منو
 صفحه های تصادفی
لباس امام حسن عسگری علیه السلام
کمیت های اصلی و فرعی
کعب بن زهیر
زبان های پیاده سازی سیستم عامل
امام حسن علیه السلام و خبر از غیب
مساجد شهر کوفه در زمان امام مهدی علیه السلام
تعاریف بنیادی نجوم
اقتصاد
گوزن شمالی
آزمایش فتوسنتز و تنفس در بافتهای گیاهی
 کاربر Online
395 کاربر online

مختصات قطبی(المپیاد)

تازه کردن چاپ
علوم طبیعت > فیزیک
(cached)



این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد فيزيك رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب فيزيك مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


مختصات قطبی


در فصل "حساب برداری" بخش مختصات قطبی بطور مفصل در مورد این مختصات و بردارهای یكه آن بحث شده است. در این بخش قصد داریم كمیات مورد نظر در سینماتیك را در این مختصات تعریف كنیم و در مورد چند مسئله در مختصات قطبی صحبت نمائیم.
از آنچه گفته شد مختصات هر نقطه در این دستگاه با مشخص می‌شود و همچنین بردار مكان به فرم نمایش داده می‌شود. تبدیلات این دستگاه با دستگاه دكارتی به فرم زیر است.
img/daneshnameh_up/6/6a/phm038a.gif
می‌دانیم كه سرعت برداری است كه تغییرات زمانی را نمایش می‌دهد. ما باید در مختصات قطبی این بردار را در هر نقطه برحسب بردارهای یكه آن نقطه و مشتقات و خود نمایش دهیم تا به نمایشی كاملاً مختص به این مختصات برسیم:
طبق تعریف:
در اینجا مسئله اساسی نوشتن تغییرات زمانی برحسب بقیه اجزای مختصات قطبی است. مطابق شكل وقتی مكان ذره از مختصات به تبدیل می‌شود چون جهت بردار مكان تغییر می‌یابد، به تبدیل می‌شود كه بفرم نمایش داده شده است. آنچه ما می‌خواهیم بیان برحسب اجزای شكل است. می‌دانیم كه اندازه ثابت و برابر یك است. پس صرفاً جهت آن است كه می‌تواند تغییر كند. از شكل واضح است كه این تغییر به اندازه است.
img/daneshnameh_up/a/a3/phm038b.gif
از آنجا كه به سمت صفر می‌رود مقدار طول برابر است با یعنی امّا جهت چیست؟
img/daneshnameh_up/f/fe/phm038c.gif
وقتی در مثلث شكل نشان داده شده كه متوازی‌الساقین است مقدار زاویه رأس باشد كه به سمت صفر میل می‌كند، مقدار زوایای قاعده به سمت خواهد رفت، پس بر عمود است. این همان جهت بردار یكه است. پس خواهیم داشت:
عمود بودن بر را می‌شد به سادگی برحسب روابط زیر نیز نشان داد.
اگر استدلال برایتان گیج كننده است می‌توانیم در مختصات دكارتی همه محاسبات را بدون هیچ تصور هندسی انجام دهیم:
جمله بدیهی است. این به معنای آهنگ تغییرات شعاع ذره نسبت به مبدأ است. جمله در مورد سرعت مماس بر شعاع صحبت می‌كند كه عاملش تغییرات زاویه مختصات ذره یعنی است. این سرعت را سرعت زاویه‌ای(angular) گویند.



این سرعت بیان می‌كند كه متحرك در هر لحظه‌ به ازای واحد زمان چقدر می‌خواهد زاویه‌اش را نسبت به محور ها تغییر دهد.
با رابطه‌های بالا چنانچه ما و را داشته باشیم، سرعت ذره در هر لحظه قابل حساب كردن خواهد بود.
امّا برویم سراغ شتاب:
این دفعه نوبت به بررسی است. باز مثل سابق
img/daneshnameh_up/b/b4/phm038d.gif
در مختصات دكارتی:
در كل شتاب در مختصات قطبی خواهد شد:
شتاب است، هم شتاب حاصل از شتاب زاویه است. می‌ماند دو جمله دیگر. همان نیروی مركزگراست و به جمله شتاب كوریولیس می‌گویند. تعبیر وجود بدیهی است. یعنی اگر فرض كنیم ثابت باشد به این معناست كه متحرك روی خط راستی گذرنده از مبدأ در حال حركت است.
در چنین حالتی و هر دو صفر می‌شوند.
img/daneshnameh_up/7/7f/phm038e.gif
از طرفی اینجا مانند یك مختصه یك بعدی مانند عمل می‌كند و می‌بینید كه در روابط ما در چنین حالتی
كه همان روابط تك بعدی است.
برای حالت در اصل ما تعمیم كلی حركت دایره‌ای را داریم در اینجا و صفر می‌شوند. پس:
اگر با بخش قبلی این روابط مقایسه كنیم بدیهی است كه همان شتاب مركزگراست.
در این حالت سرعت صرفاً مماس است و با روابط مثلثاتی نیز همخوانی دارد. مقدار كمان روی یك دایره برحسب زاویه مقابلش خواهد بود
img/daneshnameh_up/a/a5/phm038f.gif
جمله شتاب مماسی حاصل از شتاب زاویه‌ای است. یعنی تغییرات زمانی یعنی اینكه سرعت زاویه‌ای با چه آهنگی تغییر می‌كند.
شتاب را در این حالت می‌شد بطور مستقیم نیز از روی سرعت بدست آورد:
تنها جمله ناآشنای باقیمانده است. این شتابی است كه به مشتق دوم هیچ یك از مختصه‌های و بستگی ندارد و جالبی آن هم در همین است. این شتاب نقش جالبی در خیلی از مسائل فیزیك دارد مثلاً علت حركت مارپیچی آب هنگام فرو رفتن در یك سوراخ بر روی زمین بخاطر وجود همین جمله است.
اگر لوله‌ای داشته باشید و گلوله‌ای را داخل آن قرار دهید و لوله را با سرعت یكنواخت بچرخانید بطوریكه گلوله از سر آن خارج شود در این حین نیرویی را حس می‌كنید كه از شتاب كوریولیس نشأت گرفته است.


