منو
 صفحه های تصادفی
فیلم های مهم سینمای جهان
علت اینکه بلافاصله پس از تشکیل حکومت، شاه اسماعیل به تعادل نیروهای ترک و تاجیک پرداخت چه بود ؟
دین در روم باستان
بازار کار
آسیبهای شیمیایی چشم
امتیاز نظامی روس ها در دوره ناصرالدین شاه
سیستم حسابداری
دانشکده علوم پایه دانشگاه فردوسی مشهد
ترس و اضطراب همگانی
آزمایش اتاق مه
 کاربر Online
477 کاربر online

نظریه طبیعی مجموعه‌ها

چاپ
علوم ریاضی > ریاضی
علوم ریاضی > ریاضی > تاریخ ریاضی
علوم ریاضی
علوم ریاضی > ریاضی > حساب و جبر

نظریه طبیعی مجموعه‌ها(Naive set thoety)




مقدمه


عبارت نظریه طبیعی مجموعه‌ها(Naive set theory)، که نباید آن را با نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (Axiomatic set theory) اشتباه گرفت، در سال‌های حدود 1940 گه ‌گاه مورد استفاده قرار می گرفت و در سال 1950 رسماً مورد استفاده قرار گرفت. در ریاضیات محض(Abstract mathematics)، نظریه طبیعی مجموعه‌ها اولین پیشرفت و گسترش در نظریه مجموعه ها (set thoery) است، که بعدها به صورت دقیق تر در قالب نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (axiomatic set theory) بیان شد.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها بر پایه یک درک غیر رسمی و بی قاعده از مفهوم مجموعه به عنوان گردایه ای از اشیا
(که عنــصر (element) یا عضو (member) گفته می شوند) استوار بود، در حالی که نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها تنها از واقعیت‌هایی در مورد مجموعه‌ها و عضویت استفاده می‌کرد که از طریق یک سری اصول موضوع (axiom) تعریف شده قابل اثبات بودند، که این اصول موضوع از درک ما از مفهوم «دسته(گردایه یا مجموعه) ای از اشیا و اعضایشان» نتیجه شده اند و یکی از اهداف تنظیم این اصول (نه تمام هدف آنها) دوری از پارادکس‌هایی است در این زمینه مطرح شده اند
بود، چرا که نظریه طبیعی مجموعه ها در آغاز کار خود با پارادکس های متعددی از جمله پارادکس معروف راسل مواجه شد.
در ریاضیات مجموعه‌ها بسیار اهمیت داردند؛ در واقع در ریاضیات جدید، بخش عمده ای از ابزارهای ریاضی (اعداد،رابطه ها،توابع و غیره) بر پایه مجموعه ها تعریف شده اند.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها


نظریه طبیعی مجموعه‌ها (naive set theory) در اواخر قرن نوزدهم بوسیله جرج کانتورتصویر پایه گذاری شد تا به ریاضیدانان اجازه دهد که با مجموعه‌های نامتناهی کار کنند. نتیجه چنین نظریه‌ای این بود که می‌توان بر روی مجموعه‌ها هر عملی را بدون محدودیت انجام داد یا هر مجموعه‌ای را بدون محدودیت در نظر گرفت که این ما را به سوی پارادکس هایی چون پارادکس راسل سوق می دهد.
در حقیقت در ادامه گسترش این نظریه این سوال برای ریاضیدانان پیش آمد که آیا واقعا چیزهایی که ما به عنوان مجموعه در نظر می‌گیریم، مجموعه هستند؟ چه چیزی را می‌توان به عنوان مجموعه در نظر گرفت و چه چیزی را نمی‌توان؟ معیار ما برای اینکه بگوییم یک شی ریاضی مجموعه است یا نه چیست؟
در جواب به این پرسش‌های اساسی، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (axiomatic set theory) گسترش یافت که
در آن تعدادی اصل موضوع مطرح می‌شود و سایر نتیجه‌گیری‌ها و قضایای موجود بر اساس این اصول استخراج می‌شوند و به طور دقیق معلوم می‌شود که چه اعمالی را می‌توان در مجموعه‌ها انجام داد و چه چیزی را می‌توان به عنوان یک مجموعه در نظر گرفت.
امروزه وقتی ریاضیدانان از نظریه مجموعه ها به عنوان یک شاخه ریاضیات صحبت می کنند، به صورت معمول منظور آنها نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها است. در استفاده های غیر رسمی از نظریه مجموعه ها در رشته های دیگر، معمولا از نظریه طبیعی مجموعه‌ها استفاده می شود.

