاه مجموعه زیرگروه است.
2 . اگر ، آنگاه مجموعه زیرگروه است.
3 . اگر ، آنگاه
4 . زیرگروه نرمال و زیرگروه نرمال است.
5 . اگر پوشا و باشد ، آنگاه
اثبات:
1 . میدانیم .زیرا لذا برای هر ثابت میکنیم :
اما :

بنابراین :

2 . می دانیم . زیرا و بنابراین و در نتیجه
اما بدیهی است
حال فرض می کنیم دلخواه باشند ، در این صورت ، آنگاه :

بنابراین و در نتیجه
3 . فرض می کنیم عناصر دلخواه باشند . ثابت می کنیم :

که در این صورت خواهد شد.
چون لذا که یک همومورفیسم است .
از اینکه ، عنصر دلخواه است ، نتیجه میشود است. چون لذا طبق تعریف :

4 . طبق 2 و3 بدیهی است .
5 . برای هر کافیست نشان دهیم :

که در این صورت خواهد شد.
اما چون پوشا است ، بنابراین برای ، عنصری مانند وجود دارد که . با توجه به اینکه ، در نتیجه خواهد شد . پس . یعنی :

قضیه :
فرض کنید یک همو مورفیسم است . آنگاه یک به یک است ، اگر و فقط اگر که عضو خنثی است .
اثبات:
ابتدا فرض می کنیم یک همومورفیسم یک به یک ( مونومورفیسم) است و عنصر دلخواه و عنصر خنثی باشد .لذا :

اما یک به یک است ، لذا :

حال فرض می کنیم وبرای داشته باشیم . آنگاه :

یعنی یک به یک است.
قضیه اساسی هموموفیسم :
فرض کنید دو گروه ضربی و یک همومورفیسم باشد ، آنگاه وهمچنین .
اثبات :
ابتدا را در نظر می گیریم.
فرض میکنیم با ضابطۀ زیر مفروض باشد . ثابت می کنیم ، ایزومورفیسم است :

اما خوشتعریف است . چرا که :

بنابراین با توجه به همومورفیسم بودن داریم :

اما همومورفیسم نیز می باشد . زیرا :

اکنون به بررسی خاصیت یک به یک بودن می پردازیم:

حال نشان میدهیم پوشا نیز می باشد:

با توجه به مطالب بالا ، یک ایزومورفیسم است و .




تعداد بازدید ها: 17400


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..