منو
 صفحه های تصادفی
اصحاب کهف
تاکتیکها در 5 موقعیت بازی تنیس
مسلمانان صدر اسلام
درس آرایه های ادبی
تکذیب تعیین کنندگان وقت ظهور امام مهدی علیه السلام
آب پرتقال
اصالت عقل در قرآن
گاو بنی اسرائیل
غزوه عشیره
انواع خطاهای مودم
 کاربر Online
700 کاربر online

میانگین همساز

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی > ریاضی > شاخه های ریاضی > ریاضیات کاربردی > آمار
(cached)








مقدمه

میانگین همساز n عدد مثبت a2 ، a1 ، ... ، an به این ترتیب تعریف می‌شود:
(M = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an
اگر میانگین همساز را (که به آن واسطه توافقی هم می‌گویند) با میانگینهای مشهورتر یعنی میانگین حسابی
A = (a1 + a2 + ... + an)/n
و یا میانگین هندسی
G = (a1a1a2 ... an)1/n
مقایسه کنیم معلوم می‌شود که از هر دوی آنها کوچکتر است. در واقع A≥ G ≥M. علامت برابری ، تنها وقتی برقرار است که همه عددهای a1 ، a2 ، ... ، an باهم برابر باشند.

تعبیر میانگین همساز برای حالت n = 2

بستگی بین سه میانگین به ازای n = 2 را می‌توان به سادگی و با زیبایی ، تعبیر هندسی کرد. ذوزنقه‌ای با ساق برابر و قاعده‌های به طولهای a1 و a2 در نظر می‌گیریم که بر دایره‌ای محیط باشد. (بسادگی ثابت می‌شود که چنین ذوزنقه‌ای ، همیشه وجود دارد). در این صورت ، طول ساق این ذوزنقه ، میانگین حسابی a1 و a2 ، طول ارتفاع ذوزنقه ، میانگین هندسی و طول تصویر ارتفاع روی ساق ، میانگین همساز آنهاست.

ارتباط میانگین و تصاعد

مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است. دنباله
2/1 ، 3/1 ، 4/1 ، 5/1 ، 6/1 و ...

نمونه‌ای از یک تصاعد همساز است. در واقع ، دو جمله مجاور جمله عبارتند از و که میانگین همساز آنها چنین است:

مجموع جمله‌های این تصاعد همساز ، یعنی را رشته همساز (با رشته توافقی) گویند. گوتفرید ویلهلم نیتس ، ریاضیدان ، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی ، در سال 1673 ثابت کرد که این رشته ، مجموعی برابر بی‌نهایت دارد. یعنی حد مجموع جزئی با بزرگ شدن n ، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.

استدلال لایپ نیتس

این n جمله از رشته همساز را در نظر می‌گیریم: هر جمله این رشته از کوچکتر نیست، بنابراین ، این مجموع از 2/1 بزرگتر است. با توجه به این نکته ، می‌توان نوشت: روشن است، اگر جمله‌های رشته همساز را به همین ترتیب گروه‌بندی کنیم، هر بار تکه‌ای از رشته را بدست می‌آوریم که مجموع جمله‌های آن ، از 2/1کمتر نیست. در ضمن ، تعداد این تکه‌ها در رشته ، بی‌نهایت است. جالب است، اگر آجری را روی سطح زمین قرار دهیم، آجر دوم را روی آن طوری قرار دهیم که انتهای چپ آن در نقطه 2/1 آجر زیرین قرار گیرد، به همین ترتیب آجر سوم را در نقطه 3/1 آجر زیر خود ، آجر چهارم را در نقطه 4/1 آجر سوم و ... قرار دهیم، ساختمانی پایدار بدست می‌آید، و این ساختمان را می‌توان به هر اندازه بلند ساخت.

ثابت اولر

لئونار اولر در سال 1740 ثابت کرد، مجموع Sn شبیه Inn افزایش می‌یابد. به زبان دقیق‌تر ، عدد ثابت C وجود دارد، به نحوی که
Sn = Inn + C + εn که در آن ، وقتی n به سمت بی‌نهایت میل کند، εn به سمت صفر میل می‌کند. در ضمن عدد C = 0.57721 ثابت اولر نامیده می‌شود.
رشته همساز تنها نمونه تصاعد همساز نیست. اگر a و b را دو جمله اول یک تصاعد همساز بگیریم، جمله سوم آن برابر ، جمله چهارم آن برابر ، ... و جمله nام آن برابر می‌شود. توجه کنیم، اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد حسابی باشند، جمله nام آن برابر و اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد هندسی باشند، جمله nام آن برابر می‌شود. به سادگی می‌توان ثابت کرد که به شرط a≠0 و b≠0 مجموع جمله‌های هر تصاعد همساز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.

کاربرد میانگین همساز در فیزیک

در فیزیک ، اغلب با میانگین همساز روبه‌رو می‌شویم. به عنوان نمونه ، مقاومت دستگاهی که از n مقاومت موازی R2 ، R1 ، ... ، Rn تشکیل شده است، برابر است با: یعنی، برابر است با میانگین همساز آنها یا فاصله کانونی دستگاهی که شامل n عدسی نازک با فاصله‌های کانونی f2 ، f1 ، ... ، fn باشد، برابر است با:

مباحث مرتبط با عنوان


تعداد بازدید ها: 17827


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..