البته لازم به توضیح است که بعضی‌ها معتقدند که نظریه مجموعه‌های جرج کانتور(Georg Cantor) عملا در گیر پارادکسها نمی‌شود که خود مطلبی قابل بحث است. او از برخی از این پارادکس‌ها آگاه بود ولی آنها را بیان نکرد چرا که معتقد بود این پارادکس‌ها نظریه مجموعه‌های او را بی‌اعتبار می‌سازد. اطمینان در مورد این مطلب دشوار است چرا که او اصل موضوع یا قاعده‌ای را بیان نکرده است. فرگهتصویر به صورت صریح یک نظریه اصل موضوعی و با قاعده ارائه داد که می توان آن را به عنوان شکل فرمول بندی شده نظریه طبیعی مجموعه‌ها دانست که این همان تئوری فرمول بندی شده است که برتراند راسل هنگامی که پارادکس خود(پارادکس راسل) را بیان کرد به این تئوری استناد کرد.

مطالعه مجموعه‌ها از دیدگاه طبیعی (یا به عبارت دیگر مطالعه به صورت غیر صوری) به منظور بررسی و گسترس کاربردهای مجموعه‌ها و امکاناتی که برای کار به ما در ریاضیات می دهند بسیار مفید است. بعلاوه دانستن مفاهیم نظریه مجموعه‌ها از دیدگاه طبیعی به عنوان قدم اول در فهم نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها، دارای اهمیت است.
در نظریه طبیعی مجموعه‌ها و مطالعه مجموعه‌ها به صورت طبیعی، به اینکه واقعا مفهوم مجموعه چیست و چه اصول موضوعی برای آن می‌توان تعریف کرد کاری نداریم و فرض می‌کنید فردی که مجموعه ها را به صورت طبیعی مطالعه می‌کند یک درک معمولی و شهودی(و قالبا نادرست) از مجموعه‌ها را داراست، و در اینجا هدف از تشریح نظریه توصیف کارهایی است که با مجموعه‌ها به عنوان یک ابزار ریاضی می‌توان انجام داد. همانند خط و نقطه در هندسه که ما از آنها تعریفی ارائه نمی‌دهیم و به بررسی کارهایی که با این ابزارها می توان انجام داد می پردازیم.

در انتها به این نکته توجه کنید که نظریه طبیعی مجموعه ها (naive set theory) همواره به نظریه ناسازگار فرگه یا کانتور اطلاق نمی‌شود. این نظریه می‌تواند به نظریه مجموعه‌ها به صورت غیر رسمی و دقیق اشاره داشته باشد، مانند کتاب معروف پل ریچارد هالموس (Halmos)، «نظریه طبیعی مجموعه‌ها» که در آن مقداری به بیان غیر رسمی نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها پرداخته است. ما در اینجا سعی می‌کنیم به اصول موضوعی که در زمینه مجموعه‌ها بیان شده اند هم اشاره کنیم و در مواقع لازم شما را به آنها ارجاع دهیم.