مثال


ذره‌ای بر روی دایره‌ای به شعاع با شتاب ثابت زاویه‌ای حركت می‌كند. مكان ذره را برحسب زمان و شتاب آن را بدست آورید.
حل.
كه حركت زاویه‌ای شتاب ثابت است و معادلاتش مشابه حركت تك بعدی شتاب ثابت است.



مثال


یك حركت مستقیم الخط تك بعدی با شتاب متغیر دلخواه در مختصات قطبی چه حالتی خواهد داشت؟
img/daneshnameh_up/2/20/phm038g.gif
حل.
چنانچه فاصله خط تا مبدأ باشد و شعاع عمود بر خط با راستای محور ها زاویه بسازد می‌توان تمام نقاط روی خط را با رابطه مشخص كرد.
چنانچه مختصه تك بعدی روی خط را بنامیم آنگاه رابطه با و خواهد بود:
img/daneshnameh_up/f/f7/phm038h.gif
از طرفی از معادله قبلی خواهیم داشت:
با حل و برحسب و و می‌توان و را نیز برحسب بدست آورد و در نهایت كل شتاب در مختصات قطبی برحسب بیان شود.
img/daneshnameh_up/a/a7/phm038i.gif
كافی است بجای برحسب بگذاریم:
مثلاً در حركت سرعت ثابت می‌بینید كه هر دوی مؤلفه‌های و تابع زمانند ولی شتاب تابع زمان نمی‌شود.به هر صورت حركت مستقیم‌الخط در مختصات قطبی دارای معادلات چندان ساده‌ای نیست همانطور كه حركت دایروی در مختصات دكارتی معادلات آسانی نداشت.


مثال



می‌توانید حركتی مثال بزنید (یعنی برحسب زمان معرفی كنید) كه شتاب شعاعی و یا شتاب مماسی نداشته باشند ولی در آنها متغیر با زمان و سرعتهایشان نیز چنین باشند؟
حل.
فرض كنید ثابت باشد آنگاه می‌بایست
پس اگریا و‌آنگاه با آنكه نه و هیچكدام صفر نیستند و نه هم صفر نیست ولی حركت شتاب شعاعی ندارد. علت آن این است كه روابط: است زیرا بعلت متغیر بودن و برحسب زمان نمی‌توان همچون حالت دو بعدی در مختصات دكارتی مؤلفه‌ها را بطور مجزا برای روابط سینماتیك بررسی كرد.
وقتی شتاب مماسی نداریم همواره مقدار ثابت است امّا تعبیر هندسی این كمیت چیست؟
مساحت جارو شونده توسط شعاع حامل حركت ذره در یك جابجایی به اندازه خواهد بود:
img/daneshnameh_up/0/0c/phm038j.gif
پس ثبات زمانی نتیجه خواهد داد كه ثابت باشد یعنی آنكه متحرك با سرعت ثابتی مساحتها را توسط شعاعش جارو كند.
حال اگر فرض كنید آنگاه این هم حالتی كه درحالیكه صفر است.


مثال


یك حركت مارپیچی با معادله مشخص می‌شود یعنی آنكه ذره روی چنین مسیری حركت می‌كند. فرض كنیم سرعت زاویه‌ای ثابت‌ و باشد، سرعت و شتاب را در چنین حركتی بدست آورید.
حل.
img/daneshnameh_up/5/59/phm038k.gif
این حركت از جمله مثالهایی است كه در آن شتاب كوریولیس تنها شتاب مماسی ذره است.
در آخر این بخش می‌خواهیم روابط حركت دایروی با سرعت ثابت را با شهودی ساده برحسب مفاهیم هندسی و برداری بیان كنیم یعنی آنكه صرفاً با فرض پیكانی كه با زمان می‌چرخد می‌خواهیم شتاب این حركت را بدست بیاوریم.
وقتی كه بردار می‌چرخد همانطور كه قبلاً نشان داده بودیم باعث ایجادهایی می‌شود كه و در نتیجه باعث بردارهای سرعت می‌شود كه با فرض سرعت ثابت بودن مسئله است.
img/daneshnameh_up/5/55/phm038l.gif
چون اندازه ثابت است پس تغییراتش یعنی صرفاً باعث تغییر در جهت می‌شود كه این تغییر جهت با آهنگ (زاویه بر واحد زمان) اتفاق می‌افتد.
امّا در مورد خود چه می‌توان گفت. از آنجا كه همواره عمود بر است و مقدارش نیز ثابت می‌ماند می‌توان گفت هم بردار ثابتی (از نظر اندازه) است كه با سرعت زاویه می‌چرخد.
img/daneshnameh_up/b/b1/phm038m.gif
پس می‌بایست تغییرات هم مانند با همان فاكتور مشخص شود پس:
img/daneshnameh_up/b/b2/phm038n.gif
امّا جهت این شتاب چگونه است. گفتیم كه چون اندازه ثابت است جهتش عمود بر راستای است و خود هم عمود بر است و در نتیجه باید باشد ولی از شكلها پیداست خلاف جهت را دارد یعنی مركزگراست:

img/daneshnameh_up/f/fc/phm038o.gif



پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0063.pdf




تعداد بازدید ها: 24559


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..