مجموعه‌ها، عضویت و تساوی


در نظریه طبیعی مجموعه ها، مجموعه به عنوان یک دسته از اشیا مشخص توصیف می شوند. به این اشیا که مجموعه را تشکیل می دهند اعضا(members) یا عناصر(elements) مجموعه می‌گوییم. عضوهای مجموعه می‌توانند هر چیزی باشند: اعداد، افراد جامعه،مجموعه‌ها و ... . به عنوان مثال عدد 4 یک عضو از مجموعه اعداد صحیح است. بوضوح مجموعه اعداد زوج مجموعه ای بزرگ و نا متناهی است؛ که این نشان میدهد نیازی نیست که مجموعه متناهی باشد(تعداد متناهی عضو اشته باشد).
اگر x یک شی متعلق به مجموعه دلخواه A باشد می گوییم «مجموعه A شامل عضو x است» یا «x متعلق به مجموعه A است.» در این صورت می نویسیم که نماد تعلق یا عضویت است(membership) که از حرف اپسیلون یونانی گرفته شده و بوسیله پئانو(Peano) معرفی شده است. اگر x عضوی از مجموعه A نباشد می‌نویسم .
دو مجموعه مفروض A و B باهم برابر هستند هرگاه دقیقا عضوهایشان یکسان باشد. به بیان دیگر هر عضو دلخواه در مجموعه A در مجموعه B باشد و هر عضو دلخواه در B در مجموعه A موجود باشد.(متناظر با این تعریف اصل موضوع گسترش در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها موجود است موجود است).
بنابراین مجموعه به صورت کامل با اعضایش مشخص می‌شود. به عنوان مثال مجموعه اعداد 2,3,5 با مجموعه تمام اعداد اول کوچکتر از 6 برابر است. اگر A و B دو مجموعه برابر باشند می نویسیم: A=B.
مجموعه ای هم وجود دارد که دارای هیچ عضوی نمی‌باشد و به آن مجموعه تهی(empty set) یا نول(null set) می‌گوییم و آن را با نماد { } یا نشان می‌دهیم. از آنجا که مجموعه دقیقا با اعضایش شناخته می شود می توان یکتا بودن مجموعه تهی را تضمین کرد.(متناظر با این، اصل موضوع مجموعه تهی را در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها داریم.)

مشخص نمودن یک مجموعه



معمولا یک مجموعه را در صورت امکان بوسیله نوشتن اعضایش میان دو آکولاد { } مشخص می‌کنند که این روش روش تفضیلی یا نمایش با اعضا نام دارد. به این ترتیب مجموعه {a,b} مجموعه ای است که در آن a و b دو عضو مجموعه می‌باشند. در نمایش مجموعه به دو نکته توجه داشته باشید:
  • در نمایش عضوهای یک مجموعه ترتیب اعضا اهمیت ندارد و لذا: {b,a}={a,b}
  • در نمایش مجموعه ها تکرار اعضا در مجموعه تغییر ایجاد نمی‌کند و مجموعه جدیدی را ایجاد نمی‌کند.
مثلاً: {a,b}={a,b,b}={a,a,b}

همچنین می‌توان یک مجموعه را با بیان خاصیت مشترک میان اعضا مشخص نمود. برای این منظور از نماد {(x:P(x}
یا {(x|P(x} استفاده می‌کنیم که مفهوم آن عبارت است از:
مجموعه شامل همه عناصری مانند x که شرط (P(x برای آنها برقرار است یا به عبارت دیگر گزاره نما (P(x برای آنها به گزاره‌ای درست تبدیل می شود. به عنوان مثال مجموعه {x عددی حقیقی است:x} مجموعه اعداد حقیقی را معین می‌کند و مجموعه {n عددی طبیعی;x:x=2n} مجموعه اعداد طبیعی زوج را معین می کند.
این شیوه نمایش مجموعه‌ها نمایش با علایم ریاضی یا نمایش توصیفی نامیده می‌شود و بیشتر برای مجموعه‌های نامتناهی و یا مجموعه هایی که با اعضا قابل نمایش نمی باشند به کار می رود.
  • نمونه های زیر بیانگر حالات مختلف نمایش مجموعه ها با علایم ریاضی است:
به مجموعه همه عضوهای متعلق به مجموعه A که دارای شرط (P(x هستند اشاره دارد.
به عنوان مثال اگر Z مجموعه اعداد صحیح باشد، مجموعه همه اعداد صحیح زوج را به صورت نشان می‌دهیم. (در این خصوص اصل موضوع تصریح را ببینید.)
به مجموعه‌ همه عناصری اشاره دارد که از قرار دادن عناصر مجموعه A در فرمول F بدست می‌آیند. به عنوان مثال مجموعه مجموعه همه اعداد صحیح زوج است.(در این مورد اصل موضوع جایگزینی را ببینید.)
نماد یکی از نمادهای مجموعه‌ ساز مهم و پر کاربرد است. به عنوان مثال اگر (F(x خاصیت اول بودن x باشد و (P(x خاصیت متقارن بودن x باشد مجموعه به مجموعه همه اعداد اول متقارن دلالت داد.

زیرمجموعه ها



اگر A و B دو مجموعه باشند، می‌گوییم A زیرمجموعه (subset) یا جز B است هرگاه هر عضو A در B نیز موجود باشد. در این صورت می‌گوییم مجموعه A زیرمجموعه یا جز B است یا B یک ابر مجموعه (superset) یا حاوی مجموعه A است. همچنین اگر A زیرمجموعه B باشد و در عین حال B دارای عضوی غیرمتعلق به A باشد می‌گوییم A یک زیرمجموعه حقیقی (proper subset) یا محض(سره) B است یا B یک ابر مجموعه حقیقی A است. نمادعلامت زیرمجموعه بودن است.
گزاره «A زیرمجموعه B است» را به صورت نمایش می‌دهند، همچنین گزاره «B یک ابرمجموعه A است» را به صورت می‌نویسیم و اگر A یک زیرمجموعه محض B باشد می‌نویسیم و یا . از تعریف فوق نتیجه می‌شود گزاره «A زیرمجموعه B است» معادل است با گزاره زیر:


نقیض گزاره را به صورت نشان می‌دهیم و معادل با این مطلب است که عضوی در A هست که متعلق به B نمی‌باشد. با استفاده از مفهوم زیر مجموعه می‌توان تساوی دو مجموعه را به این صورت بیان کنیم:
A=B است اگر و فقط اگر

برهان:
مطابق این اصل A=B است اگر و فقط اگر هر عضو A متعلق به B باشد یا معادلاً و هر عضو B متعلق به A باشد یا معادلاً پس:

به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح می‌باشد.

مجموعه مرجع و متمم ها


در هر بحث خاص مجموعه همه عناصر مورد بحث را عضو یک مجموعه کلی می گیریم و به آن مجموعه جهانی(Universal set) یا مرجع(عام) می گوییم. توجه به این نکته لازم است که مجموعه جهانی را نباید به عنوان مجموعه‌ای از همه مجموعه‌ها در نظر گرفت چرا که در ادامه متوجه می شویم که چنین مجموعه ای وجود ندارد و فرض وجود آن ما را به تناقضاتی چون پارادکس راسل سوق می‌دهد. مجموعه‌ جهانی را با U یا M نشان می‌دهیم.
اگر U مجموعه جهانی باشد و A یک زیرمجموعه U در این صورت مجموعه همه عناصری از U را که متعلق به A نباشند متمم یا مکمل مجموعه A می گوییم و آن را با یا نشان می‌دهیم. پس:


اجتماع، اشتراک و تفاضل


اگر A و B دو مجموعه باشند می‌توانیم اعضای A و B را به طور توام در یک مجموعه جدید به نام اجتماع دو مجموعه A و B قرار دهیم. اجتماع دو مجموعه A و B عبارت است از مجموعه همه عناصری که به حداقل یکی از دو مجموعه A یا B متعلق باشند(ر.ک اصل موضوع اجتماع). اجتماع دو مجموعه A و B را با نماد نشان می دهیم و مطابق تعریف داریم:

به همین صورت اشتراک دو مجموعه A و B عبارت است از مجموعه همه عناصری که به هر یک از دو مجموعه A و B متعلق باشند. اشتراک دو مجموعه A و B را به صورت نشان می دهیم و مطابق تعریف داریم:

حال می توانیم مفهوم متمم یک مجموعه را تعمیم دهیم و متمم یک مجموعه مفروض را نسبت به یک مجموعه دیگر را بررسی کنیم. اگر A و B دو مجموعه باشند، مجموعه همه عناصری از A را که در مجموعه B وجود ندارند را متمم A نسبت به B یا تفاضل B از A می گوییم و به صورت A-B نشان می‌دهیم. به این ترتیب:

تکته جالب توجه این است که برای هر مجموعه X مجموعه توانی X یک جبر بول تحت اعمال اجتماع و اشتراک است. برای مشاهده خواص و قضایای مربوط به اجتماع و اشتراک به جبر مجموعه‌ها رجوع کنید.

زوج های مرتب و ضرب دکارتی


در مورد زوج مرتب می توان بسیار بحث کرد اما در نظریه طبیعی مجموعه‌ها برای هر دو شی a و b زوج (a,b) را که در ان ترتیب قرار گرفتن مولفه های اول و دوم مهم است یک زوج مرتب می‌گوییم این تعریف نیاز ما را برای ادامه مطلب بر طرف می‌کند.(برای بررسی اینکه واقعاً یک زوج مرتب چیست می توانید به مقاله زوج مرتب یا نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها مراجعه کنید.) از تعریف یک زوج مرتب متوجه می‌شویم که اگر (a,b) و (c,d) دو زوج مرتب باشند و (c,d)=(a,b) باید داشته باشیم a=c و b=d. حال به بررسی یک عمل مهم بر روی مجموعه‌ها می‌پردازیم.
اگر A و B دو مجموعه باشند آنگاه حاصل ضرب دکارتی (Cartesian product) دو مجموعه A و B را با نماد A×B نشان می دهیم و به صورت مجموعه زیر تعریف می‌کنیم:

حاصل ضرب دکارتی A و B عبارت است از مجموعه همه زوج های مرتب که مولفه‌ آنها متعلق به A و مولفه دوم آنها متلق به B است. مفهوم ضرب دکارتی را می توان توسعه داد و به تعداد نامتناهی از مجموعه‌ها هم نسبت داد(ر.ک به ضرب دکارتی). ضرب دکارتی اولین بار توسط ریاضیدان و فیلسوف آلمانی رنه دکارتتصویر (René Descartes)معرفی شده است.

معرفی چند مجموعه مهم


برای برخی از مجموعه‌های خاص اسامی خاضی بکار می‌بریم که باید آنها را به خاطر سپرد:

  • مجموعه اعداد طبیعی نابیشتر از عدد طبیعی k را قطعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گوییم و به صورت نشان می‌دهیم.

  • مجموعه همه اعداد اول را با نشان می‌دهیم.
  • مجموعه اعداد حسابی را با نشان می‌دهیم.

  • مجموعه اعداد صحیح را با نشان‌ می‌دهیم.

  • مجموعه اعداد گویا (منطق) را با نشان می‌دهیم.

  • مجموعه اعداد گنگ یا اصم را با نشان می‌دهیم.
  • مجموعه اعداد حقیقی را با نشان می‌دهیم.
  • مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل خود a و b نیز می‌باشد را بازه بسته a و b می گوییم و آنرا به صورت زیر نمایش می دهیم.

  • مجموعه همه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را بازه باز a و b می‌گوییم و آنرا به صورت زیر نشان می‌دهیم.

  • مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد حقیقی a و b را که شامل a می‌باشد را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

  • مجموعه اعداد حقیقی بین دو عدد a و b را که شامل b می‌باشد را به صورت زیر نشان می‌دهیم.

  • مجموعه اعداد مختلط را به صورت زیر نشان می‌دهیم.


پارادکس‌ها


در مقدمه و ادامه بحث بیان کردیم که در ادامه بسط نظریه مجموعه‌ها و بعد از ارائه نظریه طبیعی مجموعه‌ها ریاضیدانان به یک سری تناقضات و پارادکس‌ها برخورد کردند که این باعث شد در نظریه مجموعه‌ها تجدید نظر کنند و نیاز به یک دستگاه اصل موضوعی برای بیان نظریه مجموعه‌ها احساس شد. دستگاه اصل موضوعی که نظریه مجموعه‌ها را بتوان بر پایه اصول آن بنا کرد و دیگر برداشت‌های شهودی و طبیعی در آن تاثیر نداشته باشد.

اما به راستی چه مشکلی در نظریه‌ای که تا به حال ارائه دادیم وجود دارد؟ مشکل در ساختار مجموعه است و اینکه واقعا مجموعه چیست؟ در نظریه‌ای که ارائه شد، برداشتی که از یک مجموعه می‌شود مانند کیسه‌ای است که تعدادی(متناهی یا نامتناهی) عضو را در آن قرار می‌دهیم. آیا به راستی هرچه که در بین دو { } قرار دهیم یک مجموعه نام دارد، یا به طور دقیق‌تر آیا می‌توانیم هر مجموعه‌ای را به دلخواه خودمان تشکیل بدهیم؟ آیا مجموعه مانند یک کیسه‌ است که هر چه در آن قرار دهیم و اسم آن را یک مجموعه بگذاریم؟

خوب ریاضیدانان در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها که بر پایه شهود بنیان گذاشته شده بود، یعنی در زمان ریاضیدانانی چون جرج کانتور و فرگه چنین تصور می‌کردند. مثلاً در آن زمان وجود مجموعه همه مجموعه‌ها مسلم شمرده می‌شود. یعنی آنها یک مجموعه بزرگ را در نظر می‌گرفتند که همه مجموعه‌ها در آن قرار داشت. اما آیا ما می‌توانیم چنین مجموعه‌ای را تشکیل دهیم؟ ممکن است در نگاه اول برداشت شهودی ما از مجموعه به این سوال پاسخ مثبت بدهد ولی در ادامه متوجه می‌شوید که فرض وجود چنین مجموعه بزرگی ما را به تناقض سوق می‌دهد که این تناقض را نخستین بار برتراند راسل، تحت عنوان پارادکس راسل مطرح کرد. حال به بررسی این تناقضات می‌پردازیم.

خوب بیاید فرض کنیم هر مجموعه‌ای را می‌توان تشکیل داد. برای هر مجموعه ما می‌توانیم این سوال عجیب را مطرح کنیم که آیا این مجموعه عضو خودش است یا نه؟ طبیعی است که در هر مورد جواب بلی یا خیر است. حال بر اساس فرضی که کردیم بیاید همه مجموعه هایی که شامل خود نمی‌باشند را در یک مجموعه قرار دهیم یعنی مجموعه همه مجموعه‌هایی که شامل خود نمی‌باشند را تشکیل دهیم. این مجموعه را A نامگذاریم می‌کنیم:
{Xمجموعه‌ای باشد که عضو خودش نیست :A={X

خوب A نیز یک مجموعه‌است و حق داریم سوال را در مورد A نیز مطرح کنیم؛ آیا A عضو خودش است یا نه؟ بدیهی است که یا .
  • اگر در این صورت چون A عضو خودش است بنابر تعریف مجموعه A باید داشته باشیم که این تناقض است.
  • اگر در این صورت A عضوی از خودش است و لذا مطابق تعریف مجموعه A باید داشته باشیم که این تیز تناقض است.
بنابراین با سوالی رو برو می‌شویم که نمی‌توانیم به آن پاسخ بدهیم و هر پاسخ به آن ما را به تناقض سوق می دهد و نتیجه می‌گیریم که اساسا چنین مجموعه‌ای را نمی توان تعریف کرد و چنین مجموعه‌ای خوش تعریف نیست زیرا در مورد اعضای آن ابهام وجود دارد.

حال در نگاهی دیگر با همان فرض قبلی که می‌توان هر مجموعه‌ای را تشکیل داد بیاید فرض کنیم مجموعه ‌همه مجموعه‌ها وجود دارد. چنین مجموعه بزرگی را M می‌نامیم. در مورد اعضای مجموعه M نیز می توان این سوال را مطرح کرد که اگر A عضوی از M باشد آیا A عضو خودش است یا نه؟ حال خاصیت «عضو خود نبودن» را اختیار می‌کنیم و با اعمال آن روی اعضای M زیرمجموعه‌ای از عضای M مشخص می‌شود. یعنی زیرمجموعه‌ای از M که دقیقاً شامل عناصری از M است که عضو خود نمی‌باشند. این زیرمجموعه را B می‌نامیم.

حال چون M مجموعه همه مجموعه‌ها است این سوال پیش می‌آید که آیا ؟
اگر آنگاه یا و یا .
  • اگر در این صورت B عضو خودش است و لذا باید داشته باشیم که تناقض است.
  • اگر در این صورت B عضو خودش نمی‌باشد و لذا که تناقض است.
پس فرض اینکه ما را به تناقض سوق می‌دهد و لذا که این با توجه به اینکه M مجموعه همه مجموعه‌ها است، یک تناقض آشکار است چرا که مجموعه‌ای چونB یافت شد که عضو M نمی‌باشد.
پس اساسا فرض وجود مجموعه‌همه مجموعه‌ها نیز ما را به تناقض می‌کشاند و چنین مجموعه‌ای خوش تعریف نمی‌باشد.


همچنین ببینید


تعداد بازدید ها: 30558


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..